中考数学几何模型专项复习 模型20 轴对称-婆罗摩笈多模型-（原卷版+解析）

轴对称模型(二十)——婆罗摩笈多模型模型解密【证明】如图，(知垂直得中点，一线三垂直)过A作AP⊥MN,垂足为P,过D作DQ⊥MN交MN的延长线于Q,③如图，由①得，PN=QN,【证明】如图，(知中点得垂直，倍长中线)证明：延长BP至点M,使PM=BP,连结ME,易证：△PBC≌PME又∵∠ABC=∠DBE=90°易证：△ABD≌△MEB,③如图，由①知AD=MB=2BP,得证。若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有另一个名称，叫做“布拉美古塔定理”(1)若M是BC的中点，则①AD=20M,②Sop=Sw=SABOC·1.(河北省石家庄市石家庄外国语学校2019-2020学年八年级上学期期末数学试题)阅读情境：在综合实践如图1,△ABC≥△ADE,其中∠B=∠D=90,AB=BC=AD=DE=2,此时，点C与点E重合，操作探究1:(1)小凡将图1中的两个全等的△ABC和△ADE按图2方式摆放，点B落在AE上，CB所在直线交DE所在直线于点M,连结AM,求证：BM=DM.DE,它们相交于点F.如图3,在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：①α=30°时，求证：△CEF为等边三角形；②当a=时，AC//FE.(直接回答即可)于点F,在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：①如图4,当β=60°时，直接写出线段CE的长为②如图5,当旋转到点F是边DE的中点时，直接写出线段CE的长为2.(重庆市沙坪坝区第一中学校2021-2022学年九年级下学期5月月考数学试题)已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC,点D线段BC中点，连接AD.E为平面内一点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段EF,连接DF,图1图2图3(2)如图2,若点E在△ACD的内部连接AE、CE,线段AE交线段DF于点H,当∠CDE=∠ACE时，(3)如图3,过A作DE的平行线，交直线DF于点M.连接BM.将△AMD沿BM翻折得到△A'MD,当线段BM最短时，直接写出此时.的值. 真题热身 1.(2023年四川省达州市开江县永兴中学中考数学模拟试题)我们定义：如图1,在△ABC中，把AB绕点①如图2,当△ABC为等边三角形，且BC=6②如图3,当∠BAC=90°,且BC=7时，则AD长为(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为找到证明思路，可以考虑延长AD或延长BA,…)(3)[拓展应用]如图4,在四边形ABCD中，∠BCD=150°,AB=12,CD=6,以CD为边在四边形ABCD内四边形ABCD的边AD长.2.(2023年湖北省随州市曾都区九年级升学适应性考试数学试题)我们定义：如图1,在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转a(0<α<180)得到AB,把AC绕点A逆时针旋转β得到AC,连接BC.当a+β=180时，【特例感知】①如图2,当AABC为等边三角形，且BC=6时，则AD长为②如图3,当∠BAC=90,且BC=7时，则AD长为_.【猜想论证】(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.(如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长BA,……)【拓展应用】(3)如图4,在四边形ABCD中，∠BCD=150,AB=12,CD=6,以CD为边在四边形ABCD内部作等ABCD的边AD长.模型解密易证：△ABP≌△BCM,AP=BM,△DQB≌△BME,DQ=BM易证：△APN≌△DQN【结论2】如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，点P是C证明：延长BP至点M,使PM=BP,连结ME,易证：△PBC≌PME易证：△ABD≌△MEB,②如图，由①知SAC=SACap+SAp=SAEMp+SABp=SMEB=SAAD,得证.③如图，由①知AD=MB=2BP,得证。(又译《卜拉美古塔定理”)。拓展2:如图，△AOB和△COD是等腰三角形，∠AOB+∠COD拓展3:如图，△A0B≌△COD且∠AOB=∠COD=180,MN过点0.拓展4:如图，在△AOB、△COD中，1.(江西省南昌市第十九中学2019-2020学年八年级上学期第一次月考数学试题)如图，分析延长AM至N,使MN=AM,证△AMC≌△NMB,【详解】延长AM至N,使MN=AM,连接BN,【点睛】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，延长AM至N,使MN=AM,再只证AN=DE即可，这就是“中线倍长”,实质是“补1.(河北省石家庄市石家庄外国语学校2019-2020学年八年级上学期期末数学试题)阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”如图1,△ABC=△ADE,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=AD=DE=2,此时，点C与点E重操作探究1:(1)小凡将图1中的两个全等的△ABC和AADE按图2方式摆放，点B落在AE后，分别延长BC,DE,它们相交于点F.如图3,在操作中，小彬提出如下问题，请你①α=30°时，求证：△CEF为等边三角形；②当a=时，AC//FE.(直接回答即可)操作探究3:(3)小颖将图1中的AABC绕点A按顺时针方向旋转角度β(0⁰<β<90°),线段BC和DE相交于点F,在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：①如图4,当β=60°时，直接写出线段CE的长为②如图5,当旋转到点E是边DE的中点时，直接写出线段CE的长为分析(1)证明Rt△AMB≌Rt△AMD即可解决问题.(2)①证明∠FCE=∠FEC=60°即可解决问题.②根据平行线的判定定理即可解决问题.(3)①连接EC,证明△AEC是等边三角形，利用勾股定理求出AE即可解决问题.②如图5中，连接AF,BD交于点O.首先证明EC=BD,再证明OB=OD,利用面积法求出OB即可解决问题.【详解】(1)证明：如图2,(2)①证明：如图3中，AB=AD,∴△EFC是等边三角形.故答案为45°.(3)①解：如图4中，连接EC,②解：如图5中，连接AF,BD交于点O.BC=2,∴AF垂直平分线段BD,在Rt△ABF中，故答案为.质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.2.(重庆市沙坪坝区第一中学校2021-2022学年九年级下学期5月月考数学试题)已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC,点D线段BC中点E逆时针旋转90°得到线段图2图1图2为平面内一点，将线段DE绕点(2)如图2,若点E在△ACD的内部连接AE、CE,线段AE交线段DF于点H,当(3)如图3,过A作DE的平行线，交直线DF于点M.连接BM.将△AMD沿BM翻折得到△A'MDY,当线段BM最短时，直接写出此时的值.分析(1)过D作DH⊥AC交AC于H,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半、直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半及等腰直角三角形关系结合勾股定理即可求出三角形的底和高，即可得到答案；角得到角度的等量关系，再根据两次三角形全等即可得到线段相等；(3)根据等腰直角三角形及线平行得到角度数，再根据对角互补的四边形与圆内接四边形关系等到点M在圆上，根据圆外一点与圆的距离关系找到最小点，根据对称找到相等从而得到三角形相似得出线段与半径的关系，最后根据勾股定理求出平方值即可得到比值.【详解】(1)解：如图所示过D作DH⊥AC交AC于点H,DG²-GE²=DE²(2)证明：延长CE交DF于K,过A作AG⊥DF交DF于G,∴△AHG≌△EHK(AAS),(3)解：过D作DH⊥AC,∵AM//DE,∴HB=√(2r²+F²=√5r,连接AA'交BH于点O,,,在Rt△OA'M中根据勾股定理可得，【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、圆的有关计算、等腰三角形有关计算、旋转的性质及勾股定理，解题的难点主要是根据性质作出相应辅助线，巧妙灵活的运用知识点进行计算，第三问中最难点是找到最短距离点. 真题热身 1.(2023年四川省达州市开江县永兴中学中考数学模拟试题)我们定义：如图1,在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转a(0⁰<a<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到图3图3①如图2,当△ABC为等边三角形，且BC=6时，则AD长为②如图3,当∠BAC=90°,且BC=7时，则AD长为(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.(如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A,…)(3)[拓展应用]如图4,在四边形ABCD中，∠BCD=150°,AB=12,CD=6,以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD,连接AP,BP.若△PAD是△PBC的“旋补三角形”,请直,证明见解析分析(1)①首先证明。ADB'是含有30°是直角三角形，可得即可解决问题.②首先证明。BAC=△BAC,根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题.(2)结论：如图1中，延长AD到M,使得AD=DM,连接B'M,CM,首先证明四边形ACMB'是平行四边形，再证明。BAC=AB'M,即可解决问题.(3)如图4中，过点P作PH⊥AB于H,取BC的中点J,连接PJ.解直角三角形求出BC,PJ,利用(2)中结论解决问题即可.解：①如图2中，·AD⊥B'C故答案为：3.②如图3中，故答案为：3.5.理由：如图1中，延长AD到M,使得AD=DM,连接B'M,CM∴四边形AC'MB'是平行四边形，AB=AB,如图4中，过点P作PH⊥AB于H,取BC的中点J,连接PJ.,①如图2,当AABC为等边三角形，且BC=6时，则AD长为②如图3,当∠BAC=90,且BC=7时，则AD长为【猜想论证】(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.(如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长BA,……)(3)如图4,在四边形ABCD中，∠BCD=150,AB=12,CD=6,以CD为边在四边形ABCD分析(1)①由旋补三角形的概念可证明△ADB′是含有30°是直角三角形，