2022-2023学年高一数学人教A版2019必修第二册试题6-1平面向量的概念

6.1平面向量的概念（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022∙黑龙江・齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（????）

A.质量B.功C.温度D.力

【答案】D

【分析】根据向量的定义判断即可.

【详解】质量、功、温度只有大小没有方向不是向量，故ABC错误，

力既有大小又有方向，是向量，故D正确，

故选：D.

2.（2022•全国•高一课时练习）给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量

的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（????）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据零向量及单位向量的概念即可求解.

【详解】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误；

对②：零向量的长度为0,故②正确；

对③：零向量的方向是任意的，故③正确；

对④：单位向量的模都等于1,故④正确.

故选：C.

3.（2022•山东荷泽・高一期中）数轴上点A,8分别对应-1,1,则向量4B的长度是（????）

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据数轴上的点的位置，直接计算长度，即可得解.

【详解】数轴上点A,B分别对应-1,1,

则向量AB的长度即∣Aβ∣=2.

故选：C.

4.（2022.全国•高一课时练习）下列说法错误的是（????）

A.向量CD与向量。C长度相等B.单位向量都相等

C.O的长度为O,且方向是任意的D.任一非零向量都可以平行移动

【答案】B

【分析】根据向量的相关概念直接判断即可.

【详解】因为CO=-DC,所以C。和OC互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确;

单位向量长度都为1,但方向不确定，故B选项错误；

根据零向量的概念，易知C选项正确；

向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；

故选：B.

5.(2022•新疆•和硕县高级中学高一阶段练习)下列说法正确的是(????)

A.单位向量均相等B.单位向量e=l

C.零向量与任意向量平行D.若向量α,b满足∣n∣=∣b∣,则α=±b

【答案】C

【分析】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量Iel=I.否定结论；

对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：α,b的方向可以是任意的.否定结论.

【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；

对于B：单位向量同=1.故B错误；

对于C：零向量与任意向量平行.正确；

对于D：若向量α,人满足Ial=I们，但是α,人的方向可以是任意的.

故选：C

6.(2022・湖北・鄂州市鄂城区教学研究室高一期中)下列关于零向量的说法正确的是(????)

A.零向量没有大小B.零向量没有方向

C.两个反方向向量之和为零向量D.零向量与任何向量都共线

【答案】D

【分析】根据零向量的定义和性质即可判断.

【详解】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误：

两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；

零向量与任意向量共线，D正确.

故选：D.

7.(2022•全国•高一课时练习)下列说法正确的是(????)

A.向量AB与向量54的长度相等

02/22

B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C.零向量没有方向

D.向量的模是一个正实数

【答案】A

【分析】根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误.

【详解】A：AB与54的长度相等，方向相反，正确；

B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；

C：零向量的方向任意，故错误；

D：向量的模是一个非负实数，故错误.

故选：A

8.（2022•山东聊城一中高一期中）下列命题中正确的个数是（????）

①起点相同的单位向量，终点必相同；

②已知向量A8〃CO,则4民C,D四点必在一直线上；

③若“〃6,6〃c,则。〃e；

④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，

【详解】对于A,单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，

对于B,向量"〃0则4,8（,。四点共线或钻〃0故B错误，

对于C,若a"b、b〃c,当∕j=0时，C不一定平行，故C错误，

对于D,若A,B,C三点共线，则AC//BC，此时起点不同，终点相同，故D错误，

故选：A

9.（2022.山东东营.高一期中）设点。是正三角形ABC的中心，则向量AO，BO，Co是（????）

A.相同的向量B.模相等的向量C.共起点的向量D.共线向量

【答案】B

【分析】根据图形及正三角形的集合性质可得.

【详解】解：如图：

A

因为。是正ABC的中心，所以IA0∣=∣8。I=ICol=R（R为二ABC外接圆的半径），所以向量AO,BO，CO

是模相等的向量，但方向不同.

故选：B.

二、多选题

10.（2022•全国♦高一课时练习）下列结论中正确的是（????）

A.同与W是否相等与α,6的方向无关B.零向量相等，零向量的相反向量是零向量

C.若a,〃都是单位向量，则”bD.向量AB与BA相等

【答案】AB

【分析】由向量的模、零向量、单位向量、相等向量的定义判断各选项.

【详解】对于C,单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D,向量AB

与BA互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB正确.

故选：AB.

11.（2022・全国•高一课时练习）下列结论中正确的是（????）

A.若同=W,则α=人

B.若a=b,b=c,贝IJa=C

C.若A,B,C,。是不共线的四点，则"AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件

D.=厂的充要条件是“同=W且

【答案】BC

【分析】根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可.

【详解】对于A,两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同；

对于B,由平面向量相等可得B正确；

对于C,若A,B,C,。是不共线的四点，则当AB=OC时，IAel=I凶且A8//DC,故四边形ABC。为

平行四边形；

当四边形ABC。为平行四边形时，IABl=I因且ΛB”QC,故且A8,OC同向，故AB=OC,故C正确；

04/22

对于D,当a。且方向相反时，即使同=W,也不能得到“=/,，故D错误；

故选：BC

三、填空题

12.（2022.全国.高一课时练习）下列各量中，是向量的是.（填序号）

①密度；②体积；③重力；④质量.

【答案】③

【分析】由向量的概念判断即可.

【详解】向量指具有大小和方向的量.①②④仅有大小，没有方向；③既有大小又有方向.

故答案为：③.

13.（2022.全国•高一课时练习）已知圆。的周长是2兀，AB是圆。的直径，C是圆周上一点,

NBAC=工,CO_LAB于点0,则Ieq=___________.

611

【答案】B

2

【分析】根据题设可得圆。的半径为1,结合已知条件及含着的直角三角形的性质即可求「可

【详解】由题设，圆。的半径为1,又NBAC=F,COLA8,如下图示：

在RtCOD中，ZDOC=2ZBAC=-,OC=I,所以Cf>=也.

32

故答案为：走

2

14.（2022•全国•高一课时练习）己知。是正方形ABC。的中心，则向量A。,。仇C。,。。是.

（填序号）

①平行向量；②相等向量：③有相同终点的向量；④模都相等的向量.

【答案】④

【分析】根据向量的有关概念及正方形的性质即可求解.

【详解】解：根据向量的有关概念及正方形的性质，可得向量AO,08,CO,OO是模都相等的向量.

故答案为：④.

15.(2022・全国•高一课时练习)“AB〃Czr是％，B,C,。四点共线”的条件.

【答案】必要不充分

【分析】根据向量平行的定义结合充分性、必要性的定义判断即可.

【详解】当A8〃8时，直线AB与CC的位置关系有可能是平行或共线，

当二者平行时A,B,C,。四个点分别位于两条平行线上而不是四点共线，

则“AB〃C无法推出“A,B,C,力四点共线”；

当A,B,C,。四点共线时，直线AB与CZ)的位置关系为重合，此时，AB//CD，

则“A,B,C,。四点共线”可以推出"AB〃C»'，

因此是“A，B,C,。四点共线”的必要不充分条件∙

故答案为：必要不充分.

16.(2022.北京市第十二中学高一期末)已知向量α=(l,2),h(2,4),且〃与人共线，则实数Z=.

【答案】2

【分析】根据向量共线，即可求解.

【详解】解：“与b共线，所以lχ4-2x左=0,解得出=2,

故答案为：2.

17.(2022.江苏•南京航空航天大学附属高级中学高一期中)已知:=(3,4),8=(4,-2),^2a-b^ka+2b

为共线向量，则实数Z=.

【答案】-4

【分析】由已知，分别表示出和叔+2匕的坐标形式，再根据两向量共线，列出等量关系即可完成求

解.

【详解】因为)=(3,4),⅛=(4,-2),所以2“一6=(2,10),上α+26=(3k+8,4Z-4),

因为2α-匕与奴+2。为共线向量，所以2(4Z-4)=10(3々+8),解得：&=T.

故答案为：-4.

18.(2022・全国•高一课时练习)设空间中有四个互异的点A?B?C?O,若(OB+DC—2DA)∙(AB-AC)=0,

则.HBC的形状是.

【答案】等腰三角形

【分析】由(03+0C-2D4)(A8-AC)=0,利用向量的减法和数量积运算求解.

06/22

【详解】解：因为(θ8+OC-2r>A)(A8-Ac)=0,

所以(A8+AC)∙(A8-AC)=O,

贝I]IAB『=M『，即,耳=,斗

所以ABC的形状是等腰三角形，

故答案为：等腰三角形

19.(2022.全国.高一专题练习)已知e∣,C?是两个不共线的向量，而。=公6+(1-|幻/,b=2q+3e?是

两个共线向量，则实数上=.

【答案】一2或g##g或一2

【分析】由己知，根据给的4,6借助两向量共线，可直接建立等量关系求解出实数h

【详解】由己知，e；,02是两个不共线的向量，

1

a-kex+(∖-k)e2,b=2e∣+3e2是两个共线向量，

ʌ51

所以女2=2(1-∕Q,解得：Z=-2或女=]

故答案为：一2或;.

20.(2022•山东荷泽・高一期中)己知A、B、C是不共线的三点，向量机与向量AB是平行向量，与BC是

共线向量，则m=.

【答案】0

【分析】依据向量共线的定义及零向量定义即可求得向量m∙

【详解】向量加与向量48是平行向量，则向量，"与向量AB方向相同或相反；

向量加与8C是共线向量，则向量加与向量BC方向相同或相反，

又由A、B、C是不共线的三点，可知向量AB与向量BC方向不同且不共线

则加=O.

故答案为：0

四、解答题

21.(2022・全国•高一专题练习)在平行四边形43CQ中，E,尸分别为边A。、BC的中点，如图.

(1)写出与向量FC共线的向量；

(2)求证：BE=FD-

【答案】(I)CF,FB,BF,BC,CB,AE,EA,ED,DE,AD,DA

⑵证明见解析

【分析】U)由题意直接写出与向量FC共线的向量即可；

(2)证明四边形屏Z)E是平行四边形即可证明BE=FQ.

(1)

据题意，与向量FC共线的向量为：CF,FB,BF,BC,CB,AE,EA,ED,DE,AD,DA；

(2)

证明：ABCD是平行四边形，且E,F分别为边A。，BC的中点，

:.BF=ED,且BF//ED,

•••四边形B的是平行四边形，

.-.BE=FD,且BE"FD,

BE=FD-

22.(2022・全国•高一专题练习)在如图的方格纸上，已知向量α,每个小正方形的边长为L

⑴试以B为终点画一个向量b，使b=”;

(2)在图中画一个以A为起点的向量C,使M=石，并说出向量C的终点的轨迹是什么?

【答案】(1)作图见解析

(2)作图见解析，向量C的终点的轨迹是以A为圆心，半径为石的圆

08/22

【分析】(I)根据向量相等的知识画出图象.

(2)根据向量模的知识画出图象，并判断向量C的终点的轨迹.

(1)

依题意，h=a,由此画出图象如下图所示:

⑵

∣c∣=√5,故向量C的终点到A点的距离为逐，

所以向量C的终点的轨迹是以A为圆心，半径为石的圆,

画出图象如下图所示：

23.(2022・全国•高一专题练习)如图所示，在AABC中，D,F分别是BC,AC的中点,

AE=^AD,AB=a,AC=b.

B-D'C

⑴用％表示A£>,AE,AF,BE、BF：

(2)求证：B,E,尸三点共线.

【答案】(I)AD=La,AE=-a+-b,AF=-b,BE=-b--a,BF=-b-

22332332

(2)证明见解析

【分析】(1)根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解；

(2)利用平面向量共线定理证明BE〃3F，即可得证.

(1)

解：在AABC中，D,F分别是BC,AC的中点，

则Ao=4B+BO=AB+'BC=AB+1(AC-48)=,AB+'AC=1"+'人，

211

故AE=-Ao=—。+—/?,

333

一1-1-

AF=-AC=-b

22f

1112

BE=AE-AB=—a+—b-a=-b——a,

3333

BF=AF—AB=-b—a；

2

(2)

1ɔ11

证明：因为BE=Ia=BF=-(⅛-2a),

2

所以8E=]8F,

所以BEaBF，

又因BE.8尸有公共点B,

所以8,E,尸三点共线.

24.(2022•全国•高一课前预习)如图，设。是?ABCQ对角线的交点，则

(1)与OA的模相等的向量有多少个？

(2)与OA的模相等，方向相反的向量有哪些?

⑶写出与AB共线的向量.

【答案】(1)三个

⑵0C，AO

10/22

(3)DC，CD,BA

【分析】(1)(2)(3)根据平行四边形的性质、共线向量、向量的模的定义判断即可；

(1)

解：在平行四边形ABC。中，。为对角线的交点，所以Ao=OC,且AB〃OC,所以与OA的模相等的向

量有oc，AO,Co三个向量.

(2)

解：与。4的模相等且方向相反的向量为0C，A0.

(3)

解：与AB共线的向量有。C，CD,BA.

【能力提升】

一、单选题

1.(2022•吉林・白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习)已知空间向量α",且AB=α+2b,

BC=-5a+6b>CD-Ia-Ibi则一定共线的三点是()

A.A、B、CB.B、CDC.A、B、DD.A、C、D

【答案】C

【分析】根据向量共线判断三点共线即可.

【详解】解：BD=BC+CD=-5a+6h+la-2b=2a+4h

=2(α+2%)=2AB,

又A8与8。过同一点B,

：.A.B、。三点共线.

故选：C.

2.(2022•内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末)给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若A,B,C,。是不共线的四点，则AB=。C是四边形ABCO为平行四边形的充要条件；

③若4与同向，且卜卜忖,则4>6;

④人”为实数，若衣=皿，则”与6共线.

其中假命题的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【分析】根据向量共线定义判断①；根据向量相等的定义和平行四边形的定义判断②；根据两向量不能比

较大小判断③；举反例否定④.

【详解】①不正确.当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线；

②正确AB=IDC，，IABl=IZ)Cl且48〃OC;

又∙.∙A,B,C,。是不共线的四点，.∙.四边形ABC。是平行四边形.

反之，若四边形ABCo是平行四边形，

则AB〃CD且AB与OC方向相同，因此AB=OC:

③不正确.两向量不能比较大小.

④不正确.当2=〃=0时，〃与〃可以为任意向量，

满足/α="b,但”与匕不一定共线.

故选：C.

3.(2022・全国・高一单元测试)已知/为“ΛBC所在平面上的一点，且A8=c,AC=A,3C=".若

aIA+bIB+cIC=O<则/是ABC的(????)

A.重心B.内心C.外心D.垂心

【答案】B

(.、

beARAC

【分析】利用平面向量基本定理及向量数量积的运算可求得/A=———+r-F,由此可得点/在

a+b+c∖^πAB∖∖AC∖

/84C的平分线上，同理可得，点/在NBC4的平分线上，由三角形内心的性质可得选项.

【详解】因为/3=∕A+A8,/C=/4+AC,所以

aIA+bIB+cIC=aIA+b^lA+AB^+c^lA+Ae)=(α+b+c)IA+hAB+cAC=0,

所以(α+A+c)∕4=-S∙AB+c∙4C),所以

..-(h`AB+c∙AC)

IA=----------------------―-——AB+C—AC

a+b+ca+b+ca+b+c

----------(⅛∙AB+c∙

a+h+cx

be(ABAC)

--------T---

a+b+c[^cb)

be丝+/

--------[---网---∣AC∣J

a+b-∖-c

12/22

所以/A在角A的平分线上，故点/在/BAC的平分线上，

同理可得，点/在NBC4的平分线上，故点/在二ABC的内心，

故选：B.

UtUIɪIUUIDI

4.（2022•陕西渭南•高一期末）设e是单位向量，A8=3e,CO=-3e，陷=3,则四边形ABCO是（？??？）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【分析】由题知附=3；=-注，进而得IABI=IA耳，AB〃Co,再根据菱形的定义即可得答案.

UlU1

【详解】解：因为48=3e,CD=-3e>

所以罚=3：=-&，即AB//CD，网T钩=同=3口=3,

所以四边形ABa）是平行四边形，

因为I明卜3,即,耳=卜4，

所以四边形ABGD是菱形.

故选：B

ab

5.（2022•浙江丽水•高一期末）若”,人为非零向量，则“口=面”是力共线”的（????）

H∖h∖

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

ah

【分析】R=M表示与Mb同向的单位向量，共线可能同向共线、也可能反向共线，再由充分性、必

要性的定义可求出答案.

ab

【详解】依题意。,人为非零向量，∏表示与“同向的单位向量，M表示与6同向的单位向量，

ab

则∏二国表示与α,b同向的单位向量，所以能推出α,b共线，所以充分性成立；

ab

〃共线可能同向共线、也可能反向共线，所以。力共线得不出同=M，所以必要性不成立.

故选：B.

6.（2022•全国・高一课时练习）在.∙.ABC中，若BC=a,CA=h,AB=c,S.a-b=bc=ca，贝IJABC的

形状为

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.以上都不对

【答案】A

【分析】由题中〃为=人∙c=c∙α,结合三角形图像找准向量夹角，得出基本关系式，再根据几何关系进行

求解

【详解】如图所示.

4-1=忖Wcos（乃_C）=_WWCoSC,

b∙c=∣⅛∣HCOS（乃-A）=-MHCoSA,

HwCoS（乃-B）=TdWCoS8.

∙∙∙a∙Z>=4c=c∙”,；•一,IWCOSC=-WH∙cos4MCOSC=HCOSA.作BI)J_AC于£),则

∣CD∣=∣α∣cosC,∣AD∣=∣c∣cosA,.∖∣CD∣=AD,

二£>为AC的中点，；.网=|叫.

同理可证IAq=IAC∣,.∙.ΛBC为等边三角形.

答案选A

【点睛】个别设及三角形形状题型，可先进行预判，再想法设法去进行证明比如此题，可先预判为等边三

角形，再进行证明，对于复杂的几何问题，需要借助图形来辅助求解

7.(2022•安徽•芜湖一中高一阶段练习)过A4βC内一点M任作一条直线，再分别过顶点A,B,C作/的垂

线，垂足分别为RE,F,若AQ+BE+CF=0恒成立，则点M是ΔAβC的

A.垂心B.重心C.外心D.内心

14/22

【答案】B

【分析】本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.

【详解】本题采用特殊位置法较为简单.

因为过AABC内一点M任作一条直线，可将此直线特殊为过点A,则AO=O,有BE+CF=0∙

如图：

则有直线AM经过BC的中点，

同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，

所以点”是AABC的重心，

故选B.

【点睛】本题主要考查了向量在三角形中的应用，采用了特殊位置法，属于难题.

二、多选题

8.（2022.广西贺州.高一期末）以下选项中，能使α∕g成立的条件有（????）

A.|4=忖B.同=0或W=O

C.a=-2bD.α与6都是单位向量

【答案】BC

【分析】对于A、D：取特殊向量”,b分别为小），轴上的单位向量，否定结论；

对于B：由零向量与任何向量平行，即可判断；对于C：由向量平行的判定定理即可判断.

【详解】对于A、D：不妨取凡。分别为x、y轴上的单位向量，满足“同=W'',满足与方都是单位向量”,

但是a//6不成立.故A、D错误；

对于B：由零向量与任何向量平行，可知同=O或W=O时，a∕".故B正确；

对于C：因为“=-28，所以“//。.故C正确.

故选：BC

9.（2022・全国•高一单元测试）下列叙述中错误的是（????）

A.若a=b，则3a>2∕?

B.若α∕∕b,则α与b的方向相同或相反

C.若a//。，b//c>则。〃C

D.对任一非零向量d,高是一个单位向量

【答案】ABC

【分析】根据向量不能比较大小可判断A；根据共线向量的定义可判断B；当B=O时可判断C；根据单位

向量的定义可判断D,进而可得答案.

【详解】对于A,因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；

对于B,零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若〃=0，

则对于非零向量a,必有4//O，但a与0的方向不一定相同或相反，故B错误；

对于C,若人=0,则零向量与任意向量平行，

所以对任意向量4与¢,均有a//，b∕∕c>故此时。与C不一定平行，故C错误；

对于D,由单位向量的定义可得，对任一非零向量a,其单位向量为向，故D正确.

故选：ABC.

三、填空题

10.（2022.上海市向明中学高一期末）P在线段£鸟的反向延长线上（不包括端点），且IP=2/^,则

实数λ的取值范围是.

【答案】（—1,0）

【分析】结合题意设EP=V¾（“<0）,再由6尸=4尸鸟整理得6P=∕τ[g,由此得至∣J-⅛="0,从

1÷A1÷Λ

而得解.

【详解】依题意，设IP=M利（〃<0）,

因为PR,所以Ψ5=*pg+需）=一相户+Mg,

贝∣J∕]P=∙j—,故^—-=∕√<0,所以一lv∕lvθ.

1÷Λ1÷A

故答案为：（-1,0）.

V----------------•-----------A

PlPyP

11.（2022•全国•高一课时练习汨知G为,ABC内一点，且满足AG+BG+CG=0，则G为ΛBC的

心.

【答案】重

16/22

【分析】如图，取AB的中点。，利用向量的加减法运算得到GC与GO共线，进一步得到G,C,。三点共

线，且GC=2GD,结合重心的性质可判断G为，ABC的重心.

如图，取AB的中点。由AG+8G+CG=0∙得-GC=GA+GB，

又G4+GB=2GD,故-GC=2GZ），则GC与G。共线，

又GC，G。有公共点G,

故G,C,D三点共线，且GC=2GO,

因此可得G为，AfiC的重心.

故答案为：重.

12.（2022•陕西渭南•高一期末）若α为任一非零向量，〃为单位向量，给出下列说法：

①W>M；????②a〃b;

（3）∣α∣>0;????@|⅛|=±1；

⑤若［是与α同向的单位向量，则4=b.

其中正确的说法有个.

【答案】1

【分析】根据平面向量的模的概念和零向量、单位向量的概念判断①③④，根据平行向量的概念即可判断

②⑤.

【详解】由题意知，,卜O,W=1,

对①，当W=g时，w<w，不一定有w>w，故①错误；

对②，”与6方向不一定相同或相反，所以“与6不一定平行，故②错误；

对③，非零向量的模必大于0,即卜卜0,故③正确；

对④，向量的模非负，故④错误；

LIU

对⑤，々与b方向不一定相同，所以％与人方向不一定相同，故⑤错误.

综上可知，只有③正确，正确的说法只有1个.

故答案为：1

13.（2022・全国•高一课时练习）如图，在矩形ABCO中，M,N分别为线段8C,8的中点，若

MN=4AM+4BN,ΛΛeR（则4+4的值为.

【分析】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.

【详解】因为M,N分别为线段8C,C。的中点，

所以MN=g8Q=g（AO-AB）=gAO-；A8,

AM=AB+BM=AB+-AD,

2

BN=BC+CN=AD--AB,

2

所以MN=4AM+4BN=4（AB+g4O）+4（A£）-gA2）

=（4_34卜8+（；4

所以]],解得:，

-λ+λ,=-Λ=-

12"、25

132

所以4+/I2=_]+]=（,

所以4+4的值为

2

故答案为：j.

14.（2022•全国•高一课时练习）如图，已知.ABC的面积为14cπ√,D,E分别为边AB,BC上的点，且

AD:DBBE:EC=2:1,AE,CD交于点P,则4APC的面积为cm2.

【答案】4

18/22

【分析】以AB=α,BC=6,建立一组基底向量，再利用点A,P,E与点D,P,C分别共线的性质表示出

DP,AP,建立二元一次方程，再采用间接法，根据SW^=5.8°-5凶研-536.求出答案，属于难题

21

【详解】设AB=α8C=b,以α,8为一组基底，则AE=c,+]kDC=^a+b.

・・・点AP,E与点、D,P,C分别共线，

21

，存在实数X和〃，使AP==+DP=μDC=-μa+μb.

又,.・AP=AD+DP=齐权.+如

121

]+八,

7

解得,

4

-λ=μ,

3HF

∙*∙SAPAB=勺SMBC=14χ,=8(Cnr),SIJ,BC=14×fl-yj=2(cm^),

*2

..SMPC=14-8-2=4(cm).

【点睛】复杂的三角形线段关系问题，借鉴向量法进行求解时，还是需要根据向量基底进行基础运算，如

本题中面积问题最终转化成线段比例问题，在处理正面入手不好解决的问题时，可从对立面入手，采用间

接法来进行求解

四、解答题

15.(2022.全国•高一课时练习)设e∣,e2是两个不共线的向量，如果AB=3e∣-2e?,BC=4el+e2,

CD=Sel-9e2.

(1)求证：A,B,。三点共线;

(2)试确定4的值，使2；Iq+e1和q+/Ie2共线；

(3)若e∣+τ⅛2与2q+e]不共线，试求2的取值范围.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)Λ=±-

2

(3)2≠±1

【分析】(1)要证明A,B,。三点共线，只需证明向量AB与BO共线;

(2)两向量2∕le∣+e2与e∣+Xs共线，所以存在唯一实数实数〃，使22q+e?=〃,+/le?).

由此列方程组可解;

（3）知两向量不共线，求参数.可先求两向量共线时的参数值，实数集中去除这些值，即为不共线的参数

值或范围.

(1)

证明：因为8。=BC+C£)=4el+e2+8t-1-9e2=l2。-8/=4卜4-2e?)=4A8,

所以A8与B。共线.

因为A8与8。有公共点B,

所以A,B,。三点共线.

(2)

因为2√le∣+e2与e∣+λe1共线，

所以存在实数〃，^2λei+e1=μ[ex+λe2^.

f2Λ=Z/,

因为e∣,e?不共线，所以，]=/

所以彳=±叵

2

（3）

j

假设q+鸡与鸡+«2共线，则存在