中考数学总复习《问题发现-探究-拓展-应用综合压轴题》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《问题发现-探究-拓展-应用综合压轴题》专项提升练习题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；拓展运用(2)若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长；(3)若△DCE绕点C旋转，△ABC和△DCE的边长分别为1和2，当△BCD的面积最大时，AE的长为______．2．在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．(1)初步尝试：我们知道：tan60°＝，tan30°＝，发现结论：tanA2tan12∠A(2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan12∠A小明想构造包含12∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝12∠A，即转化为求∠请按小明的思路进行余下的求解：(3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝13．求tan2A3．△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外）连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α，α=∠ABC，得到PE，连接CE．(1)观察发现：如图1，当BA=BC，且∠ABC=60°时，BP与CE的数量关系是__________；BC与CE的位置关系是__________；(2)猜想证明：如图2，当BA=BC，且∠ABC=90°时，请写出BP与CE的数量关系及BC与CE的位置关系，并说明理由．(3)拓展探究：在（2）的条件下，若AB=8，AP=52，请直接写出CE4．【操作与发现】如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN=MN．(1)【实践探究】在图①条件下，若CN=6，CM=8，则正方形ABCD的边长是______．(2)如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN=13，求证：M是CD(3)【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN=45°，BN=2，则DM的长是______．5．爱好思考的小实在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．(1)【特例探究】①如图1，当tan∠PAB＝1，c=42时，a＝______，b②如图2，当∠PAB＝30°，c＝4时，a＝______，b＝______．(2)【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、(3)【拓展证明】如图4，在△ABC中，AB=43，BC=25，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至点G，使得GE＝DE，连结BG．若BG⊥AC于点M时，求6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BCAC=mn，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE(1)[探究发现]：如图1，若m=n，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明理由；(2)[数学思考]：①如图2，若点E在线段AC上，求证：DEDF②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；(3)[拓展应用]：若AC=5，BC=25，DF=427．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE．（1）探索发现：图1中，ABBC的值为，ADBE的值为（2）拓展探究若将△CDE绕点C旋转，在旋转过程中ADBE（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段BE的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC=mn，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝5，BC＝25，DF＝42，请直接写出CE的长．9．在△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，连接BD，AC，直线BD交AC于点E，交OA于点F．（1）特例发现：如图1，若OA=OB，OC=OD．推断：①BDAC=______；

②（2）探究证明：如图2，若OBOA=ODOC=k（3）拓展延伸：在（2）的条件下：若OA=6，OB=8，①将△OCD绕点O顺时针旋转，使点D与点E第一次重合，如图3，此时sin∠OAC=25②在点D与点E第一次重合后，若将①重得到的△OCD继续顺时针旋转，当点D在△AOB内部时，如图4，线段BE的长度是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．10．【探究发现】(1)如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E．①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝°．【类比迁移】(2)如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；【拓展应用】(3)如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝3，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长．11．（1）操作发现：如图①，在五边形ABCDE中，AB=AE，∠B=∠BAE=∠AED=90°，∠CAD=45°，试猜想BC、CD、DE之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=90°，得∠DEF=180°，即点D、E、F三点共线，易证△ACD≌_____，故BC、CD、DE之间的数量关系是_____；（2）类比探究：如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠D=180°，点E、F分别在边CB、DC的延长线上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF、BE、DF（3）拓展延伸：如图③，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=2，CE=3，则DE的长为．12．在△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，连接BD，AC，直线BD交AC于E交OA于F．（1）特例发现：如图1，OA=OB，OC=OD．推断∶①BDAC的值为__________；②∠BEC（2）探究证明：如图2，若OBOA=ODOC=k（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O顺时针旋转，使点D与点E第一次重合，若OA=6，OB=8，sin∠OAC=2513．（1）发现问题如图（1），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边BC，CD边上的动点（均不与端点重合），且∠EAF=45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系．小明把△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，发现EF=BE+DF，请你给出证明过程；（2）类比探究①如图（2），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边CB，DC延长线上的动点，且∠EAF=45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图（3），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF=45°，请直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．（不要求证明）（3）拓展应用在（1）中，若正方形ABCD的边长为6，AE=35，求EF14．△OAB和△ODE均为等腰三角形，且∠AOB=∠DOE=β，OA=OB，OD=OE，连接AD、BE，它们所在的直线交于点（1）观察发现：如图1，当β=60°时，线段AD与BE的数量关系是______，（2）探究证明：如图2，当β=90°时，线段AD与BE的数量关系是______，（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD与BE的数量关系是______，∠AFB的度数是______．（用含β的式子表示）15．（1）初步探究：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD边AB、AD上，DE⊥CF于点P，小芳看到该图后，发现DE=CF，这是因为∠EDA和∠FCD都是∠EDC的余角，就会由______判定得出______≌______．（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形ABCD是矩形，如图，且DE⊥CF于点P，她发现DECF（3）拓展延伸：如图（3），若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EPC满足什么关系时，使得DECF16．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，如图一是函数y＝x2﹣1的图象，通过图象可以探究它的对称性，增减性，最值等情况．下面对函数y＝|x2﹣1|展开探索．经历分析解析式、列表、描点、连线等过程得到函数y＝|x2﹣1|的图象如图二所示：x…﹣3﹣5﹣2﹣3﹣1﹣10113253…y…8213a031b053218…（1）表格中a＝，b＝；（2）观察发现：函数y＝|x2﹣1|的图象是轴对称图形，写出该函数图象的对称轴；（3）拓展应用：①如果y随x的增大而增大，则x的取值范围是；②已知方程|x2﹣1|＝k（k是一个常数）有两个解，则k的取值范围是．17．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：（1）如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE､CD，请你完成作图并证明BE=CD．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）类比探究：（2）如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE､BG，则线段CE､BG有什么关系？说明理由．灵活运用：（3）如图3，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长．18．观察与发现（1）在图1中，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AC=4,CD=6．某数学小组在探究时发现：①BE=AD；②直线BE与直线AD所夹角中有一角始终等于60°；③AD最长为10，最短为2．以上结论中正确结论的序号是____________．情景与运用（2）在图2中，已知Rt△DBC,∠DBC=90°,CD=6，以BC为边向外作等边三角形ABC，连接AD小明通过思考发现：借助图1，以CD为边向△DBC的外部作等边三角形便可求解AD的最大值，请你完善小明的思考过程并求解．拓展延伸（3）在图3中，已知⊙O的半径为4，AB是弦，以AB为边向⊙O外作正方形ABCD，求OC的最大值．19．观察猜想：（1）如图1，将两个正方形按如图所示的位置摆放，当点E、A、D在同一条直线上，线段BE和DG的数量关系是，位置关系是；探究证明：（2）正方形ABCD固定不动，若将正方形AEFG绕点A旋转到如图2的位置时，（1）的结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；拓展应用：（3）把（1）（2）中的正方形分别改为矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE＝8，AB＝16．矩形ABCD固定不动，若将矩形AEFG绕点A旋转到如图3的位置时，连接DE，BG20．综合与实践【问题情境】为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形ABCD中（BC≥CD），AB∥CD，图1【探究实践】老师引导同学们在边BC上任取一点E，连接DE，将△DCE沿DE翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接CH并延长，分别交DE，AB于点M，G．老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现．（1）如图2，小莹发现：“当折痕DE与AD夹角为90°时，则四边形AGCD是平行四边形．”（2）如图3，小明发现：“当E是BC的中点时，延长DH交AB于点N，连接EN，则N是BG的中点．请你分别判断两人的结论是否正确，并说明理由．【拓展应用】（3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进步思考发现：“延长EH交AB于点F．当给出BC和BF的长时，就可以求出CD的长．”老师肯定了小慧同学结论的正确性．若BC=6，BF=4，请你帮小慧求出CD的长．图4参考答案1．（1）解：全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，CD=CE∠BCD=∠ACE∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）解：如图，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD=AE，∵△DCE是等边三角形，∴∠CDE=60°，CD=DE=2，∵∠ADC=30°，∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°，在Rt△ADE中，AD=3，DE=2，∴AE=A∴BD=13；（3）解：CD⊥BC时，△BCD的面积最大，由（1）得△ACE≌△BCD，∴AE=BD=12故答案为：5．2．（1）解：tan60°＝3，tan30°＝33发现结论：tanA≠2tan12∠故答案为：3，33（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，∴AB=AC2+B如图1，延长CA至D，使得DA=AB，∴AD=AB=5，∴∠D=∠ABD，∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+5，∴tan12∠A=tan∠D=BC（3）如图2，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE．则∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=1∴BC=1，AB=10，设AE=x，则EC=3-x，在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1，解得x=53即AE=BE=53，EC=4∴tan2A=tan∠BEC=BCCE3．解：（1）如图，连接AE，∵BA=BC，且∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，∵PE=PA，且∠APE=α=60°，∴△APE为等边三角形，∴∠PAE=60°，AP=AE，∴∠BAC−∠PAC=∠PAE−∠PAC，∴∠BAP=∠CAE；在△BAP和△CAE中，AB=AC∠BAP=∠CAE∴ΔABP≌ΔACE，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE，∵BD⊥AC，BA=BC，∠ABC=60°，∴∠ABP=30°，∴∠ABP=∠ACE=30°，∴∠ACE+∠ACB=90°，∴BC⊥CE．故答案为：BP=CE，BC⊥CE；（2）（2）CE=2BP，BC⊥CE；理由：连接AE，由题意可知：ΔABC、ΔAPE均为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠PAE=45°，ACAB∴∠BAP+∠PAD=∠CAE+∠PAD，即∠BAP=∠CAE；又∵ACAB∴ΔBAP∽ΔCAE，∴CEBP=CABA=∵AB=BC，BD⊥AC，∴∠ABD=∠CBD=∠ACB=45°=∠ACE，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+45°=90°，∴BC⊥CE，∴BC⊥CE，CE=2BP；（3）（3）CE=2或14．如图，当点P在BD上时，连接AE，∵AB=8，∴AD=BD=42，∵AP=52，∴在RtΔAPD中，PD=AP2−A∴BP=42−32=2，由（2）知：CE=2BP，∴CE=2⋅2=2；如图，当点P不在BD上时，连接AE，同理可得DP=32，∴BP=42+32=72，∴CE=72⋅2=14．综上：CE的长为2或14．4．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=AD，∠BAD=∠C=∠D=90°，由旋转得：△ABE≌△ADM，∴BE=DM，∠ABE=∠D=90°，AE=AM，∠BAE=∠DAM，∴∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，即∠EAM=90°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=90°-45°=45°，∴∠MAN=∠EAN，在△AMN和△AEN中，AM=AE∠MAN=∠EAN∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN=EN．∵EN=BE+BN=DM+BN，∴MN=BN+DM．在Rt△CMN中，MN=CN则BN+DM=10，设正方形ABCD的边长为x，则BN=BC-CN=x-6，DM=CD-CM=x-8，∴x-6+x-8=10，解得：x=12，即正方形ABCD的边长是12；故答案为：12；（2）证明：设BN=x，DM=y，由（1）得：MN=BN+DM=x+y，∵∠B=90°，tan∠BAN=13∴tan∠BAN=BNAB=1∴AB=3BN=3x，∴CN=BC-BN=2x，CM=CD-DM=3x-y，在Rt△CMN中，由勾股定理得：（2x）2+（3x-y）2=（x+y）2，整理得：3x=2y，∴CM=2y-y=y，∴DM=CM，即M是CD的中点；（3）解：延长AB至P，使BP=BN=2，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，如图③所示：则四边形APQD是正方形，∴PQ=DQ=AP=AB+BP=8，设DM=x，则MQ=8-x，∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴BNPE∴PE=43BN=8∴EQ=PQ-PE=8-83=16由（1）得：EM=PE+DM=83+x在Rt△QEM中，由勾股定理得：（163）2+（8-x）2=（83+x）解得：x=4，即DM的长是4；故答案为：4．5．（1）解：①如图1所示，连接EF，∵AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，∵tan∠PAB∴∠PAB＝45°，∴∠PAB=∴PA=PB，∴PA=PB=AB⋅sin∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB．且EF＝12AB∴PEPB∴PE＝PF＝2，由勾股定理得：AE＝BF＝AP2+PE2∴AC＝BC＝2AE＝45∴a=b=45故答案为：45；4②如图2连接EF，∵∠PAB＝30°，AB＝4，AF⊥BE，∴BP＝12AB∴AP＝AP=AB⋅cos∵AF、BE是△ABC的中线，∴EF∥AB．且EF＝12AB∴PEPB∴PE＝12PB＝1，PF＝12AP＝由勾股定理得：AE＝PE2+AP2BF＝PF2+PB2∴AC＝2AE＝213，BC＝2BF＝27，故答案为：213，27；（2）解：猜想：a2、b2、c2三者之间的关系是：a2+b2＝5c2，证明：如图3，设PF＝m，PE＝n同（1）原理可得：AP＝2m，PB＝2n，在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝AB2，∴m2+n2＝A在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（AC2）2在Rt△BPF中，m2+（2n）2＝（BC2）2∴5（m2+n2）＝AC∴a2+b2＝5c2；（3）解：如图4，连接CG，EF，过点F作FN∥BG交CG于点N，FG与AC交于点Q，∵FN∥BG，BG⊥AC，∴FN⊥AC，CFCB∵F是BC的中点，∴BC=2CF，∴CFCB∴N是CG的中点，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝FC，DE∥FC，∵ED＝EG，∴EG＝FC，EG∥FC，∴四边形EFCG是平行四边形，∴Q是FG的中点，∴△FCG是中垂三角形，∵AB＝43，BC＝25，∴CG＝EF＝BD＝23，FC＝5，由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2，即5×5＝（23）2+FG2，∴GF＝13．6．解：（1）结论为：DE＝DF证明：∵BCAC∴BC＝AC，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠B＝∠ACD＝45°，CD＝BD，∵CD⊥AB，DE⊥DF

，∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF=90°∴∠CDE＝∠BDF

，在△CDE和△BDF中，∠ECD=∠B∠EDC=∠FDB∴△CDE≌△BDF（AAS），∴DE＝DF，（2）①∵∠A+∠ACD＝90°∠ACD+∠BCD＝90°∴∠A＝∠BCD，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF∵∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△CDB，∴ADDC∵ACBC∴DEDF②仍然成立，∵∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，∴∠ADE＝∠CDF，∵∠A＝∠BCD，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF∵△ADC∽△CDB，

∴ADDC=∵ACBC=∴DEDF（3）由（2）得△ADE∽△CDF，∴DEDF=∴ADCD∴CF＝2AE，∵DF＝42，∴DE＝22连结EF，∵∠EDF＝90°，∴EF＝210①若点E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE－5），∵CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE－5）]2＝40，∴CE＝25或CE＝−∴CE＝25②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（5+CE），∵CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（5+CE）]2＝40，∴CE＝255或CE＝－∴CE＝25③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2（5－CE），∵CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（5－CE）]2＝40，∴CE＝25或CE＝－2综上所述，CE＝25或27．解：（1）如图，连接AE，∵AB=AC=2,∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵点D,E分别是AC,BC的中点，∴AE⊥BC,BE=CE=1∴AE=1∴BC=2BE=23∴ABBC=故答案为：33，3（2）无变化，理由如下：由（1）知，CD=1,CE=3∴CDCE=3∴CDCE∴CD由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，CDAC∴△ACD∼△BCE，∴ADBE=AC（3）由题意，分以下两种情况：①如图，当△CDE绕点C逆时针旋转180°时，A,C,D三点共线，由（1）知，CE=3则BE=BC+CE=33②如图，当△CDE绕点C逆时针旋转360°时，A,D,C三点共线，由（1）知，BE=3综上，线段BE的长为3或338．解：1当m=n时，即：BC=AC，∵∠ACB=90∴∠A+∠ABC=90∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC=90∴∠A=∠DCB，∵∠FDE=∠ADC=90∴∠FDE−∠CDE=∠ADC−∠CDE，即∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DE∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90∴△ADC∽△CDB，∴ADDC2①∴∠A+∠ABC=90∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC=90∴∠A=∠DCB，∵∠FDE=∠ADC=90∴∠FDE−∠CDE=∠ADC−∠CDE，即∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DE∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90∴△ADC∽△CDB，∴ADDC②成立.如图3，∵∠ACB=90∴∠A+∠ABC=90又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC=90∴∠A=∠DCB，∵∠FDE=∠ADC=90∴∠FDE+∠CDE=∠ADC+∠CDE，即∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DE∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90∴△ADC∽△CDB，∴AD∴DE3由2有，△ADE∽△CDF，∵DE∴AD∴CF=2AE，如图4图5图6，连接EF．在Rt△DEF中，DE=22，DF=4∴EF=210①如图4，当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2AC−CE=25根据勾股定理得，CE2∴CE=25，或CE=−2②如图5，当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2AC+CE=25根据勾股定理得，CE∴CE∴CE=255，或CE=−2③如图6，当E在CA延长线上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2CE−AC=2CE−根据勾股定理得，CE∴CE∴CE=25，或CE=综上：CE=25或CE=9．解：（1）如图1，∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOC=∠BOD，∵OA=OB，OD=OC，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∴BDAC∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠EAB+∠EBA=∠OAC+∠OAB+∠EBA=∠OBD+∠OAB+∠EBA=∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠BEC=90°，故答案为：1，90°；（2）BDAC=k，理由如下：如图2，∵∠AOB=∠COD=90°∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD即∠BOD=∠AOC∵OBOA∴△BOD∽△AOC，∴BDAC=OB∴∠BEC=∠OAC+∠AFE=∠OBD+∠OFB=180°−∠AOB=90°；（3）①∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8∴AB=O在Rt△AEF中，sin∠OAC=在Rt△BOF中，sin∠OBD=∵∠OBD=∠OAC，sin∠OAC=∴DFAF∵∠DFO=∠AFB，∴△DOF∽△ABF，∴ODBA∴OD=2∵OBOA∴86解得OC=3；②BE的最大值为3+43∵∠CEB=90°，AB=10，∴在Rt△AEB中，BE=AB⋅cos∵点D在△AOB内部，∴∠EBA+∠EBO的和为定值，∴点OD⊥BE时，∠EBO的值最大，∠EBA的值最小，此时cos∠EBA故BE具有最大值，此时∠COD=∠ODE=∠CED=90°，∴四边形ODEC为矩形，∴ED=OC=3，在Rt△ODB中，BD=O∴BE=ED+BD=3+4310．（1）解：①证明：如图①，延长由对称可知，∠EGD=∠EGD'=90°，∵∠DEG=∠BEC，∴∠EBC=∠EDF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCE=∠DCF=90°，BC=DC，在△BCE和△DCF中，∠EBC=∠EDFBC=CD∴△BCE≌△DCF（ASA）．②解：如图1，当点D'与点F重合时，由对称可知∠DBE=∠D'BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，∴∠DBE=∠D'BE=22.5°，由①得到∠CDF=∠EBD'，∴∠CDF=22.5°，故答案为：22.5°．（2）解：如图2，延长BE交DF于点G，由对称可知，点G是DD'的中点，∠EGD=∠EGD'=90°，∵CD'⊥DF，∴CD'∥BG，∴EG是△DCD'的中位线，∴点E是CD的中点，∴CE=DE=12CD=1∴BE=BC由（1）①得，∠EBC=∠FDC，∠ECB=∠EGD=90°，∴△ECB∽△EGD，∴ECEG∴1EG∴EG=1010∴BG=BE+EG=10+∵EG是△DCD'的中位线，∴CD'=2EG=2×1010=10（3）以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E，①如图3，当点E在CD上时，延长AF交DE于点G，由（1）①可得，∠GDF=∠OAF，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，∠ODC=∠ODA，∴∠OAF=∠ODA，∵AC=2，∴OA=1，∵AD=3，∴OD=2，∴tan∠OAF=tan∠ODA=OAOD∴OFOA∴OF=22②如图4，当点E在BC上时，延长AF交DE于点G，则∠AGD=90°，∠DAG=∠EAG=12∠DAE∵AD=AB=AE，∴∠AEB=∠ABE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABO=12∠ABE，AD∥∠BC∴∠DAE=∠AEB，∴∠ABO=∠DAG，在△AGD和△BOA中，∠AGD=∠BOA∠DAG=∠ABO∴△AGD≌△BOA（AAS），∴DG=AO=1，AG=BO=2，∴DG=AO，∵∠FAO=∠FDG，∠FOA=∠FGD，∴△FOA≌△FGD（ASA），∴OF=FG，设OF=FG=x，则DF=2−x在Rt△DFG中，DF2=GF2+DG2，∴（2−x）2=x2+12解得：x=24∴OF=24综上所述，OF的长为22或211．解：（1）BC，CD，DE之间的数量关系为：DF=DE+BC；理由如下：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，则AF=AC，∠B=∠AED=∠AEF=90°，∴∠DEF=180°，即点D，E，F三点共线，∵∠BAE=90°，∠CAD=45°，∴∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠EAF=45°，∴∠CAD=∠FAD，在△ACD和△AFD中，AC=AF∠CAD=∠FAD∴△ACD≌△AFD（SAS），∴CD=DF=DE+EF=DE+BC，故答案为：△AFD，CD=DE+BC；（2）如图②，EF，BE，DF之间的数量关系是EF=DF-BE；理由如下：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌△ADE'，∴∠DAE'=∠BAE，AE'=AE，DE'=BE，∠ADE'=∠ABE，∴∠EAE'=∠BAD，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，∴∠ADE'=∠ADC，即E'，D，F三点共线，又∠EAF=12∠BAD=12∠∴∠EAF=∠E'AF，在△AEF和△AE'F中，AE=AE∴△AFE≌△AFE'（SAS），∴FE=FE'，又∵FE'=DF-DE'，∴EF=DF-BE；（3）如图③，将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，则CD'=BD=2，由（1）同理得，△AED≌AED'，∴DE=D'E．∵∠ACB=∠B=∠ACD'=45°，∴∠ECD'=90°，在Rt△ECD'中，ED'=E∴DE=13，故答案为：13．12．解：（1）∵∠AOB=∠DOC=90°∴∠DOB=∠COA在△AOC和△BOD中AO=OB∴△AOC≌△BOD(SAS)∴AC=BD，∠CAO=∠DBO∴BD又∵∠AFE=∠BFO∴∠AEF=∠FOB=90°∴∠BEC=90°故答案为BDAC=1，（2）BDAC=k，理由如下：∵∠AOB∴∠AOB即∠BOD∵OBOA∴△BOD∽△AOC，∴BDAC=OB∴∠=∠OBD+∠OFB=180°−∠AOB=90°．（3）∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB=O在Rt△AEF中，sin∠OAC=在Rt△BOF中，sin∠OBD=∵∠OBD=∠OAC，sin∠OAC=∴DFAF∵∠DFO=∠AFB，∴△DOF∽△ABF，∴ODAB∴OD=∵ODOC∴OC=313．（1）证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∠B=∠ADG=90°，∴∠ADF+∠ADG=180°，∴F，D，G三点共线，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAD=45°，∴∠DAG+∠FAD=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵AF=AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=FG=DF+DG，∴EF=DF+BE；（2）①不成立，结论：EF=DF-BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB=∠MAD，AE=AM，∠EAM=90°，BE=DM，∴∠FAM=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF=FM=DF-DM=DF-BE；②结论为：BE=EF+DF，如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，∴AN=AF，∠NAF=90°，∵∠EAF=45°，∴∠NAE=45°，∴∠NAE=∠FAE，∵AE=AE，∴△AFE≌△ANE（SAS），∴EF=EN，∴BE=BN+NE=DF+EF．即BE=EF+DF；（3）解：由（1）可知AE=AG=35，∵正方形ABCD的边长为6，∴DC=BC=AD=6，∴DG=AG∴BE=DG=3，∴CE=BC-BE=6-3=3，设DF=x，则EF=FG=x+3，CF=6-x，在Rt△EFC中，∵CF2+CE2=EF2，∴(6-x)2+32=(x+3)2，解得：x=2．∴EF=x+3=5．14．（1）证明：设AF交BO于G，∵∠AOB=∠DOE=60°，∴∠AOB−∠BOD=∠DOE−∠BOD，即∠AOD=∠BOE，∵OA=OB，OD=OE，∴△AOD≌△BOE，∴AD=BE，∠OAD=∠OBE，∵∠OGA=∠FGB，∴180°−∠OGA−∠OAD=180°−∠FGB−∠OBE，∴∠AFB=∠AOB=60°，故答案为：AD=BE，60°；（2）AD=BE，90°证明：设AF交BO于G，∵∠AOB=∠DOE=90∴∠AOB+∠BOD=∠DOE+∠BOD，即∠AOD=∠BOE，∵OA=OB，OD=OE，∴△AOD≌△BOE，∴AD=BE，∠OAD=∠OBE，∵∠OGA=∠DGB，∴∠AFB=∠AOB=90°；故答案为：AD=BE，90°；（3）证明：由（1）与（2）可得AD=BE，∠AFB=∠AOB=β故答案为：AD=BE，β．15．解：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AD=DC，∠A=∠FDC=90°，∴∠CDP+∠EDA=90°∵DE⊥CF，∴∠CDP+∠FCD=90°∴∠EDA=∠FCD在△AED和△DFC中∠A=∠FDC=90°∴△AED≌△DFC（ASA）故答案为：ASA；△AED≌△DFC．（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°，又∵DE⊥CF，∴∠ADE=∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴DECF（3）当∠B+∠EPC=180°时，DECF证明：在AD的延长线上取点M，使CM=CF，则∠CMF=∠CFM，∵AD//BC，∴∵AB//CD，∴又∵∠B+∠EPC=180°，∴∠AED=∠FCB，∴∠CMF=∠AED，∴△ADE∽△DCM，∴DECM=AD16．解：（1）根据函数的对称性得，a＝54，b＝3故答案为：54，3（2）从图象看，函数的对称轴为x＝0，故答案为：x＝0；（3）①从图象看，如果y随x的增大而增大，则x的取值范围是：x＞1或﹣1＜x＜0，故答案为：x＞1或﹣1＜x＜0；②设：y＝k，方程|x2﹣1|＝k（k是一个常数）有两个解，可以看成y＝|x2﹣1|和y＝k有两个交点，从图象看，此时则k的取值范围是k＞1或k＝0，故答案为：k＞1或k＝0．17．解：（1）作图，如图所示：∵△ABD和△ACE都为等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠CAB，即∠DAC=∠EAB，在△ACD和△AEB中，AD=AB∠DAC=∠EAB∴△ACD≌△AEB（SAS），∴BE=CD；（2）CE=BG，理由为：证明：∵四边形ABDE与四边形ACFG都为正方形，∴AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°，∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠CAB，即∠EAC=∠BAG，在△ACE和△ABG中，AE=AB∠EAC=∠BAG∴△ACE≌△ABG（SAS），∴CE=BG；（3）∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，在CD外侧作等边△CDE，则∠ADE=90°，DE=DC，∠DCE=60°，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，CD=CE∠BCD=∠ACE∴△ACE≌△B