《28.1 第2课时 余弦函数和正切函数》课件（两套）

28.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数第2课时余弦函数和正切函数学习目标1.理解并掌握锐角余弦和正切的定义并能进行相关运算.（重点）2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.（重点）导入新课问题引入

如图所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？讲授新课余弦一互动探究我们来试着证明前面的问题：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.从而因此由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cosα，即斜边角的邻边α从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有

cosα=sin(90°-α)从而有

sinα=cos(90°-α)例1

求cos30°，cos60°，cos45°的值．

解:cos30°=sin(90°-30°)=sin60°=；cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=cos45°=sin(90°-45°)=sin45°=典例精析例2如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C=，DF=3，求⊙O的半径．解析：由于∠A、∠C所对的弧相同，因此cosA=cosC，由此可得BF、AF、AB的比例关系，可用未知数表示出它们的长．连接BD，易证△BDF∽△ABF，根据所得比例线段即可求得未知数的值，从而得到直径AB的长，从而得到⊙O的半径．解：连接BD．在⊙O中，∠C=∠A，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得，BF=3x．∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，∴cosA=cosC=∴△ABF∽△BDF，∴⊙O的半径为1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A.B.C.D.练一练D2.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A.B.C.D.A正切二我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一个常数）.

那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？想一想问题如图，△ABC

和△DEF

都是直角三角形，其中∠A=∠D=α

，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？∴Rt△ABC∽Rt△DEF.即BC·DF=AC·EF

，∠A=∠D=α，∠C=∠F=

90°，∵∴∴

由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．

角的对边角的邻边如下图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tanα，即例3求tan30°，tan60°的值.从而AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.解

如图，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，由此得出典例精析于是

∠B=60°.

因此因此例4矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．解析：根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．解：由折叠的性质可得，CF=CD，∠EFC=∠EDC=90°.∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，∴∠AFE+∠BFC=90°.∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF.在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得BF=6.∴tan∠BCF=.

∴tan∠AFE=tan∠BCF=.锐角三角函数三典例精析例5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA,cosA,tanA的值.ABC106解：由勾股定理得因此当堂练习1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定2.已知∠A,∠B为锐角，(1)若∠A=∠B,则cosA

cosB;(2)若tanA=tanB,则∠A

∠B.ABC┌C==提示:求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.┌BCA36(1)3.在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)如图(1),AC=3,AB=6,求tanA和tanB;解:3.在Rt△ABC中,∠C=90°,(2)如图(2),BC=3,tanA=,求AC和AB.B┌AC3(2)解:4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求：sinA、cosB的值．ABC8解：∵5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，求sinA、tanA的值．解：∵ABC∴设AC=15k，则AB=17k所以课堂小结余弦函数和正切函数在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫做角α的余弦α确定的情况下，cosα,tanα为定值，与三角形的大小无关在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫做角α的正切余弦正切性质ABCcba┌28.1锐角三角函数

第2课时余弦函数和正切函数1、理解余弦、正切的概念；2、培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.1、sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角.2、sinA是一个比值（数值）.3、sinA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，特殊角的正弦函数值正弦

当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其任意两边的比值都是唯一确定的吗？为什么？∟

对边a斜边c邻边b我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即ACBBCAB和B′C′A′B′在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比及对边与邻边的比是一个固定值.BACA′B′C′任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α.那么BCAC和B′C′A′C′有什么关系？，及由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，BCAB=B′C′A′B′，BCAC=B′C′A′C′.如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∟BACbca斜边角A的对边∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c.角A的邻边对于锐角A的每一个值，sinA有唯一的值和它对应，所以sinA是A的函数，同样地，cosA，tanA也是A的函数.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA，tanB的值.ABC6【解析】1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定ABCC2、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.ABCDBCACBDAD1.（湖州中考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为()A.2B．C．D．【解析】选B.根据正切的函数定义，角A的正切应是它的对边与邻边的比，所以B是正确，A是∠B的正切；C和D都错．BBAEDC30°A2.（黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝则tanB＝（）3.（丹东中考）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）B4．（怀化中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=则cosB的值等于（）5.（东阳中考）如图，为了测量河两岸A.B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝α，那么AB等于（）A.a·sinαB.a·tanα