压轴大题14 披荆斩棘搞定导数综合问题（原卷版）

压轴大题14披荆斩棘搞定导数综合问题压轴压轴秘籍导函数与原函数的关系单调递增，单调递减极值极值的定义在处先↗后↘，在处取得极大值在处先↘后↗，在处取得极小值两招破解不等式的恒成立问题(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.(1)分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．(2)函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．常用函数不等式：①，其加强不等式；②，其加强不等式.③，，放缩，利用导数证明不等式问题：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）转化为证不等式（或），进而转化为证明（），因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可.证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明（或）：①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；（2）证明（或）（、都为正数）：①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.压轴训练压轴训练一、解答题1．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数，.(1)当时，证明：在上恒成立；(2)判断函数的零点个数.2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数的零点分别为，且，证明：．3．（2023·江苏常州·校考一模）已知函数.(1)若，求的值；(2)证明：当时，成立.4．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)当时，求的图象在点处的切线方程；(2)对任意，不等式恒成立，求的取值范围.5．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数有两个零点．(1)若直线与曲线相切，求的值；(2)若对任意，求的取值范围．6．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知函数，，且在上的极大值为1．(1)求实数的值；(2)若，，，求的值．7．（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数，其中e是自然常数．(1)讨论函数的单调性；(2)若，对恒成立，求实数a的取值范围．8．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)当时，恒成立，求整数a的最大值．9．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知函数，.(1)若与的图象恰好相切，求实数a的值；(2)设函数的两个不同极值点分别为，（）.（i）求实数a的取值范围；（ii）若不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数）10．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知函数.(1)若函数在点处的切线与函数的图象有公共点，求实数的取值范围；(2)若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围.11．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）已知函数．(1)若，，求的对称中心；(2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值；(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．12．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）已知函数在点处的切线方程为．(1)求函数在上的单调区间；(2)当时，是否存在实数m使得恒成立，若存在，求实数m的取值集合，若不存在，说明理由（附：，）．13．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知函数．(1)若，求函数的最值；(2)若，函数在上是增函数，求a的最大整数值．14．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．15．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设，，．(1)求的单调区间；(2)证明：当时，．16．（2023·江苏盐城·统考三模）已知函数.(1)当时，求的单调递增区间；(2)若恒成立，求的取值范围.17．（2023·江苏苏州·校联考三模）设函数.(1)从下面两个条件中选择一个，求实数的取值范围；①当时，；②在上单调递增.(2)当时，证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大.18．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知函数，其中为实数，为自然对数底数，.(1)已知函数，，求实数取值的集合；(2)已知函数有两个不同极值点、，证明19．（2023春·江苏徐州·高三徐州高级中学校考阶段练习）已知函数，．(1)讨论函数在上的单调性．(2)证明：．20．（2023春·江苏南京·高三江苏省江浦高级中学校考阶段练习）已知函数有两个零点，，且，(1)求的取值范围；(2)证明：21．（2023春·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考阶段练习）已知函数.（为实数）(1)当时，若正实数满足，证明：.(2)当时，设，若恒成立，求的取值范围.22．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知函数（）.(1)当时，求函数的单调区间；(2)已知，若时，恒成立，求的取值范围.23．（2023秋·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间.(1)是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.(2)若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式.并判断是否为函数的等域区间.24．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校联考阶段练习）已知函数，.(1)当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求的单调区间及在区间上的最值；(2)若对，恒成立，求a的取值范围.25．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数，其中为实数.(1)若，求实数的最小值；(2)设函数，若函数存在极大值，且极大值小于0，求实数的取值范围.26．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数存在两个极值点，且.(1)求的取值范围；(2)若，求的最小值.27．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）已知函数，其中．（1）设函数，证明：①有且仅有一个极小值点；②记是的唯一极小值点，则；（2）若，直线与曲线相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线的方程．28．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数，.(1)若，证明：；(2)若函数最大值为，求实数a的值.29．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知函数．(1)若，求证：；(2)当时，对任意，都有，求整数的最大值．30．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）已知函数．(1)求f（x）的最大值；(2)设实数m，n满足－1≤m＜0＜n≤1，且，求证：．31．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，若，求证：；(3)求证：对于任意都有．32．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数.(1)求的极值；(2)求证：.33．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数.(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；(2)当时，求证：在上有唯一零点.34．（2023·江苏南京·校联考一模）已知函数和函数有相同的最大值.(1)求的值；(2)设集合，(b为常数).①证明：存在实数b，使得集合中有且仅有3个元素；②设，，求证：.35．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知函数，．(1)当时，求函数的最小值；(2)当时，求证有两个零点，，并且．36．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考阶段练习）已知函数．(1)若，，求证：有且仅有一个零点；(2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．37．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）已知函数（e是自然对数的底数）．(1)当时，试判断在上极值点的个数；(2)当时，求证：对任意，．38．（2023秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数，．(