二项式定理全归纳（十五个题型）-高考数学复习题型练习（解析版）

考向38二项式定理全归纳

J经典题型目录）

经典题型一：求二项展开式中的参数

经典题型二：求二项展开式中的常数项

经典题型三：求二项展开式中的有理项

经典题型四：求二项展开式中的特定项系数

经典题型五：求三项展开式中的指定项

经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数

经典题型七：求二项式系数最值

经典题型八：求项的系数最值

经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和

经典题型十：求奇数项或偶数项系数和

经典题型十一：整数和余数问题

经典题型十二：近似计算问题

经典题型十三：证明组合恒等式

经典题型十四：二项式定理与数列求和

经典题型十五：杨辉三角

1经典真题）

（2022.全国.高考真题）的展开式中Xyi的系数为（用数字作答）.

【答案】-28

(IT(X+=(χ+y)ii-9(χ+y)s.

【解析】因为

所以（X+y)'的展开式中含∕y6的项为C"2y6-2c03y5=-28√∕,

X

（X+力8的展开式中χ2y6的系数为-28

故答案为：-28

2345

(2022•浙江•高考真题)已知多项式(元+2)真-I),=α0+aλx+a2x+a3x+a4x+a5x,则％=

+。2+。3+。4+。5=.

【答案】8-2

【解析】含炉的项为:X.eɪ∙x∙(-1)3+2∙C<X2∙(-1)2=-4x2+12X2=8x2,故生=8：

令X=0,即2=%,

令X=1,即O=%+。]+/+/+%+%，

.∙.Cl[+%+%+%+%=-2,

故答案为：8s-2.

知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

(1)二项式定理

一般地，对于任意正整数〃，都有：ω+⅛r=cy+cy-,⅛++cχ-r⅛r++c»"(〃eN,),

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(“+力”的二项展开式.

式中的C∕"7∕做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第厂+1项：Tm=CvP,

其中的系数C：(尸0,1,2,N)叫做二项式系数，

(2)二项式5+份”的展开式的特点：

①项数：共有“+1项，比二项式的次数大1；

②二项式系数：第厂+1项的二项式系数为C；,最大二项式系数项居中；

③次数：各项的次数都等于二项式的基指数〃.字母〃降基排列，次数由”到O；字母人升基排列，次

数从O到"，每一项中，a,人次数和均为〃；

④项的系数：二项式系数依次是c；,c：,c3…，C,;,…，c：’，项的系数是。与匕的系数(包括二项式系

数).

(3)两个常用的二项展开式:

①(αW=C>α"-C,α""++(-ir∙cχ-r⅛r++(-1)"∙C∕"(nwN*)

lrπ

②(l+x)"=1+C5+C>2++cnx++x

(4)二项展开式的通项公式

二项展开式的通项：TZ=Cafr(r=o,ι,2,3,

公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是C：；

②字母6的次数和组合数的上标相同；

③。与6的次数之和为

注意：①二项式(a+8)"的二项展开式的第∕÷1项€>"-7/和(b+α)"的二项展开式的第r+1项

是有区别的，应用二项式定理时，其中的。和6是不能随便交换位置的.

②通项是针对在3+6)"这个标准形式下而言的，如(α-b)"的二项展开式的通项是=(-1厂C,/"方

(只需把看成。代入二项式定理).

2、二项式展开式中的最值问题

(D二项式系数的性质

①每一行两端都是1,即C：=C：；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即CM=C"T+C：”.

②对称性每一行中，与首末两端“等距离'’的两个二项式系数相等，即C=Cr:

③二项式系数和令4=6=1,则二项式系数的和为C+G+d++c;++C：=2",变形式

C,+d++c;++C'∙=2"-1.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令4=1,h=-l,

则优-c：+c：-c；++(-ɪre;;=(1-1)"≈0,

从而得到：C>+C：+C：…+C『+…=C+d++£”+…=g∙2"=2"T.

⑤最大值：

如果二项式的幕指数”是偶数，则中间一项7；的二项式系数C：最大；

→J

Λ-l〃+1

如果二项式的基指数"是奇数，则中间两项7；小，T向的二项式系数C7，C7相等且最大.

————+1

22

(2)系数的最大项

求(α+⅛x)"展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为44,…，4“，设

[A>A

第r+1项系数最大，应有川一'，从而解出/•来.

lΛ+,≥A-

知识点3、二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例：

rr

(1)设(α+8)"=d0"+Ck/+C"'-"2++cy-b++C»”,

二项式定理是一个恒等式，即对”,人的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取α,匕的

值.

①令"=∕7=l,可得：2"=C>+C"+C：

②令α=l,6=1,可得：O=d^^C,;+C：-C；+(-1)C",即：

c：+c：++c;=c：+c；++c;T(假设〃为偶数)，再结合①可得:

c[+c；++q=α+c;++cτ=2"τ.

,,2

(2)若/(X)=anx"+an^x"^'+<7,,.2x^++atx+a0,贝!]

①常数项：令X=0,得af,=f(O).

②各项系数和：令X=1,得/⑴=%+α∣+tz2++an_,+all.

③奇数项的系数和与偶数项的系数和

(/)当〃为偶数时，奇数项的系数和为4+生+%+="D+"T);

偶数项的系数和为4+q+%+JDT(T)

(可简记为：”为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配)

(〃)当”为奇数时，奇数项的系数和为%+%+/+=/⑴7-D；

偶数项的系数和为4+《+6+=F(%止O.

(可简记为：〃为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配)

若/(幻=%+。2M1n,同理可得.

3+a2x++¾-IX-+anx

注意：常见的赋值为令X=O,X=1或％=T,然后通过加减运算即可得到相应的结果.

1、求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求再将k的值代回通项求解,注

意&的取值范围(A=°,1,2,L,〃),

(1)第〃z项：：此时Kl=Zn,直接代入通项.

(2)常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的某指数为O建立方程.

(3)有理项：令通项中“变元”的基指数为整数建立方程.

2、解题技巧：

(1)形如(αι+b)",(ax1+bx+c)n∖a,b,CeR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令工

=1即可.

(2)对形如(以+力尸3,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=l即可.

(3)若於)=的+干ιx+'2Λ2+…+「X，则/U)展开式中各项系数之和为人1),.

奇数项系数之和为"+包+如+…=/(1)+/(—D,

2

偶数项系数之和为αι+α3+fl5+...=/⑴-"F.•

2

J经典题型练)

经典题型一：求二项展开式中的参数

1.(2022・湖南•模拟预测)已知(x+qj的展开式中的常数项为-160,则实数“=()

A.2B.-2C.8D.-8

【答案】B

【解析】(x+qj展开式的通项为:

取r=3得到常数项为C；・/=20√=-160,解得α=-2.

故选：B

2.（2022・全国•高三专题练习）（仪-展开式中的常数项为一160,则a=（）

A.-1B.1C.±1D.2

【答案】B

【解析】（以二）的展开式通项为4+I=C（Or产卜：［=（-2）rα6^rQx6^2r（0≤r≤6,r∈/V）,

，令6—2r=0,解得〃=3,

6

.∙.（依-目的展开式的常数项为（=（-2）%6-3c>6-6=T6O∕=760,

∙*∙a3—1

：.a=l

故选：B.

3.（2022•全国•高三专题练习）已知二项式［丁+£］的展开式中，/项的系数为40,则。=（）

A.2B.-2C.2或-2D.4

【答案】C

【解析】由7；+I=C02（5T）.（£）=G优产-%令10—3r=4,解得r=2,所以一项的系数为《病=皤/=40,

解得α=±2.

故选：C

经典题型二：求二项展开式中的常数项

4.（2022•广东广州•高三阶段练习）若（2五-七］的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该

展开式中的常数项为（）

A.-160B.160C.-1120D.1120

【答案】A

七）展开式中的第2项和第6项的二项式系数相等，

【解析】因为26

.•©=《，解得：〃=6,

6

展开式通项公式为:J=G(2用=q∙(-ι),∙26-r∙x3^r,

令3-r=0,解得：r=3,该展开式中的常数项为CMT）'23=-160,

故选：A

5.(2022•福建省漳州第一中学模拟预测）已知（。为常数）的展开式中所有项系数的和与二

项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（）

A.-90B.-10C.10D.90

【答案】A

【解析】因为金）

（“为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等,

所以(〃一1)5=25,得α=3,

55

所以一可=•

15-5r

则其展开式的通项公式为*+I=G（3&广'=q∙35-r∙(-i)rχ~

15-5r

令=0,得/•=3,

6

所以该展开式中的常数项为C；∙35^3∙（-1）3=-90,

故选：A

6.（2022•山东青岛•高三开学考试）在的展开式中，常数项为（）

A.80B.-80C.160D.-160

【答案】D

3

【解析】由于X」互为倒数，故常数项为笫4项，即常数项为C>3=20×(-8)=-160,

XO

故选：D

’展开式的二项式系数和为64,则展开式中常数项为

7.（2022・全国・高三专题练习）已知二项式

()

A.-120B.-20C.15D.20

【答案】B

【解析】根据题意可得2∙=64,解得"=6,

则U-3展开式的通项为C"6τjJy=(-)'晨/2,，

XX

令6—2r=0,得厂=3,

所以常数项为：C：产3Y=-C：=_”经=_20.

6tX)63×2×1

故选：B.

经典题型三：求二项展开式中的有理项

8.(2022•江苏南通•高三阶段练习)(；丁一白尸的二项展开式中有理项有()

A.3项B.4项C.5项D.6项

【答案】B

【解析】-七尸二项展开式的通项公式为加=Gtgχ2)Z•(-《)’=品(-1)苗严4吟，

因为04r≤10,所以当r=0,3,6,9时，为有理项，共4项，

故选：B

9.(2022•全国•高三专题练习(理))若(3-57—2«)"的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数"的

取值为()

A.4B.6或8C.7或8D.8

【答案】B

【解析】(3-24)"的通项公式是a=0卜匠厂•卜2«)'

5〃-2r

=C>3"-J(-2)&丁

设其有理项为第，∙+l项，则X的乘方指数为吗空，依题意咚“为整数，

66

注意到0≤r≤",对照选择项知〃=4、6、8,

逐一检验：〃=4时，r=1,4,不满足条件；

〃=6时，r=0>3、6,成立；

"=8"j,r=2>5、8,成立

故选：B.

10.(2022•重庆市第十一中学校高三阶段练习)已知二项式，("eN*)的展开式中，二项式系数之

和为64,则展开式中有理项的系数之和为()

A.119B.168C.365D.520

【答案】C

【解析】由题意知：2"=64,即〃=6；

则(XI-7=)"=(x~^⅛)6，

∖∣XyJX

r6rf

∙∙∙(x-J≈)6的展开式的通项公式为：T,^Cb-x-∙(-ɪ)'=(-2)∙C-∙X,r=θ,1,2,3,4,5,6,

√x√x

展开式中有理项是r=0,2,4,6时对应的项，

故展开式中有理项的系数之和为：(-2)。C+(-2fC+(-2)4<+(-2)6<=365.

故选：C.

11.(2022•全国•高三专题练习)在(2«+或产的展开式中，有理项共有()

A.3项B.4项C.5项D.6项

【答案】C

172-5r

24rr

［解析】由题意可得二项展开式的通项Tr+i=q4(2√^)-(⅛=2'-C^4x~

根据题意可得，与"为整数时，展开式的项为有理项，

6

则r=0,6,12,18,24,共有5项，

故选：C.

12.(2022•全国•高三专题练习(理))若展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项

的项数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】(F)展开式中只有第四项的系数最大，所以〃=6,

则（√7+g）展开式通项为7；T==C；XW,

因为0≤r≤6,所以当r=0,2,4,6时为有理项，所以有理项共有4项,

故选：D.

经典题型四：求二项展开式中的特定项系数

13.（2022•湖北•高三开学考试）已知二项式0A-£）”的展开式中，所有项的系数之和为32,则该展开

式中X的系数为（）

A.-405B.405C.-81D.81

【答案】A

【解析】令x=l,可得所有项的系数之和为2"=32on=5,

则（］=（-1丫35飞狂如-%-，=（-1）守-匕/'"’2），

由题意Wl=1，即r=l,

所以展开式中含X项的系数为-34C=-405.

故选：A.

14.（2022•黑龙江哈尔滨・高三开学考试）在的展开式中V的系数为（)

45C.至

B.D.7

T8

【答案】D

【解析】二项式（五+；XJ展开式的通项为7；M=G（石［nJ

令4+gr=5,解得r=2,所以I=C=7√,

故展开式中V的系数为7.

故选：D

21

15.（2022•全国•高三专题练习）在。-一）”的展开式中，若二项式系数的和为32,则一的系数为（）

XX

A.-80B.80C.-40D.40

【答案】A

【解析】二项式系数的和为2"=32,所以〃=5,展开式的通项为&=GX3∙(-4y=(-2yc"j,令

X

5-2r=-l,W∣Jr=3,

所以上的系数为(-2)3(2；=-8().

X

故选：A

16.(2022•全国•高三专题练习(理))(l+xy+(l+xY+…+(l+x)9的展开式中/的系数是()

A.45B.84C.120D.210

【答案】C

【解析】(1+x)~+(1+x)3+…+(1+χ)9的展开式中，

含公项的系数为G+C；+C：+...+C；y=120,

故选：C.

17.(2022•全国•高三专题练习)若(l+x)”的展开式中，某一项的系数为7,则展开式中第三项的系数是

()

A.7B.21C.35D.21或35

【答案】B

【解析】由题意,展开式的通项为&I=CK(r=0,1,,〃)，

所以某一项的系数为7,即C：=7,解得"=7,r=l或〃=7,r=6,

所以展开式中第三项的系数是C；=21.

故选：B.

经典题型五：求三项展开式中的指定项

18.(2022•全国•高三专题练习)(ι+--χ)展开式中，/项的系数为()

A.5B.-5C.15D.-15

【答案】B

【解析】(I+，Xj=(I+χτ-x)5,(1+E-Xr表示5个(I+/-%)相乘，

展开式中出现/有两种情况，第一种是(l+χ-'-x)5中选出3个-X和2个1,

第二种是(l+χT-x)’中选出4个-X和1个χT,

所以展开式中含有V项有C1τ)3χl2=70/和c；(-x)4(py=5χ3,

所以/项的系数为-10+5=-5、

故答案为：B

19.(2022•江西南昌•高三阶段练习)(4x+1+4)的展开式中含二3的项的系数为()

A.-1B.180C.-11520D.11520

【答案】B

【解析】根据题意，要得到含χ-3的项，贝.4x+∙!→4丫中有3项•！■与2项4相乘，或者有4项上与1项4x相

IXJXX

乘.

故(4X+'+4)的展开式中含一的项为CUj×42+C;^∙(4Λ-)=180X^3.

即(4x+g+4)的展开式中含K'的项的系数为180.

故选：B

20.(2022•全国•高三专题练习)(x+2)，-3z)4的展开式中，所有不含Z的项的系数之和为()

A.16B.32C.27D.81

【答案】D

【解析】(x+2y-3z),展开式的通项公式为J=G(X+2y广(-3z)',

若展开式中的项不含z,则r=0,此时符合条件的项为(x+2y)4展开式中的所有项，

令x=y=l,可得所有不含Z的项的系数之和为(1+2x1)4=81,

故选：D.

21.(2022•全国•高三专题练习)卜+：+))4的展开式中号的系数为()

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【解析】卜+:+y）4=卜+J+y4的通项公式7；M=C；k+£]r/,

令r=2,则（=《卜+_1）y2=c1χ4+3+2χ）y2,

2

所以马的系数为C：=6,

JT

故选：B

J

22.（2022•全国•高三专题练习）在（f-2x-3）5的展开式中含Jl。和含丁的项的系数之和为（）

A.-674B.-675C.-1080D.1485

【答案】A

【解析】（/-2X-3）5=（X-34X+1）5,则”的系数为1,

Y的系数为C^（-3）4C;+4（-3）3+以（-3）5盘=-675,

所以在卜2-2犬-3）'的展开式中含钞和含/的项的系数之和为-675+1=-674.

故选：A.

23.（2022•全国•高三专题练习）（4+3y-5『的展开式中，/丁的系数为（）

A.-135B.-75C.75D.135

【答案】D

【解析】（石+3y-5）6可看作5个因式（4+3y-5）相乘，

所以其展开式中含/V的项为4个因式取«,2个因式取3y,

所以（4+3y-5）6展开式中含石的系数为C：X32=135.

故选：D.

经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数

24.（2022•浙江邵外高三阶段练习）（x+y）（x-y）6的展开式中Y;/的系数是.（用数字作答）

【答案】-5

【解析】根据题意,1V的项在（x+y）（x-y）6的展开式中有两项，

分别为:木废治（一丫）4和＞戢/（_〉）3,即15dy4和-20X,4,

则x14的系数为：15-20=-5.

故答案为：-5.

25.(2022•全国•高三专题练习)(χ2-3)(x+gj的展开式中的常数项为

【答案】-45

【解析】(x+')6展开式通项公式为&I=C)6τ(J√=αχ63,

XX

6-2r=0,r=3,6-2r=-2,尸=4,

所以所求常数项为-3XC：+或=-45,

故答案为：-45.

232345

26.(2022•全国•清华附中朝阳学校模拟预测)(x+1)(2x-3)=a0+ajx+a2x+a3x+a4x+a5xr则4=

【答案】-20

【解析】由(X+1)2(2X-3)3=(Y+2X+1)(2A3)3,要得柄,则

YC；(-3)'(2x)2+2ΛCθ(-3)°(2x)3=-36√+16x4=-20x4,所以%=-20,

故答案为：-20

27.(2022•全国•高三专题练习)已知的展开式中的各项系数和为-3,则该展开式中的

常数项为.

【答案】-120

【解析】(2x+?)(x—的展开式中，各项系数的和为—3,

令X=1,(2÷tz)×(-l)=-3,

x-∣l的展开式中XT的项为C；/1BP--,

X

x-2）展开式中的常数项为T60+40=-120.

2x+一

故答案为：T2（）.

28.（2022•河北邢台•高三开学考试）展开式中的d项的系数是

【答案】30

/∖r6—r

【解析】二项式的展开式的通项公式为C；∙x6-r一”=(-1)∙C>x2

33

令6-=O解得厂=4；令6-y=3,解得r=2.

6

所以展开式中的d项的系数是（一1）4.屋+（-1）2.仁=30.

故答案为：30

29.（2022•浙江•杭十四中高三阶段练习）卜+?

（χ+y）5的展开式中rU的系数为..（用数

字作答）

【答案】15

【解析】.卜+[y2

(χ+y)5=x(x÷y)5+-(χ+y)5,

X

其中x(x+yF的展开式通项为7i=H*∕^*∙y"=C∙χ6Y∙y*,¢=0,1,2,3,4,5,故％=4时，得含/y，的项为

C"N=5X3;

Y(X+y)5的展开式通项为S,=Yq∙∕Jy=α∙x~∙y*,r=0,l,2,3,4,5,故z∙=2时，得含fy"的项为

XX

C；x2/=IOx2/.

因此，式子h+11lx+y）5的展开式中，含x∖∕的项为5χ2y4+10fy4=]5χ2y4,即系数为15.

X

故答案为：15.

30.(2022•四川•树德中学高三阶段练习(理))[+*)(l+x)6展开式中/的系数为.

【答案】26

【解析】(l+x)6展开式第r+1项J=C孑，

r=3H'J',C*3=20/,r=5时，C1x5=6x5,

.∙.(l+g}l+x)6展开式中Y系数26.

故答案为：26.

31.(2022•全国•高三专题练习)已知(x+l)(XT)'则4+%的

值为.

【答案】-1

【解析】令X=On%=-1,

由(X-I)5的展开式的通项为7；M=CJ√^r(-l)r,

令5-r=2,得r=3,令5-r=3,得r=2,

所以4=C(T)3+C(T)2=0,

所以小+“3=-1.

故答案为：-1

32.(2022淅江省淳安中学高三开学考试)已知卜[的展开式中常数项为20,则m=.

【答案】-1

【解析】由题意可得。+£)5的展开式的通项公式为刀“=C#5Tqy=C=5d,r=o,1,,5,

故当5-2r=T时,即r=3时,7；=IOx-1,

当5-2r=l时，即尸=2时，7；=IOx,

故(X-V)(x+」)的常数项为XXloXT+(-m)XLloX=20,解得

故答案为：-1

经典题型七：求二项式系数最值

33.（2022∙全国•高三专题练习）在（x+l）"（〃eN*）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则〃

的值不可能是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】当〃=7时，（a+。）'的展开式有8项，3+6）7的展开式中二项式系数C；，c：,最大，

即第四项和第五项的二项式系数最大；

当∕l=8时，（“+bp的展开式有9项，（4+b）8的展开式中二项式系数C；最大，

即第五项的二项式系数最大；

当〃=9时，（α+b）9的展开式有10项，（α+b）9的展开式中二项式系数C；,C最大，

即第五项和第六项的二项式系数最大.

当〃=10时，（“+b）κ）的展开式有11项，（α+Z√0的展开式中二项式系数C：。最大，

即第六项的二项式系数最大.

故选：D.

34.（2022・全国•高三专题练习）（1+2x）7展开式中二项式系数最大的项是（）

A.280X3B.560X4C.280x3⅛∣56（）x4D.672/和56θd

【答案】C

rr

（解析1（1+2x）7展开式的通项公式为Tr+l=C^（2x）=C；∙2Z,

因为（l+2x）7展开式共有8项，

所以第4项和第5项的二项式系数最大，

所以（1+2x）7展开式中二项式系数最大的项为C；∙23d和C.24X4,

即为2801和560x4,

故选：C

35.（2022・湖南•高三阶段练习）设m为正整数，（x+y）”"的展开式中二项式系数的最大值为α,（x+y）?"的

展开式中的二项式系数的最大值为6.若15α=8b,则m的值为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】（x+y）2"'的展开式中二项式系数的最大值为CM,故a=C£,（x+y）2"用的展开式中的二项式系数

的最大值为《角或G鬻，两者相等，不妨令b=O,则有15C^=8G向，解得：m=l.

故选：C

36.（2022•全国•高三专题练习）［4+£［的展开式中X的系数等于其二项式系数的最大值,则a的值为（）

A.2B.3C.4D.-2

【答案】A

【解析】因为（6+21的展开式的通项公式为却=仁（五厂e）=cw；芳，令言=1,即I时,

X的系数为5α,而二项式系数最大值为C；=10,所以5q=10,GPα=2.

故选：A.

经典题型八：求项的系数最值

37.（2022∙全国•高三专题练习）已知（l-3x）”的展开式中各项系数之和为64,则该展开式中系数最大的项为

【答案】1215√

【解析】令x=l,则（1-3力”的展开式各项系数之和为（-2）"=64=26,则〃=6；

由（l-3x）"的展开式通项公式=Q（-3）rZ知二项展开式的系数最大项在奇数项,

设二项展开式中第r+1项的系数最大,

[禺(-3)—《2(_3厂(r+2)(r+l)≥(6-r)(5-r)×9

λjr22化简可得:

[ca-3)≥Q-(-3Γ(8-r)(7-r)×9≥r(r-l)

经验证可得r=4,

则该展开式中系数最大的项为4=*（-3）4χ4=1215x4.

故答案为：1215X4.

38.（2022∙重庆巴蜀中学高三阶段练习）（XT），的展开式中系数最小项为第项.

【答案】6

【解析】（X-I）9的展开式的通项公式为（+I=CiXy（T）',其中系数与二项式系数只有符号差异,

又第5项与第6项的二项式系数最大，第6项系数为负，则第6项系数最小.

故答案为：5.

39.（2022・全国•高三专题练习）若（6+忘”展开式中前三项的系数和为163,则展开式中系数最大的项

为.

【答案】5376

【解析】展开式的通项公式为G=2"CXk，由题意可得，2<>C：：+2C：+22C：=163,解得〃=9,

∣8-3*[2i'C*≥2Λ+IC?1

k

设展开式中TM=2CgX^~项的系数最大，则j2*cf>2ZCfT

解得E≤Z≤g,

又Y%eN,k=6,

6

故展开式中系数最大的项为T1=2C：=5376.

故答案为：5376.

经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和

40.（2022•全国•高三专题练习）若（I-X）7=%+乎+%/++%/,则μ+同+同++∣o7∣=.

（用数字作答）

【答案】127

7,

【解析】因为（I-X）=4+4*+见/++a1x,

所以X奇次方系数为负，X偶次方系数为正，

=

所以IaIl+∣<⅞∣+&I+÷∣fl⅛∣­4+a2-ai+α4-a5+aβ-a1,

7

对于（I-X）'=%+a/+//++a1x,

令X=-1,得%%+〃4-〃5+〃6-。7=2’，

令X=0,得%=1,

l

两式相减，得—“I+。2—。3+“4一+4-Ci7=2—1=127,

即∣6Z1∣+∣（‰∣÷∣¾∣++∣Ο7∣=127.

故答案为：127

20222020

41.（2022∙全国•高三专题练习）⅛（1-0x）°=tz0+alx+a2x+∙∙∙+¾020x,若

O1+202+3a3+∙∙∙+2O2O⅛o=2020«则非零实数a的值为()

A.2B.0C.1D.-1

【答案】A

202

【解析】:(I-词°=%+qx+%χ2+…+/o2oχQ),对其两边求导数，

2l92019

.∙.2020×(-a)(l-0r)°=Λl+⅛+∙∙∙+2O2O⅛ox,

2019

令X=1,M2020×(-a)(1-6Z)=«,+2¾+∙∙∙+2O2O¾2o,①

Xal+2a2+3a3+∙∙∙+2O2Oo,o,o=2020«(α≠0),②

Λ2020×(-w)(l-a)20'9=2020α(α≠0),Λ1-«=-1,解得a=2,

故选：A.

0

42.(2022・全国•高三专题练习)已知(1+X)"-'=%+4∣x+生厂+%χ3+÷¾2∣Λ^^^',则

。2。2。+2“239+3“238+4。2。17++2020α∣+202Iao=()

A.2021X22021B.2021×22020

C.2020×22021D.2020X22020

【答案】B

【解析】依题意，a*=%,keN,k≤2G2T,

2021!

当&31时，(2021-k)ali=(2021-Z)C‰=202IC；M=202IC装—

(2021-k)!∙Z!

_______2020!

2021-=2021(/-瑞),

[2020-(JI-1)]!∙(⅛-l)!

2021

X(2021-⅛)¾÷20214

[k=l_

202120212021

=02021(*1-喝)+202IC射=2021ZCKLZC露

A=IVJi=O2=1

=2021(22°2,-22020)=2021×2202f).

故选：B

2222022

43.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)若(l+x)+(l+x)2++(l+x)°=¾+¾x÷+02022x,则()

A.4=2022=

B.Cl202O23

20222022

C.∑(-l),α,=-lD.∑(-1),-⅛=1

/=If=∣

【答案】ABD

【解析】当X=O时，2022=%,故A对；

=,

a2=C2+C3+C4++C；022=C；+C；+C：++C2022ɛ2O23B对;

令X=-I,则0=%—4+出—+。4一。2021+°2022，

2022

・・.Z(-1)%=-4=-2022,故C错；

/=1

22022

对等式(1+x)+(1+x)2++(1+x)^°^=α0+axx++02022x两边求导，

22022021

B∣H+2(l+x)+3(l+x)+∙∙+2O22(l+x)'=ax+2a2x++2O22⅛2x

令X=—1,则1=q—2〃2+3%—44++20214021—2022tz2θ22，

2022

X(T)Hq=I,故D对，

/=1

故选：ABD.

经典题型十：求奇数项或偶数项系数和

44.(2022.浙江.模拟预测)已知多项式(£一3工+2)4=4+4》+〃2/++¾xs,则q+%+%+%=，

a∖•

【答案】-648-96

【解析】因为(χ2-3x+2)4=4+4》+°2*2++¾Λ8,

令x=l可得0=%+q+々++/①；

-

令X=-1可得64=%-q+a2-%+%^^%+¾cι1+4②>

两式相减，整理可得q+a3+a5+%=-648.

227

对(/-3x+2)=afl+alx+a2x++6/两边求导可得，4(x-3x+2)(2x-3)=αl+2a2x++808x,

令X=0,可得q=-96.

故答案为：-648：-96.

45∙(2022∙全国•模拟预测)若(l+x)9-Or(I+x)9的展开式中，所有X的偶数次幕项的系数和为64,则正实

数a的值为.

3

【答案】4

4

【解析】设(I+%)。一以(l+x)9=(l-0r)(l+x)9

1345β891

=π0+<71x+a2x+O3X+a4x+a5x+a6x+a1x+¾x+a9x+6∕10x0.

令X=1,得2'x(l—々，=4+4+2+/+%+%+%+%+/+"，)+Go①；

令X=T,得0=4-4+%