专题7：二次函数与几何综合问题-2020中考数学（华师大版）二轮专题复习测试

&.教学目标：&.典例探究：类型一：线段的数量关系及最值问题(3)设抛物线C₂的顶点为点C,点B的坐标为(-1,-4),问在C₂的对称轴上是否存在点Q,(2)作AP⊥x轴，设A(a,a²-2a-3),所以AP=-a²+2a+3,PO=a,可得(3)假设C₂的对称轴上存在点Q,过点B'作B'D⊥l-5),②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q(1,-2).【解答】解：(1)C:y₁=3x²-6x-1的顶点为(1,-4),(2)作AP⊥x轴，设A(a,a²-2a-3)(3)假设C₂的对称轴上存在点Q,过点B'作B'D⊥1于点D①当点Q在顶点C的下方时∵B(-1,-4),C(1,-4),抛物线的设点Q(1,b)②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q(1,-2);【解题技巧】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象性，数形结合解题是关键.类型二：面积数量关系与最值问题于点C,过点C作CD//x轴，交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；E,过点H作HF⊥x轴于点F,求矩形GEFH的最大面积；解(2)由(1)知抛物线的解析式为：y=x²+2x-3,和点B(1,0)(3)由A(-3,0),B(1,0)得AB=4,,类型三：特殊三角形的存在性问题(2)线段AB上有一动点P,过P作y轴的平行专题：压轴题；存在型。分析：(1)如图1,易证BC=AC,从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式。(2)如图2,运用待定系数法求出直线AB的解析式。设点P的横坐标为t,从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题。(3)由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°(如图3)和∠ABM=90°(如图4)进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标。解答：解：(1)如图15(1),∵A(-3,0)、C(0,4)∴点B的坐标为(5,4)∵A(-3,0)、C(0,4)、B(5,4)在(2)如图15(2),设直线AB的解析式为y=mx+n∵A(-3,0)、B(5,4)在直线AB上,∴直线AB的解析式为设点P的横坐标为t(-3≤t≤5),则点Q的横坐标也为t·:,(3)①当∠BAM=90°时，如图15(3)所示②当∠ABM=90°时，如图15(4)所示类型四：特殊四边形的存在性问题$.例3、如图抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-1),且对称抽x=1.(1)求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点D,使四边形ABDC的面积为3.若存在，求出点D的坐标；若不存在。说明理由(使用图1);(3)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标(使用图2)。解：(1)∵抛物线与y轴交于点C(0,-1).且对称抽x=1(2)设在x轴下方的抛物线上存在D(a,积为3.(O<a<3)使四边形ABCD的面∴点D的坐标为(1,),,(2,-1)(8分)(3)①当AB为边时，只要PQ//AB,且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为-4或4所以此时点P₁的坐标为(-4,7),P₂的坐标为(4,(10分)②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G,PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P作x轴的垂线交于点H,可证得APHG=△QOG∵线段AB的中点G的横坐标为1∴此时点P横坐标为2&.专题训练(1)求m的值；(2)若直线(与抛物线C交于不同的两点A、B,直线(与直线：y=-3x+b交于点P,且求b的值；(3)在(2)的条件下，设直线(,与y轴交于点Q,问：是否存在实数k,使得So=S,∵抛物线C与直线(只有一个交点(2)过A、P、B分别作AC⊥OD,PE⊥OD,BD⊥OD,垂足分别为C、E、D,设A、P、B三点的横坐标分别为x,xp,x(4分)∵A、B是直线(与抛物线C的两个交点，P直线(与直线(₁:y=-3x+b的交点·:,.整理得：3t²-.整理得：3t²-9t-2=0,解得：2、如图，抛物线与x轴交于点A0),点B(2,0),与y轴交于点C(0,1),连接BC.(1)求抛物线的函数关系式；解：(1)设抛物线的解析式为由题可得：∴抛物线的函数关系式,,此时点N的坐标为②当0<t<2时，整理得：3t²-t-2=0,解得∴1=1,此时点N的坐标为(1,2)综上所述：点N的坐标为,轴交于两点A、B,点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=1.(1)求抛物线的解析式；(2)点M从从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到到终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S,点M运动时间为t,试求S与t的函数关系，并求S的最大(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t,使△MBN为直角三角形?若存在，求出t值；故抛物线的解析式为(2)设运动时间为t,那么可以得到MB=6-3t过N作NH⊥BM于点H,即(3)若△MBN为直角三角形，则设运动时间为t秒，则AM=3t,化简得：17t=24,解出(2)若∠ADC=90°,求二次函数的解析式。中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a解答：(1)解方程x²+4x-5=0,得x₁=-5或x₂=1∴对称轴为直线x=2,顶点D的坐标为(-2,-9a),∴C点的坐标为(0,-5a).依题意画出图形，如右图所示，则OA=5,OB=1,AB=6,OC=5a过点D作DE⊥y轴于点E,则DE=2,OE=9a,CE=OE-OC=4a(2)如图所示，在RIADCE中，由勾股定理得：CD²=DE²+CE²=4+16a²在R△AOC中，由勾股定理得：AC²=OA²+OC²=25+25a²在R△ADF中，由勾股定理得：AD²=AF²+DF²=9+8la²第(1)问中求△ACD面积的方法。5、如图，已知点A(-1,0),B(4,0),点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°,抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M.(1)求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；(2)试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；(3)在抛物线上是否存在点N,使得Sncx=4?如果存在，那么这样的点有几个?如果存在，那么这样的点有几个?如果不存在，请说明理由。解析：(1)∵Ri△ACB中，∠ACB=90,CO⊥AB又∵AO=1,BO=4∵抛物线y=ax²+bx+c过点A(-1,0),B(4,0)(2)∵∠ACB=90F.∴CH垂直CM(3)抛物线上存在点N,使得SAcv=4,这样的点有3个；理由为：于是可设与直线BC平行且距离为的直线为x+2y+m=0(m≠∴由得x²-4x-4=0∴由△>0知x²-4x-4=0有两个不同的实数解∴由△=0知x²-4x+4=0有两个相同的实数解故：物线上存在点N,使得SAx=4,这样的点有3个。6、如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).以A为顶点的抛物线过点C,且对称设运动时间为t秒。(1)直接写出A点坐标，并求出该抛物线的解析式；(2)在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，当1为何值时，APCQ为直角三角形?(3)在图2中，若点P在对称轴上从点B开始向点A以2个单位/秒的速度运动，过点P作PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连结AQ,CQ.当t为何值时，△ACQ的面积最大?最大值是多少?解：(1)∵抛物线的对称轴x=1,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,∴点A的坐标为(1,4)(2)由题意得：OC=3,OE=4时，△PCQ为直角三角形(8分)解得：∵P(1,4-1),将4-1代入y=-2x+6得，∴当1=1时，AACQ的面积最大，最大值为1(12分)(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式；(2)抛物线上是否存在点P,使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过抛物线上动点Q作QE垂直于点E,交直线BC于点D,过点D作x轴的垂线，垂足为(2)存在过点C作CM⊥BC交x轴于点M,作BN⊥BC交y轴于点N,如图1解方程组此时P点坐标(1,4)解方程组得此时P点坐标(-2,-5)或综上所述，当P点坐标为(1,4)或(-2,-5)时，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形(3)连接OD,作OH⊥BC,如图2易得四边形DEOF为矩形经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍。(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式；(2)如果点P和点Q同时出发，运动时间为t(秒),试问当t为何值时，以A,P,Q为顶点(3)在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得△ACD的面积最大。若存在，求出点D解：(1)∵直线y=kx-3与x轴交于点A(4,0)由直线.与y轴交于点C,可知C(0,-3)经过点A和点C(2)对于抛物线或(3)存在，如备用图：过点D作DF⊥x轴，垂足为E,交AC于点F故满足条件的D的坐标为D(2,9、如图，已知抛物线(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式(2)若在第一象限的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?解：(1)抛物线的解析式为：∵直线直线经过点B(2)由抛物线的解析式，令x=0,得：y=-k①若△ABC∽△APB,则有∠BAC=∠PAB,如图2-1所示,代入抛物线解析式,得：,,②若△ABC∽△PAB,则有∠ABC=∠PAB,如图2-2所示设P(x,y),过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y解得：x=6或x=-2(与点(3)作DK//AB,AH⊥DK,AH最小，点M在整个运动中用时为：10、如图，二次函数线y=x²+bx-3b+3的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b-2,2b²-5b-1).(1)求抛物线的解析；(2)⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D,求点M的坐标；F,若ADMF为等腰三角形，求点E的坐标。解：(1)把点(b-2,2b²-5b-1)代入解析式，得2b²-5b-1=(