中考数学一轮复习精讲精练(全国通用)第六讲 锐角三角函数及其应用-满分之路（解析版）

模块四三角形第六讲锐角三角函数及其应用知识梳理夯实基础知识点1:锐角三角形锐角三角形函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90,A,B,C的对边分别为a,b,c。AAcabBC互余两角的三角函数关系若A+B=90则知识点2:特殊角的三角函数值1.图表记忆a图形记忆221130°,45°,60°角的余弦值分别是60°,45°,30°角的正弦值。知识点3:解直角三角形的常用关系1.常见关系三边关系(勾股定理)两锐角间关系边角关系面积关系解直角三角形时的原则：有角求角，无角求边；有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中；化斜为直，方程相助。2.常见解法条件一条边一个角锐角和—锐角图形AGcBACC4RAbGc证RCCd解法或c=√a²+b²b=c·cosA知识点4:解直角三角形的实际应用概念定义图形俯角、仰角在水平线下方的角叫俯角坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h与水平宽度1的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡角，i=tana=方向角正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度，方向角的角度值在0°90°.如图，点A,B,C关于0点的方向角分别是北偏东30°、南偏向).2.测量物体高度的常见三角形模型(1)利用水平距离测量物体的高度(h)(2)测量底部可以到达的物体的高度(h)数量关系a₁,水平距由此可求得h.背靠背型βh角β,水平由h₁+h₂=h即可求得h.Q(3)测量底部不可达到的物体的高度(h)数量关系背靠背型AAβa@由①②可求得h.hh工h角β,测角仪的高度由①-②可求得h₁,则h=Ba由①②可求得h.hXa由①②可求得h,直击中考胜券在握1.(2023·天津中考)tan30°的值等于()日【分析】55【详解】【点睛】2.已知RtRABC中，@C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中正确的是()【分析】【详解】,,,,,【点睛】【分析】则cosA的值等于()或当AC为斜边时，也求出AB的值，从而求出cosA.【详解】AA当OABC为直角三角形时，存在两种情况：【点睛】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键，并注意分类讨论.【答案】C【分析】【详解】设AB=3x,BC=x,5勾股定理求出AC,根据三角函数的定义求tanA即可.AC=√AB²-BC²=√3x)²-x²=2√2x,【点睛】5.(2023·安徽省中考)如图，Rt₄ABC则BD的长度为()【答案】C【分析】先根据AC=4.,求出AB=5,【详解】再根据勾股定理求出BC=3,然后根据∠DBC=∠A,即可得,,【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键.6.如图，在RtAABC中，∠BCA=90°,CD⊥AB于D,下列结论错误的有()个【答案】B【分析】【详解】根据∠BCA=90°,CD⊥AB于D,图中相似三角形有△ADC∽△ACB,△ADC∽△CDB,△BDC∽△BCA故②正确；根据可得AB.BD=BC²=20所以可得到BC·AC=AB·CD,故③正确；故答案选B.【点睛】本题主要考查了直角三角形的相关知识点，结合相似三角形、三角函数的知【答案】【解析】试题分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出BC的度数.试题解析：由题意，得a7C=180°-2A-EB=180°-60°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值：非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理.【点睛】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合.此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理.8.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,D是AC上一点，若则AD的长为().A.2【答案】A【详解】分析：本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形。解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解.9.(2023·云南中考)在ABC中，∠ABC=90°,若则AB的长是()【答案】D【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC,然后利用勾股定理即可求解.【详解】故选D【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键.10.(2023·桂林中考)如图，在平面直角坐标系内有一点P(3,4),角α的正弦值是()日【答案】D【分析】作PM2x轴于点M,构造直角三角形，根据三角函数的定义求解.【详解】解：作PMx轴于点M,连接OP,则OP与x轴正方向所夹锐【点睛】11.(2023·金华中考)如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC与地面BC的夹角为α【分析】【详解】【答案】DAB.5【答案】B【分析】作ADBBC于D,利用勾股定理求出AB的长，再根据公式计算即可.【详解】解：作AD2BC于D,【点睛】此题考查求角的余弦值，勾股定理求边长，正确构建直角三角形并熟记余13.(2023·福建中考)如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选【分析】解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长.【详解】·:,【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三14.(2023·吉林长春中考)如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A、B两点间的距离为30米，∠A=a,则缆车从A点到达B点，上升的高度(BC的长)为()【分析】【详解】米米求EBAC的对边，选择@BAC的正弦，列出等式即可表示出来.【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角15.(2023·重庆A卷)如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度(或坡比)i=1:0.75,山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45m,在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°,居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为()A.76.9mB.82.1mC.94.8mD.112.6m【答案】B【分析】AB.【详解】AF=tan28°×DF≈0.53×87≈4【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提.16.(2023·随州中考)如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β,已知：则梯子顶端上升了()【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD=CEsin8与AD=ABsina,两线段作【详解】AC=CD-AD=8-6=2.EE【答案】2..【点睛】本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关则BD的长度为【分析】在△ABC中，由三角函数求得AB,再由勾股定理求得BC,最后在△BCD中由三角函数求得BD.【详解】故BD的长度为【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，解题关键是解直角三角形.18.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相【分析】如图，取格点H,连接AH,BH,证明BAHB=90°,CDBBH,可得@APD=ZABH,即可求出答案.【详解】解：如图，取格点H,连接AH,BH,BAB=√3²+I=√10,AH=√Z²+2³AH²+BH²=AB²,故答案为：2.【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理，以及三角函数的定义.此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用.19.(2023·梧州中考)某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图(如图),点A到桥的距离是40米，测得BA=83°,则大桥BC的长度是米.(结果精确到1米)(参考数据：sin83°≈0.99,cos83°≈0.12,【答案】326【分析】根据正切的定义即可求出BC.【详解】BC=ACtan83≈40×8.14≈325.6≈326(米)【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函20.(2023·湖北荆州中考)如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB,BC可分别绕点A,B转动，测量知BC=8cm,AB=16cm。当AB,BC转动到∠BAE=60°,∠ABC=50° 【分析】作辅助线如图，则四边形CDGF是矩形，可得CD=FG,然后分即可.【详解】解：如图，作CD3AE于点D,作BGEAE于点G,作CFBG于点F,则四边形CDGF是矩形，【点睛】键.,AD=4,,AD=4,【分析】【详解】∵DE⊥AC在矩形ABCD中，AB=CD=3故答案为：3.【点睛】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.22.(2023·四川绵阳中考)在直角。ABC中，∠C=90°,∠C的角平分线交AB于点D,且CD=2√2,斜边AB的值是.【分析】用CD=2√2,根据直角三角形的性质可求出DE=EC=CF=FD=2,再根据锐角三角函数和勾股定理得到求出AC·BC的值即可.【详解】【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角23.(2023·广西百色中考)数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机.当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°,塔底B点的俯角为60°,【分析】【详解】然后分别在RtAPO中在Rt₂BPOAB=AO+BO=5V3+15V3=20√3,【点睛】24.(2023·辽宁阜新中考)如图，甲楼高21m,由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°,看乙楼底的俯角是30°,则乙楼高度约为m(结果精确到1m,√3≈1.7).【答案】57【分析】然后在Rr△ADE中，求出DE,即可求解.AE⊥CD,垂足为点E,在Rt△ACE中，BCD=DE+CF=21√3+21≈57m,即乙楼高度约为57m【点睛】,,。=2a,根据三角形的面积可求出AE,然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【详解】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F,设CD=2a,【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键.26.(2023·江苏常州中考)如图，在ABC中，AC=3,BC=4,点D、E分别在CA、CB上，点F在ABC内，若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA=【分析】连接AF,CF,过点F作FMAB,由SABc=SAC+SC+SAF,可得FM=1,再根据锐角三角函数的定义，即可求解.【详解】解：连接AF,CF,过点F作FM2AB,【点睛】27.(2023·湖北黄石中考)如图，直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD,测得BC=5米，CD=4米，∠BCD=150°,在D处测得电杆AB的高度约为米.(参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732,结果按四舍五入保留一位小数)【分析】延长AD交BC的延长线于E,作DFBBE于F,根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF,得到BE的长，根据正切的定义解答即可.【详解】BDF=2,CF=√CD²-DF²=2√3,【点睛】【详解】.【点睛】处沿水平方向飞行至B处需10s,同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.则这架无人机的飞行高度大约是m(√3≈1.732,结果保留整数)【答案】20【分析】过点A作AD⊥BC于点D,过点B作水平线的垂线，垂足为点E,先解直角三角形求出BD,CD的长，从而可得BC,再根据直角三角形的性质求出BE的长即可得.【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D,过点B作水平线的垂线，垂足为点E,即这架无人机的飞行高度大约是20m,故答案为：20.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键.(2)sin60°cos60°+sin45°cos4【详解】解：(1)原j【点睛】本题考查特殊角三角函数值，熟练掌握特殊角三角函数值31.(2023·上海中考)已知在△ABD中，AC⊥BD,BC=8,CD=4,,,BF为AD边上的中【答案】(1)AC=6;(2)【分析】(1)在Rt2ABC中，利用三角函数即可求出AB,故可得到AC的长；(2)过点F作FG2BD,利用中位线的性质得到FG,CG,再根据正切的定义即可求解.【详解】AC=√AB²-BC²=6(2)过点F作FGZBD,@BF为AD边上的中线.BF是AD中点EFGHBD,AC⊥BD【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义.32.(2023·四川省成都中考)越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度。如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=33°,在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC=45°(点A,D与N在一条直线上),求电池板离地