压轴小题10 迎刃而解平面解析几何综合问题（解析版）

压轴小题10迎刃而解平面解析几何综合问题压轴压轴秘籍点到直线的距离公式点，直线，点到直线的距离为：两条平行线间的距离公式，，直线与圆的位置关系直线，圆代数关系，几何关系圆上一点的切线方程圆与圆的位置关系设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；两圆内含，公切线的条数为0条；弦长公式，直线与圆交于A，B两点，设，，有：则或：椭圆离心率，双曲线离心率，椭圆焦点三角形的面积公式（椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形）双曲线焦点三角形面积公式：抛物线（焦点在x轴上）焦点弦相关结论，直线A,B过抛物线（焦点在x轴上）焦点与抛物线交于A，B两点，设，有6.椭圆离心率求解的5种常用方法公式1:公式2:变形证明:公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形,,则椭圆的离心率证明:,由正弦定理得:由等比定理得:,即.公式4:以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外)为顶点,则证明:由正弦定理有.公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或7.双曲线离心率求解的5种常用方法公式1:公式证明:公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则证明:,由正弦定理得:由等比定理得:即。公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率证明:由正弦定理,有即又公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或8.椭圆中的阿基米德三角形设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦为AB,过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形,则有:

性质1:弦AB绕着定点Pm,0转动时,则其所对顶点Q落在直线x=a2m上.

其中,当P点为左(右)焦点时9.双曲线中的阿基米德三角形设双曲线C:x2a2-y2b2=1a,b>0的弦为AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形,则有:

性质1:弦AB绕者定点Pm,0转动时,则其所对顶点Q落在直线x=a2m上.

其中,当P点为左(右)焦点时10.抛物线中的阿基米德三角形抛物线的弦为AB,过A，B阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线l方程为:ax+by+c=底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为a3若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点Q的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为p在阿基米德三角形中,∠AF⋅抛物线上任取一点I(不与A,B重合),过I作抛物线切线交QA,QB于S,T,连接AI,BI,则△压轴训练压轴训练一、单选题1．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解.【详解】延长与双曲线交于点，因为，根据对称性可知，设，则，可得，即，所以，则，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故选：D.

【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值；2．焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，，求出直线的方程后结合距离公式可求的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.【详解】

设椭圆的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为，故其方程为：，令，则，结合在轴正半轴上，故，令，则或，故.故，故直线.设，因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故，而，故，整理得到：，故，故，所以，故，整理得到：，故，故选：D.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在椭圆上或判别式为零等合理构建.3．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线所过定点和知，由此得轨迹是以为圆心，为半径的圆（不含点），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法求得，结合向量数量积的运算律求得最小值.【详解】由圆的方程知：圆心，半径；由得：，恒过定点；由得：，恒过定点；由直线方程可知：，，即，设，则，，，整理得：，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又直线斜率存在，点轨迹不包含；若点为弦的中点，则，位置关系如图：

连接，由知：，则，（当在处取等号），即的最小值为.故选：A.4．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（

）．A． B．C． D．1【答案】A【分析】先求出轨迹的方程，再利用直线与有且只有一个公共点，求出点的坐标，从而得解.【详解】根据，可得，化简得为动点的轨迹的方程为：，设经过点的直线为：，（可判断斜率存在）联立方程，得①,由于直线与有且只有一个公共点，所以，或，得，或，因为圆，圆心，所以当点在轴上方时较小，以下只讨论点在轴上方的情况,当时，代入①式，得，再代入双曲线方程可得，当时，点在圆内，可得的最小值为；当时，代入①式，得，再代入双曲线方程可得则，当时，点在圆外，可得的最小值为；则的最小值为.故选：A【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.5．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据等面积法可得，再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，故，又，则，由余弦定理知：，所以，而，因为的内切圆的半径，故，所以，则，由，即，所以，整理得且，所以，，当且仅当时等号成立，所以目标式最小值为.故选：B6．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意画出图，由已知求出的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.【详解】由题意如图所示：由双曲线，知，所以，所以，所以过作垂直于轴的直线为，代入中，解出，由题知的内切圆的半径相等，且，的内切圆圆心的连线垂直于轴于点，设为，在中，由等面积法得：由双曲线的定义可知：由，所以，所以，解得：，因为为的的角平分线，所以一定在上，即轴上，令圆半径为，在中，由等面积法得：，又所以，所以，所以，，所以，故选：A.7．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考二模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】因为，所以∽，设，则，设，则，．因为平分，由角平分线定理可知，，所以，所以，由双曲线定义知，即，，①又由得，所以，即是等边三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化简得，把①代入上式得，所以离心率为．故选：A．8．（2023·江苏南通·二模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，有，，，由弦长公式可得，，四边形AMBN的面积为，解得，可求双曲线的离心率.【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，圆O：，圆心为，半径为，设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，同理，，由，四边形AMBN的面积为，，化简得，则有，则C的离心率.故选：D9．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上一点，，的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据题意分析可得，利用正弦定理结合角平分线可得，再根据双曲线的定义结合通径分析运算即可.【详解】∵，则，可得，分别在中，由正弦定理可得：∵平分，可得，即，且，故，则，所以，又∵，则，所以，整理得，故，得，即，所以.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.方法定睛：1.双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．2.焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将双曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．10．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】设出点P，M的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得轴，再利用和角的正切公式求出a，b的关系作答.【详解】如图，设，点共线，点共线，所在直线的斜率分别为，点在双曲线上，即，有，因此，点在椭圆上，即，有，直线的斜率，有，即，于是，即直线与关于轴对称，又椭圆也关于轴对称，且过焦点，则轴，令，由得，显然，，，解得，所以双曲线的离心率.故选：D【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.11．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则该双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先确定的两条渐近线分别为，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线且，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率.【详解】由的两条渐近线分别为，所以该函数对应的双曲线焦点在夹角（锐角）的角平分线上，设且，若分别是，的倾斜角，故，故为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，由，即，整理得，可得（负值舍去），所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线一条渐近线斜率为，故.故选：D【点睛】关键点点睛：求出的渐近线，利用正切差角公式求其旋转后渐近线斜率是关键.二、多选题12．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）圆柱高为1，下底面圆的直径长为2，是圆柱的一条母线，点分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（

）．A．若，则点的轨迹为圆B．若直线与直线成，则的轨迹是抛物线的一部分C．存在唯一的一组点，使得D．的取值范围是【答案】BC【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式以及向量夹角公式列式计算可得点的轨迹方程判断选项A和选项B，假设，根据勾股定理列式结合均值不等式计算最值，即可判断选项C，计算的最大值判断选项D.【详解】对B，如图，不妨以为原点，以的垂直平分线，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设，则，由题意，，化简得，，由于点在上底面内，所以的轨迹是抛物线的一部分，故B正确；对A，，化简得，即点的轨迹为椭圆，故A错误；

对C，设点在下平面的投影为，若，则，则，当在线段上时，可取最小值，由均值不等式，，当且仅当时等号成立，所以，即，而点只有在与点重合时，才能取到，此时点与点重合，点与点重合，故C正确；对D，当点与点，点与点重合，的值为，故D错误.故选：BC【点睛】判断本题选项B时，利用定义法计算线线所成的角不好计算时，可通过建立空间直角坐标系，利用向量夹角的计算公式列式计算.13．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）若点P是棱长为2的正方体表面上的动点，点M是棱的中点，则（

）A．当点P在底面内运动时，三棱锥的体积为定值B．当时，线段长度的最大值为4C．当直线AP与平面所成的角为45°时，点P的轨迹长度为D．直线DM被正方体的外接球所截得的线段的长度为【答案】ACD【分析】对A，找到高不变，底面为定值，则体积不变，求出相关高与底面积即可，对B，找到点轨迹是矩形（除点）与重合时最大,即可计算，对C，找到点的三次轨迹，第三次轨迹为四分之一圆，计算即可，对D建立空间直角坐标系，利用点到直线距离公式即可计算.【详解】对A选项，根据正方体上下底面平行得到平面的距离始终为2，因为为的中点，故，故，故，故A正确；对于B，分别取中点,,连接,,首先与平行且相等,与平行且相等,因此与平行且相等,则是平行四边形，在同一平面内,正方形,易得，所以(为,的交点),所以,又平面平面,所以平面,所以平面,而,则平面ABEF所以点轨迹是矩形（除点），与重合时最大,为,故B错误；对于C，直线与平面所成角为,若点在平面和平面内，最大,不成立;在平面内,点的轨迹是,在平面内,点的轨迹是,在平面时,作平面,如图,作平面，，点的轨迹是以为圆心,以2为半径的四分之一，点的轨迹长度为,点的轨迹总长度为,故C正确;对于D选项，首先作出如图所示图象，正方体外接球半径，直线与球面的一个交点为，另一交点设为，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，首先求出圆心到直线的距离，因为棱长为2，且为中点，故,,,故,,，故圆心到直线的距离，故线段,故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：空间中点到直线的距离公式：设某空间直线的方向向量为过点;空间上的一点令，即表示由点指向点的向量.观察而与要求的距离构成以即为斜边的直角三角形.故.14．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）过圆：内一点作两条互相垂直的弦，，得到四边形，则（

）A．的最小值为4B．当时，C．四边形面积的最大值为16D．为定值【答案】ABD【分析】当为中点时最小，即可求出，从而判断A；设到，的距离分别为，，则，求出，即可得到，从而求出，即可判断B；根据利用基本不等式求出四边形面积的最大值，即可判断C；分别取，的中点，，根据数量积的运算律求出的值，即可判断D.【详解】解：当为中点时最小，，，故A正确；设到，的距离分别为，，，∴，又，∴，，故B正确；因为，所以，则，当且仅当时取等号，所以，故C错误.分别取，的中点，，则为定值，故D正确.故选：ABD.15．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知过抛物线焦点的直线交于两点，交的准线于点，其中点在线段上，为坐标原点，设直线的斜率为，则（

）A．当时， B．当时，C．存在使得 D．存在使得【答案】ABD【分析】特殊值法分别令和代入直线，再由抛物线的定义,过抛物线的焦点的弦长,选项得解,由,则,联立方程组，结合韦达定理,可判断选项C,若,,联立方程组结合韦达定理,可判断选项D.【详解】对于选项A.当时,过抛物线的焦点的直线方程为:,设该直线与抛物线交于,两点,联立方程组,整理可得:,则,由抛物线的定义:,故A正确.对于选项B.当时,过抛物线的焦点的直线方程为:,设该直线与抛物线交于,两点,联立方程组,整理可得:，则,则,所以，由抛物线的定义:又因为直线与抛物线的准线交于点,则，即，故B正确.对于选项C.设过抛物线的焦点的直线方程为:与抛物线交于两点,联立方程组,整理可得:则,，所以.若,则,故不存在，使得,故C不正确.对于选项D.设过抛物线的焦点的直线方程为:与抛物线交于两点,联立方程组,整理可得:,则，,若,因为,,即,则,即:,可得:,即:,则,解得:,解得:.故存在使得,故D正确;故选：ABD.【点睛】本题考查了抛物线与直线方程的位置关系，解方程组，焦点弦的应用，对与本题，运算能力，数形结合思想是关键，属于较难题.16．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知经过点的圆C的圆心坐标为(t为整数)，且与直线l：相切，直线m：与圆C相交于A、B两点，下列说法正确的是（

）A．圆C的标准方程为B．若，则实数a的值为C．若，则直线m的方程为或D．弦AB的中点M的轨迹方程为【答案】BC【分析】对于A，设圆C的半径为r，由题意得出圆C的方程，即可根据已知点是圆C上的点，且圆C与直线l：相切，列方程组解出t，r的值，即可得出圆C的标准方程；对于B，根据已知与得出线段AB为圆C的直径，即可根据直线m与圆C相交于A、B两点，得出圆心C在直线m上，代入求解即可得出a的值；对于C，利用点到直线距离公式得出圆心C到直线m的距离d的式子，根据弦长结合勾股定理得出d的值，即可列式得出a，即可得出直线m的方程；对于D，转化直线m的方程得出直线m过定点，根据圆的性质可得，即可根据圆的性质得出点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，即可得出该圆的方程，注意此方程是有范围的，根据两圆的交点坐标得出范围，即可判断.【详解】对于A，设圆C的半径为r，由题意可得圆C的方程为(t为整数)，根据点是圆C上的点，且圆C与直线l：相切，得，解得，或（舍去），则圆C的标准方程为，故A错误；对于B，由选项A知圆C的标准方程为，圆心，点在圆C上，且，线段AB为圆C的直径，直线m：与圆C相交于A、B两点，圆心在直线m上，，解得，故B正确；对于C，由选项A知圆C的半径为2，圆心，则圆心C到直线m的距离，，即，解得，，整理得，解得或，则直线m的方程为或，故C正确；对于D，直线m的方程可化为，过定点，由圆的性质可得，点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，则此圆圆心为线段CN的中点，其坐标为，半径为，则该圆的方程为，由，得两圆的交点坐标为与，故弦AB的中点M的轨迹方程为，，故D错误；故选：BC.17．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知曲线，抛物线，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有（

）．A．直线是曲线和的公切线；B．曲线和的公切线有且仅有一条；C．最小值为；D．当轴时，最小值为．【答案】ACD【分析】利用导数求出斜率为1的切线并判断与是否相切判断A；设出公切线与和的切点，利用导数几何意义结合零点存在性定理判断B；利用抛物线定义转化求的焦点与P的距离最小值判断C；构造函数并求出最小值判断D作答.【详解】对于A，对函数求导得，由得，则与曲线相切且斜率为1的直线切曲线于点，切线方程为，由消去x得：，即直线与曲线相切，所以直线是曲线和的公切线，A正确；对于B，设曲线和的公切线与曲线相切于点，由选项A知，该切线斜率为，切线方程为，由消去x得：，因此，令，求导得，当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增，，而，，即存在，使得，因此函数有0和两个零点，显然当时，，因此的解有0和两个，即曲线和的公切线有两条，B错误；对于C，抛物线的焦点，准线方程，则，因此，当且仅当三点共线时取等号，而，令，求导得，显然在R上都递增，因此函数在R上递增，而，即当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，，因此，所以当，点Q为线段与抛物线的交点时，最小值为，C正确;对于D，当轴时，，则，，令，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上递增，，所以最小值为，D正确．故选：ACD【点睛】知识点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)已知斜率求切点即解方程；(3)已知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.18．（2023秋·江苏南京·高三金陵中学校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则（

）A．若直线的斜率为，则B．使得为等腰三角形的点有且仅有四个C．点到两条渐近线的距离乘积为D．已知点，则的最小值为5【答案】ABC【分析】对于A，设，根据题意，将直线的斜率为化简之二次函数，利用二次函数求出范围；对于B，和各有两个，可得出结论；对于C，利用点到直线距离公式可求点到两条渐近线的距离，进而判断C的正误；对于D，根据点与双曲线的位置关系，当三点共线时，可求最小值.【详解】对于A，由题意可知，，设则直线的斜率为，令，，令在单调递减，对.对于B，当，则满足条件的有两个；当，则满足条件的有两个，易得不存在满足，满足为等腰三角形的有4个，B对.对于C，渐近线：即，，C对，对于D，由题意，点Q在双曲线外，当三点共线时，有最小值，此时，D错误.故选：ABC.19．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，P是直线l：x＋y＋2＝0上一点(除去与x轴的交点)，过P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别为A，B，直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，则（

）A．直线AB过定点(－1，2) B．MN的最小值为C．∠MPN为锐角 D．最小值为－1【答案】ABD【分析】对A：由写出切线方程，将代入可得直线方程，整理可得恒过定点；对B：联立直线与抛物线方程得，，求出M，N的横坐标，求的最小值即可；对C：将化为判断正负即可；对D：将视为关于的函数求最小值；【详解】设，由得，所以处切线斜率，所以切线的方程为：，将代入得，整理得切线的方程为：，同理切线的方程为：，将代入切线，方程得，，所以直线，即，将代入得，所以直线AB过定点(－1,2)，故A正确；将直线的方程代入得，由直线AB过抛物线内定点(－1,2)知直线一定与抛物线有两个交点，所以，在直线的方程中令得的横坐标，故，同理的横坐标，，所以，当时取最小值为，故B正确；，当时，为钝角，故C错误；，当即时，最小值为－1，故D正确；故选：ABD【点睛】结论点睛：定义:已知曲线,则称点和直线是曲线G的一对极点与极线,点P称为直线l关于曲线G的极点;直线l称为点P关于曲线G的极线.已知点P关于圆锥曲线G的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P在曲线G上,则直线l是曲线G在点P处的切线;②若点P在曲线G外,则直线l是由点P向曲线G引两条切线的切点弦;③若点P在曲线G内,则直线l是经过点P的曲线G的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:20．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（

）A．若直线l经过焦点F，且，则B．若，则直线l的倾斜角为C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切【答案】BC【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由列出方程，求出，A错误；B选项，先得到直线经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合求出直线l的斜率，得到倾斜角；C选项，设，由抛物线定义结合基本不等式得到的最小值；D选项，与C一样，考虑直线l不经过焦点时，得到圆M与准线相离，D错误.【详解】A选项，由题意得：，准线方程为，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，则，所以，解得：，A错误；B选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，因为，所以，代入中，得到，即，因为点A在第一象限，所以，故，即，，解得：故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，解得：，B正确；C选项，设，过点作⊥准线于点，过点作⊥准线于点P，因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以⊥，则，由抛物线定义可知：，由基本不等式得：，则，当且仅当时，等号成立，故，即，C正确；D选项，当直线l不经过焦点时，设，由三角形三边关系可知：，由抛物线定义可知结合C选项可知：，即，若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.故选：BC【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21．（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）已知为坐标原点，椭圆.过点作斜率分别为和的两条直线，，其中与交于两点，与交于两点，且，则（

）A．的离心率为 B．C． D．四点共圆【答案】ABD【分析】求得点坐标并代入椭圆方程，由此求得，进而求得椭圆的离心率.设出直线和的参数方程并与椭圆方程联立，根据根与系数关系、圆的知识求得正确答案.【详解】依题意，即，所以，解得（负根舍去）.所以椭圆，则.依题意可知直线的倾斜角为锐角，且，由解得.直线的倾斜角为钝角，且，由解得.设直线的参数方程为（为参数），由整理得，解得（不妨设）.设直线的参数方程为（为参数），由整理得，解得（不妨设）.所以，B选项正确.，C选项错误.，所以，而，所以，所以，所以四点共圆.（也可用圆的相交弦定理的逆定理，直接由判断出四点共圆）所以D选项正确.故选：ABD【点睛】待定系数法求椭圆的方程，可利用题目所给已知条件，列出等量关系式，由此来求得椭圆方程中的未知参数.四点共圆的证明方法，可利用相交弦定理的逆定理，也可利用“同弧所对的圆周角相等”来证明.22．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（

）A．点的横坐标的取值范围是B．的取值范围是C．面积的最大值为D．的取值范围是【答案】BC【分析】设出点P的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A；利用几何意义并结合求函数值域判断B；利用三角形面积公式计算判断C；取点计算判断D作答.【详解】设点，依题意，，对于A，，当且仅当时取等号，解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误；对于B，，则，显然，因此，B正确；对于C，的面积，当且仅当时取等号，当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，所以面积的最大值为，C正确；对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D错误.故选：BC【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.23．（2023·江苏·高三专题练习）设椭圆，，为椭圆上一点，，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（

）A．的最大值为B．直线的斜率乘积为定值C．若轴上存在点，使得，则的坐标为或D．直线过定点【答案】BCD【分析】利用两点间距离公式表示出，结合可得关于的二次函数的形式，通过讨论与二次函数对称轴的位置关系，可求得的最大值，知A错误；利用斜率公式表示出，化简可得定值，知B正确；假设存在，可得，求得横坐标后，代入化简知C正确；表示出直线后，根据直线过定点的求法可知D正确.【详解】对于A，在椭圆上，，，，由题意知：，的对称轴为，若，即时，，；当，即时，，；综上所述：A错误；对于B，关于轴对称，，，，，B正确；对于C，假设存在点，使得，，则∽，；直线，直线，，，，即或，C正确；对于D，，，，直线，即，直线过定点，D正确.故选：BCD．【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用的问题，解题基本思路是能够利用表示出所需的点的坐标，结合两点间距离公式、斜率公式、三角形相似关系等知识化简所求量，从而确定选项的正误.24．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点，且M为的中点．（

）A．当时，的斜率为2 B．当时，C．当时，符合条件的直线l有两条 D．当时，符合条件的直线l有四条【答案】ABD【分析】由点差法得，由此判断AB正确；当的斜率不存在时判断是否符合要求，当的斜率存在时,由直线与圆切于得必在直线上，根据给定的求出位置，根据是否在抛物线内部判断CD是否正确.【详解】如图,设,,则,两式相减得,.当的斜率存在时,，则有,又,所以.当时，，故A正确；由,得,即,因此,即必在直线上.当时，，点，直线的方程为，恰好过抛物线焦点，故，故B正确；将代入,得,由在抛物线内部得，因为点在圆上,所以,当时，，解得，与矛盾，此时的斜率为的直线不存在，当的斜率不存在时,符合条件的直线只有一条，故C错误；当时，，解得，符合，此时的斜率为的直线有两条.当的斜率不存在时,符合条件的直线也有两条，故D正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：不要遗漏判断斜率不存在时的直线是否符合要求.当斜率存在时，先确定点一定在直线上，再用点一定在抛物线内部判断给定的是否符合要求.25．（2023·江苏盐城·校考三模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（

）A．椭圆的蒙日圆方程为B．记点到直线的距离为，则的最小值为C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为D．的面积的最小值为，最大值为【答案】ACD【分析】当斜率不存在时可得点坐标，斜率存在时，将切线方程与椭圆方程联立，利用和垂直关系可构造等式求得点轨迹；结合两种情况可知A正确；利用椭圆定义将转化为，由平面几何知识可知最小值为点到直线的距离，结合点到直线距离公式可求得B错误；根据矩形为蒙日圆的内接矩形，结合基本不等式可求得C正确；推导可得过椭圆外一点的椭圆的切点弦直线方程为，当时，可求得的值；当时，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合弦长公式和点到直线距离公式可化简得到，结合二次函数最值的求法可求得结果，知D正确.【详解】对于A，当直线一条斜率为，另一条斜率不存在时，则；当直线斜率均存在时，设，切线方程为：，由得：，由整理可得：，，又，，即，，点轨迹为；将检验，满足，蒙日圆的方程为，A正确；对于B，为椭圆上的点，，；的最小值为点到直线的距离，又，，，B错误；对于C，矩形四条边均与相切，该矩形为蒙日圆的内接矩形，设矩形的长为，宽为，蒙日圆的半径，，（当且仅当时取等号），此矩形面积最大值为，C正确；对于D，设位于椭圆上半部分，即，，在处的切线斜率，切线方程为：，即，在处的切线方程为；同理可得：当位于椭圆下半部分，即时，切线方程为：；在点处的切线方程为，同理可知：在点处的切线方程为；设，则，可知坐标满足方程，即切点弦所在直线方程为：；当时，，此时所在直线方程为：，，；当时，由得：，由A知：，，设，则，，，又原点到直线的距离，，令，，，则，为开口方向向下，对称轴为的抛物线，，，，，综上所述：的面积的最小值为，最大值为，D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.26．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（

）A．的最小值为8B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6C．为定值D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为【答案】ACD【分析】设出点P坐标，直接计算可判断A、C；比较双曲线的通径长和实轴长可判断B；设出直线l的方程后联立渐近线方程，求出点M，N的坐标，再联立直线l与双曲线方程，利用判别式为零可得参数关系，进而计算点M，N的纵坐标之积可得结果.【详解】依题意，，，，，，设，则，，即，双曲线C的两条渐近线方程为，对于A，，A正确；对于B，若Q在双曲线C的右支，则通径最短，通径为，若Q在双曲线C的左支，则实轴最短，实轴长为，B错误；对于C，是定值，C正确；对于D，不妨设，，直线l的方程为，由得，若直线l与双曲线C相切，则，化简整理得，则点M，N的纵坐标之积，D正确.故选：ACD.

27．（2023·江苏·统考模拟预测）椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线：，下列结论正确的是（

）A．曲线关于点对称B．曲线关于直线对称C．当时，曲线上点的横坐标的取值范围为D．若曲线上存在位于y轴左侧的点，则【答案】BD【分析】对A选项和B选项，设一组对称点代入检验即可；对选项C和选项D结合函数值域分析即可求解.【详解】对选项A：设曲线上有一点，则，而点关于对称的点为，如果曲线关于对称，则也应在曲线上，则有；联立①②，得，此时无解，所以和这样的对称点不存在，即不是该椭圆曲线的对称点，故A错误；对选项B：设曲线上有一点，则，而点关于对称的点为，如果曲线关于对称，则也应在曲线上，则有；联立①②，得=，即=，该式恒成立，则和是在曲线上且关于对称的点，即是该椭圆曲线的对称轴，故B正确；对选项C：因为，所以，所以，当时，有，因为，所以；设，则，令，所以，当时，，在单调递增当时，，在单调递减当时，，在单调递增，极大值，即点也在曲线上，所以C错误；对选项D：由原方程得：，曲线上存在位于y轴左侧的点，即当时有点在曲线上，设，则，当，，在上单调递增，且，所以此时，此时没有能使成立；当时，令，所以，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以只需的极大值大于0即可使曲线上存在位于y轴左侧的点，即，所以所以，所以，得，即，所以D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：当曲线涉及到对称时，可设出对称点代入方程进行验证；涉及到取值范围，需要结合函数求出其取值范围综合分析.28．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与相交于两点，为的中点，则（

）A．若，则B．若，则直线的斜率为C．不可能是正三角形D．当时，点到的距离的最小值为【答案】ACD【分析】利用联立求得点坐标，结合向量数量积的运算即可判断选项A；结合抛物线定义即可判断选项CD；设，，根据即可判断选项B.【详解】对于A，代入，解得，，即，，则，所以，A正确；对于C，如图，，所以不可能是正三角形，C正确；

对于D，由题知，，当共线时，取等号，又点到的距离为，所以点到的距离的最小值为，D正确.对于B，当直线的斜率大于时，根据上图再作，因为，所以设，，因为都在上，所以，，，，所以，则；当直线的斜率小于时，同理可得.综上，直线的斜率为，B错.故选：ACD【点睛】方法点睛：直线与抛物线的位置关系问题，从以下几个角度分析：（1）抛物线定义的结合，来分析线段的相等关系；（2）斜率与倾斜角正切值的联系；（3）数形结合思想的应用.29．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点是抛物线：的焦点，点是上异于原点的动点，过点且与相切的直线与轴交于点，设抛物线的准线为，，为垂足，则（

）A．当点的坐标为时，直线的方程为B．设，则的最小值为4C．D．【答案】ACD【分析】由导数的几何意义可判断A；由抛物线的定义结合图象可判断B；由题意求出的坐标，由两点间的距离公式可判断C；证明四边形是菱形可判断D.【详解】对于A，点的坐标为时，则，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，化简可得：，故A正确；对于B，的准线为，过点作，交于点，与抛物线交于点，当点与点重合时，的最小值，所以的最小值为，故B错误；

对于C，不妨设点在一象限，则点，所以，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，化简可得：，令，则，所以，因为，所以，所以，，，所以，所以，故C正确.对于D，因为，，，，所以，因为，所以四边形是平行四边形，又由抛物线的定义可得：，所以四边形是菱形，所以平分，所以，故D正确.故选：ACD.30．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动圆（），则下列说法正确的是（

）A．存在圆经过原点B．存在圆，其所有点均在第一象限C．存在定直线，被圆截得的弦长为定值D．所有动圆仅存在唯一一条公切线【答案】AB【分析】对于A选项：将代入圆方程，求得，即可判断；对于B选项：根据圆所有点均在第一象限得到，即可判断；对于C选项：当定直线的斜率存在，设直线：，当定直线的斜率不存在，设直线，由垂径定理和勾股定理得到弦长，要使弦长为定值，则弦长与无关，得到关于和的方程组，即可求解；对于D选项：求出所有动圆的公切线，即可求解.【详解】对于A选项：若圆经过原点，则，化简得：，解得：，所以当时，圆经过原点，所以A选项正确；对于B选项：由题意得圆的圆心，半径（），若圆上的所有点均在第一象限，则，解得：，即且，所以当时，圆上的所有点均在第一象限，所以B选项正确；对于C选项：当定直线的斜率存在，设存在定直线：，被圆截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离，则弦长即，要使弦长为定值，则弦长与无关，所以，解得：，此时弦长，不存在定直线：，被圆截得的弦长为定值，当定直线的斜率不存在，设直线，则圆心到直线的距离，所以弦长，要使弦长为定值，则弦长与无关，即，此时弦长，综上：不存在定直线，被圆截得的弦长为定值，所以C选项错误；对于D选项：若所有动圆存在公切线，当切线斜率不存在时，满足题意；切线斜率存在时，且圆心到它的距离等于半径，结合C选项的证明可得：，即，化简得：，若所有动圆存在公切线，则上式对恒成立，则，解得：，此时，综上：所有动圆存在公切线，其方程为或，所以D选项不正确，故选：AB.三、填空题31．（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）设椭圆T：的右焦点为F，过点的直线l与椭圆交于点A，B，M为AB的中点，使得是、的等比中项，则a的最小整数值为【答案】【分析】根据中点的性质，结合点到直线距离公式、点与椭圆的位置关系、等比中项的性质进行求解即可.【详解】因为，所以点在该椭圆内，因此过点的直线l与椭圆必有两个交点，设，因为M为AB的中点，所以有即，因为是、的等比中项，所以，于是有，，，同理：，由，即，显然有，所以a的最小整数值为，故答案为：【点睛】关键点睛：利用平面向量加法几何意义，结合余弦定理得到中线表达式是解题的关键.32．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交于两点，在两点处的切线交于点，则弦的长为.【答案】4【分析】设直线的方程为，与抛物线联立，求得，利用导数的几何意义，可设出切线，切线的方程，联立两切线的方程，求得的坐标，结合已知可得，再利用抛物线的弦长公式即可得解.【详解】抛物线的焦点为，设，，显然，直线的斜率存在，且则直线的方程为联立，整理得，则由，求导得，故切线的方程为，即①同理切线的方程为②两式相减，求得的横坐标，即，两式相加，求得的纵坐标，即，解得，所以故答案为：433．（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为．【答案】【分析】设，再在中根据余弦定理结合椭圆的定义可得，再分别在与列出余弦定理，根据化简即可.【详解】由椭圆的性质可得，设，在中根据余弦定理结合椭圆的定义可得，即，整理可得，即，故.又，故，，故，即，，故，故离心率.

故答案为：34．（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）已知直线与双曲线C：交于点，.为C上一点，且，，则△PAB的面积最大值为.【答案】【分析】先求得两点的坐标，然后求得与直线平行且与双曲线相切的直线方程，根据三角形面积公式以及两平行线间的距离公式求得正确答案.【详解】依题意，，由解得或，所以为定值，由于，，所以在双曲线两点间的曲线上，在第一象限，当距离最远时，三角形的面积取得最大值，设直线与双曲线C：相切于点，由消去并化简得，由解得（正根舍去），故切线方程为，直线与直线的距离为，所以△PAB的面积最大值为.故答案为：【点睛】求解双曲线的切线方程，可先设出切线的方程，然后联立切线的方程和双曲线的方程，化简成一元二次方程的形式，结合判别式即可求得切线方程.35．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为．【答案】【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，设出圆的切线方程并求出切线的斜率，再设出点B，C的坐标并求出，即可求出直线方程作答.【详解】因为点在抛物线上，则，解得，即抛物线方程为，显然过点A作圆的两条切线斜率存在，设此切线方程为，即，于是，解得，设点，不妨令直线的斜率分别为，于是，，同理，直线的斜率，而点，直线BC的方程为，即.故答案为：【点睛】结论点睛：点是抛物线上的两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率.36．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的动直线与圆交于点，，若的面积最大值为，则的最大值为.【答案】【分析】根据题意结合面积关系分析可知圆心到动直线的距离的最大值为2，则点在以为圆心，2为半径的圆M上，结合的几何意义