中考数学一轮复习精讲精练(全国通用)第一讲 视图与投影（尺规作图）-满分之路（解析版）

模块七图形与变换第一讲视图与投影(尺规作图)知识梳理夯实基础知识点1:尺规作图(1)作一条线段等于已知线段已知：线段a①作一条直线l(2)作一个角等于已知角已知：∠AOB.作法：①在∠AOB上以点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点P,Q;②作射线EG,并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D;③以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第②步中所画弧于点F;④作射线EF.∠DEF即为所求作的角图示：(3)作已知角的平分线已知：∠AOBOA,OB于点N,M;径在角的内部画弧，两弧交于点P;BPM(4)作线段的垂直平分线求作：线段AB的垂直平分线MN。作法：①分别以点A,B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M,N;②过点M,N作直线.直线MN即为线段AB的垂直平分线.图示：N(5)经过一点作已知直线的垂线①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线已知：直线1和1上一点O。i)以点0为圆心，任意长为半径画弧，交直线1于A,B两点；ii)分别以点A,B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M,N;iii)作直线MN直线MN即为所求作的垂线.②经过已知直线外一点作这条直线的垂线已知：直线1和1外一点M.求作：直线1的垂线，使它经过点M.作法：i)在直线1的另一侧取点P;ii)以点M为圆心，MP长为半径画弧，分别交直线1于A,B两点；iii)分别以点A,B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点N;iv)作直线MN.直线MN即为所求作的垂线MMP1.混淆尺规作图与一般画图.尺规作图要求只能用无刻度的直尺和圆规来画图，在操作过程中是不允许度量的.而一般画图可以用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量.2.缺少作图痕迹.尺规作图一般不要求写步骤，但每一步的作图痕迹都要保留下来，痕迹要清晰.3.缺少“点睛之笔”.解答中除了作图之外，最后的答案一定要强调题目所要求作的是哪条线段、哪个角、哪个点或哪个图形知识点2:投影与视图1.投影一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙面上留下它的影子，这个影子称为物体由平行的光线所形成的投影。如：物体在太阳光的照射下所形成的影中心投影由一点(点光源)发出的光线所形成的投影。如：物体在灯泡发出的光的照射下形成的影子。2.三视图的概念一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图。主视图从几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图左视图从几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图俯视图从几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图三视图画法的规律主视图与俯视图要长对正，主视图与左视图要高平齐，俯视图与左视图要宽相等.注：看得见的部分的轮廓线要画成,看不见的线要画成3.常见几何体的三视图几何体主视图左视图俯视图正方体圆柱圆锥三棱柱圆台4.由三视图确定几何体由三视图想象几何体时，首先分别根据主视图、左视图、俯视图想象几何体的正面、左侧主视图左视图俯视图知识点3:几何体的展开与折叠1.常见几何体的展开图几何体展开图的特点图示(选其中一种)正方体6个大小相同的正方形圆柱2个大小相同的圆和1个矩形圆锥1个圆和1个扇形三棱柱2个全等的三角形和3个矩形2.正方体展开图的常见类型(1)“一四一”型(2)“二三一”型(3)“二二二”型3.立体图形的折叠一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，展开和折叠是一个互逆的过程。直击中考胜券在握【答案】A【解析】【分析】利用立体图形及其表面展开图的特点解题.【详解】解：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成，所以该立体图形的名称为四棱锥.【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键.2.(2023·河北中考)一个骰子相对两面的点数之和为7,它的展开图如图，下列判断正确的是()COA.A代表B.B代表D.B代表【答案】A【解析】【分析】根据正方体展开图的对面，逐项判断即可.【详解】解：由正方体展开图可知，A的对面点数是1;B的对面点数是2;C的对面点数是4;【点睛】本题考查了正方体展开图，解题关键是明确正方体展开图中相对面间隔一个正方形，判断哪两个面相对.3.(2023·山东日照中考)一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为()主视图左视图俯视图从俯视图看只有三列碟子，主视图中可知左侧碟子有6个，右侧有2个，根据三视图的思路可解答该题.【详解】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子.主视图可知左侧碟子有6个，右侧有2个，而左视图可知左侧有4个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计12个，本题的难度不大，主要是考查三视图的基本知识以及在现实生活中的应用.4.(2023·四川绵阳中考)如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是()【答案】D【解析】【分析】如图所示，等边三角形ABC,BC边上的高AD即为所求.【详解】解：如图所示等边三角形ABC,AD是BC边上的高，D【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三视图，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5.(2023·四川德阳中考)图中几何体的三视图是()【答案】A【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱用实线表示，看不到的棱用虚线的表示.【详解】解：该几何体的三视图如下：【点睛】此题主要考查三视图的画法，注意实线和虚线在三视图的用法.6.(2023·山东潍坊中考)如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A.主视图B.左视图C.俯视图D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据该几何体的三视图，结合轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形及中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形进行判断即可.【详解】解：该几何体的三视图如下：三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，【点睛】本题考查简单几何体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提.7.(2023·黑龙江牡丹江中考)如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是()主视图 俯视图【答案】D【解析】【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出第二层的个数，从而算出总的个数.【详解】解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层最少有1个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最少为4+1=5个.【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.8.(2023·贵州黔东南中考)由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为【答案】A【解析】【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数的和的2倍.解：正视图中正方形有3个；左视图中正方形有3个；俯视图中正方形有3个.则这个几何体表面正方形的个数是：2x(3+3+3)=18.则几何体的表面积为18.【点睛】本题考查了几何体的表面积，这个几何体的表面积为露在外边的面积和底面积之和.9.(2023·内蒙古呼伦贝尔中考)根据三视图，求出这个几何体的侧面积()【答案】D由已知，得到几何体是圆柱，由图形数据，得到底面直径以及高，计算侧面积即可.解：由题意知，几何体是底面直径为10、高为20的圆柱，【点睛】本题考查了由几何体的三视图求几何体的侧面积；关键是还原几何体，明确侧面积的部分.10.(2023·内蒙古赤峰中考)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是()A.27πcm²B.48πcmC.96πcm²【解析】【分析】【详解】∵圆锥母线长为9cm,直径为6cm,【点睛】本题考查由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，熟知圆锥的形中数字表示该位置上的小立方块个数()甲俯视图乙俯视图A.甲和乙左视图相同，主视图相同B.甲和乙左视图不相同，C.甲和乙左视图相同，主视图不相同D.甲和乙左视图不相同，主视图【解析】【分析】根据俯视图，即可判断左视图和主视图的形状.【详解】由甲俯视图知，其左视图为,由乙俯视图知，其左视图为,故它们的左视图不相同，但【点睛】本题考查了三视图的知识，关键是根据俯视图及题意确定几何体的形状，从而可确定其左视图和主视图.12.(2023·辽宁本溪中考)如图，该几何体的左视图是()【解析】【分析】【详解】【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出.13.(2023·黑龙江大庆中考)一个儿何体由大小相A.【答案】B【解析】【分析】主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形的数目为俯视图中该列小正可得出结论.【详解】由已知条件可知：主视图有3列，每列小正方形的数目分别为4,2,3,根据此可画出图形如下：【点睛】本题考查了从不同方向观察物体和几何图像，是培养学生观察能力.几何体的小正方体的个数最多为()【答案】A【解析】【分析】根据几何体主视图，在俯视图上表上数字，即可得出搭成该几何体的小正方体最多的个数.【详解】解：根据题意得：【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，在俯视图上表示出正确的数字是解本题的关键.15.(2023·山东菏泽中考)如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为A.12πB.18πC.24π【答案】B【解析】【分析】根据三视图可以确定该几何体是空心圆柱体，再利用已知数据计算空心圆柱体的体积.【详解】解：先由三视图确定该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是4,内圆直径是2,高是6.空心圆柱体的体积为【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求圆柱体的体积，考查学生的空间想象.16.(2023·四川眉山中考)我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据(单位：米)计算该整流罩的侧面积(单位：平方米)是()A.7.2πB.11.52πC.12π【答案】C【分析】从三视图分析出运载火箭由上半部分的圆锥和下半部分的圆柱组成，分别求出圆柱和圆锥的侧面积，再求和即可.【详解】由图可知，运载火箭的上半部分为圆锥，底面圆的半径r为2.4÷2=1.2,高为1.6.下半部分为圆柱，底面圆的半径r=1.2,高为4.该整流罩的侧面积：S=S+S₂=9.6π+2.4π=12π.【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥的侧面积计算方法.圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形.,其中1为扇形的弧长，R为半径.17.(2023·福建中考)如图所示的六角螺栓，其俯视图是()A.【答案】A【解析】【分析】根据从上面看到的图形即可得到答案.【详解】从上面看是一个正六边形，中间是一个圆，【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线.18.(2023·四川资阳中考)如图是由6个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是()【答案】C【解析】【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答.【详解】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由3个小正方形组成，右边一列由1个小正方形组成.【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图可确定该几何体的主视19.(2023·江苏南京中考)如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯(看作一个点)与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上【答案】D【解析】【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高关键.20.(2023-山东泰安中考)如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是()A.【答案】B【解析】【分析】直接从左边观察几何体，确定每列最高的小正方体个数，即对应左视图的每列小左视图.【详解】解：如图所示：从左边看几何体，第一列是2个正方体，第二列是4个正方体，第三列是3个正方体；因【答案】D【点睛】本题考查了几何体的三视图，要求学生理解几何体的三种视图并能明白左视图的含义，能确定几何体左视图的形状等，解决本题的关键是牢记三视图定义及其特点，能读懂题意和从题干图形中获取必要信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法，对学生的空间想象能力有一定的要求.21.(2023·黑龙江佳木斯三模)如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的主视图和左视图，这些相同的小正方体的个数最多是()【答案】C【解析】【分析】根据主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形得出结论.【详解】解：综合主视图和左视图，这个几何体的底层最有6个，第二层最多应该有4个，第三层最多应该有1个，因此组成这个几何体最多有11个小正方体.【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，求最少的方案，其实就是间接告诉了俯视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就能求出小正方体的个数了.22.(2023·江苏新吴二模)如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是()A.10πB.15πC.2【解析】【分析】根据三视图知这个几何体为圆锥，再利用圆锥侧面展开的面积加上底面积即可解答.【详解】这个几何体为圆锥，底面圆的半径为3,侧面展开图为扇形，扇形的半径为圆锥的母线长5,扇形的弧长为6π,由扇形的面积公式得这个几何体的全面积S=15π+9π=24π【点睛】本题主要考查由三视图到立体图形，以及立体图形的侧面展开图和扇形面积公式，圆锥的全面积为底面积加上侧面积，熟知主视图的定义和扇形面积公式是解题的关键.23.(2023·广东香洲二模)一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积是【答案】B【解析】【分析】首先根据三视图求出长方体的长、宽、高，然后利用体积公式计算即可.【详解】如图，连接AC,BD,交于点O,【点睛】本题主要考查三视图，掌握正方形的性质是关键.24.(2023年浙江省嘉兴市桐乡市中考一模数学试题)如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体A放到小正方体B的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是().A.主视图不变B.俯视图不变C.左视图改变D.以上三种视图都改变【答案】B【解析】【分析】根据三视图的定义即可判断.【详解】解：根据三视图的定义，A,主视图会变，故选项错误，不符合题意；B,俯视图不会变，故选项正确，符合题意；C,左视图不会改变，故选项错误，不符合题意；D,主视图改变，俯视图记左视图不会改变，故选项错误，不符合题意；【点睛】本题考查了三视图的定义，解题的关键是：搞清楚三视图的定义，主视图，从正面看；左视图，从左往右看；俯视图，从上往下看.25.(2023年山西省晋一大联考中考数学模拟试题)如图所示的几何体由6个相同的小正方体搭成，关于该几何体的三种视图，下列说法正确的是()A.仅主视图与左视图相同B.仅主视图与俯视图相同C.仅左视图与俯视图相同D.主视图、左视图和俯视图都相同【答案】D【解析】【分析】根据该几何体的三视图可逐一判断.【详解】该几何体的主视图：底层是两个小正方形，上层是两个小正方形；左视图：底层是两个小正方形，上层是两个小正方形；俯视图：底层是两个小正方形，上层是两个小正方形；所以主视图、左视图和俯视图都相同.【点睛】本题考查了三视图，掌握三视图的含义是解题的关键.26.(恩施州中考)由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图所示，则小正方体的个数不可能是()【答案】A【解析】【详解】俯视图分析】直接利用左视图以及俯视图进而分析得出答案.详解：由左视图可得，第2层上至少一个小立方体，第1层一共有5个小立方体，故小正方体的个数最少为：6个，故小正方体的个数不可能是5个.故选A.点睛：此题主要考查了由三视图判断几何体，正确想象出最少时几何体的形状是解题关键.27.(宁夏中考)由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是()1213【答案】A【解析】【分析】由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，第2列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形，据此可得.【详解】解：由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，第2列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形，【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.A.OB=OCB.∠BOD=∠CODC.DE/IABD.DB=DE【答案】D【解析】【分析】首先根据题意可知道MN为线段BC的中垂线，然后结合中垂线与中线的性质逐项分析即可.【详解】由题意可知，MN为线段BC的中垂线，BO为中垂线MN上一点，而题干中只给出BE是中线，无法保证BE一定与AC垂直，【点睛】本题考查三角形中几种重要线段的理解，熟练掌握基本定义，以步骤是：①在BO上任取一点A,连接AO并延长交8O于点B;②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交BO于C,D两点；③连接CO,DO得到六边形AFCBDE.连接AD,EF,A.②AOE的内心与外心都是点G【答案】DB.@FGA=OFOAD.EF=√ZAF证明△AOE是等边三角形，EF2OA,AD2OE,可判断可判断C;证明EF=√3AF,可判断D.【详解】BOF=OA=OE=OD,BEAOF,△AOE,△EOD都是等边三角形，BAF=AE=OE=OF,OA=AE=ED=OD,EBAOE的内心与外心都是点G,故A正确，E2AFE=30°,ERAGF=BAOF=60°,故B正确，BGA=GE,回点G是线段EF的三等分点，故C正确，【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形AEOF,四边形AODE都是菱形.分线.则b的长可能是()【答案】D【解析】【分析】利用基本作图得到从而可对各选项进行判断.【详解】【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).31.(2023·河北中考)如图1,已知∠ABC,用尺规作它的角平分线.如图2,步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA,BC于点D,E;第二步：分别以D,E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P;第三步：画射线BP.射线BP即为所求.下列正确的是()第一步第二步第三步A.a,b均无限制B.a>0,E的长【答案】B【解析】【分析】根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论.【详解】第一步：以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线BA,BC于点D,E;第二步：分别以D,E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P;第三步：画射线BP.射线BP即为所求.【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法.AO的长为【答案】2【解析】【分析】根据作图得出EF是线段AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质即可得出结论.【详解】解："分别以点A,B为圆心，以大于∴EF是线段AB的垂直平分线，故答案为2.【点睛】本题考查了作图-基本作图以及线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线作法是解答此题的关键.33.(2023·天津模拟)小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC,在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE,依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为(2.0),则点E的坐标是【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【详解】ZE(4,0).故答案为(4,0).【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键.34.(2023沈阳市和平区(二模))如图，在Rr₂ABC中，∠C=90°,∠B=22°,PQ垂直平分AB,垂足为Q,交BC于点P.按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC,AB于点D,E;分别以点D,E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F:作射线AF,射线AF与直线PO相交于点G,则∠AGQ的度数为度.【答案】56【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余得OBAC=68°,由角平分线的定义得BAG=34°,由线段垂直平分线可得AQG【详解】解：RZABC是直角三角形，8C=90°,RBAGQ=90°-aBAG=90°-3【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知作出∠BAC的角平分线与BC交于点E.连接BD交AE于点F,交AC于点O,猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想.(尺规作图保留作图痕迹，不写作法)【解析】【分析】AC=2AB得出AO=AB,由等腰三角形的性质得出,从而可得出结论.【详解】@DF=BO+OF=2BF+BF=3B【点晴】此题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关36.(2023·内蒙古赤峰市中考)如图，在Rt△ABC中，BACB=90°,且AC=AD.(1)作②BAC的平分线，交BC于点E;(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，连接DE,证明AB⊥DE.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】(1)首先以A为圆心，小