第7章平行线的证明-题型全解-北师大版八年级数学上册

PAGEPAGE1《平行线的证明》题型解读【知识梳理】一.基本概念（一）定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，这就是定义。在表示定义的句子中常有“叫…，称为…，是…”等关键字眼。（二）命题：判断一件事情的句子，叫做命题1.它包含两层含义：①命题必须是一个完整的句子，常为陈述句，通常不完整的句子、疑问句、感叹句都不是命题；②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断；2.每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出来的事项。一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式。其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。3.命题有真命题、假命题、逆命题之分。（三）公理：公认的真命题称为公理；公理是不需要经过推理证实的真命题。（四）定理：经过证明的真命题称为定理；公理和定理都可以作为判断其他命题真假的依据。（五）证明：推理的过程称为证明二.基本性质（一）平行线的性质与判定1.性质①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；④平行于同一直线的两直线平行；2.判定①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④在同一平面内，不相交的两直线平行；（定义判别）⑤平行于同一直线的两直线平行；⑥在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；补充：①平行线的一组同位角的角平分线平行；②平行线的一组内错角的角平分线平行；③平行线的一组同旁内角的角平分线互相垂直；（二）复杂图形中平行线的构造和应用解题关键：遇到拐点处作已知平行线的平行线，然后根据同位角、内错角和同旁内角的关系求角的度数。常见模型：常见模型：1.铅笔模型：∠1+∠2+∠3=360º铅笔模型推论：所有角度和=180º×（n-1）2.猪脚模型：∠2=∠1+∠3猪脚模型推论：左边角之和=右边角之和3.牛角模型及鸭脚模型：∠1=∠2+∠3附：构造平行线中“三大模型”的证明过程题型特点：有平行线，但不是“三线”情况，需要构造出“三线八角”，再运用平行线的性质或判定解题。解题思路：1.通用做法遇到拐点处作已知平行线的平行线；2.线段延长与平行线相交，构造“截线”掌握要求：填选题中直接用，解决题中需要掌握证明过程一.“铅笔模型”：已知AB//CD，结论：∠B+∠E+∠D=360º证明方法：二.猪脚模型：已知AB//CD，结论：∠E=∠B+∠D三.牛角模型及鸭脚模型：已知AB//CD，结论：∠B=∠E+∠D（三）三角形的内角和定理1.三角形的内角和等于1802.三角形的外角（1）三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为三角形的外角；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；【典型例题】例1．下列命题是真命题的是（）A．若直角三角形其中两边为3和4，则第三边为5 B．﹣1的立方根是它本身 C．三角形的一个外角大于三角形的任意一个内角 D．内错角相等解析：选项A没明确3和4为直角边，则第三边存在两种情况，错误；选项C三角形的一个外角大于与它相邻的任意一个内角，错误；选项D两直线平行内错角相等，错误，故选B.例2.下列四个命题中,真命题有（）①两条直线被第三条直线所截,内错角相等；②如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果那么A.1个B.2个C.3个D.4个解析：命题识别题型，考查数学基本概念与性质，只有②正确，选A例3.下列命题中，真命题的是()A.同旁内角互补 B.相等的角是对顶角

C.同位角相等，两直线平行 D.直角三角形两个锐角互补解析：两直线平行同旁内角才互补，选项A错误；相等的角不一定是对顶角，选项B错误；直角三角形两个锐角互余，选项D错误，故选C例4.下列命题中，真命题的是（）A.三角形的最大角不小于60° B.三角形的一个外角等于它的两个内角的和C.同位角相等 D.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行解析：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，选项B错误；两直线平行同位角才相等，选项C错误；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项D错误，故选A例5.下列命题是假命题的为（）A.如果三角形三个内角的比是1:2:3，那么这个三角形是直角三角形B.锐角三角形的所有外角都是钝角C.内错角相等D.平行于同一直线的两条直线平行解析：两直线平行内错角才会相等，故选C例6．在下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（A）A．B． C．D．解析：选A,依“内错角相等两直线平行”可得到AB//CD例7.如图,直线EF分别交AB、CD于点E、F,EG平分∠BEF,AB∥CD.若∠1=72°,则∠2的度数为（）A.54°B.59°C.72°D.108°解析：数学典型模型“角平分线+平行线=等腰△”，EG平分∠BEF,AB∥CD可得△GEF是等腰三角形，FE=FG，∴∠2=∠FEG,由三角形内角和公式及∠1=72°可得∠2的度数，选A.例8.将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为_________.解析：“猪脚模型”，∠1=∠2+∠3=45°+30°=75°.例9.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，已知∠BED+∠CFD=240∘，则∠BDC=______．解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBD=∠DBC，∵过点D作BC的平行线交AB于点E，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=ED，∴∠EDB=∠EBD=1同理∠FDC=1∴∠BDC=例10.如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连CF．(1)求证：CF//AB

(2)若∠ABC=50∘，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A解析：(1)证明：∵在△AED和△CEF中AE=CE∠AED=∠CEFDE=FE∴△AED≌△CEF(SAS)，∴∠A=∠ACF，∴CF//AB；

(2)解：∵AC平分∠BCF，∴∠ACB=∠ACF，∵∠A=∠ACF，∴∠A=∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180∘，∠ABC=50例11.已知：如图8，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE//AC，且∠1+∠2=180°（1）求证：AD//FG；（2）若DE平分∠ADB，∠C=40°，求∠BFG的度数.证明：(1)∵DE//AC,∴∠2=∠DAC,∵∠l+∠2=180°,∴∠1+∠DAC=180°,∴AD//GF(2)∵ED//AC,∴∠EDB=∠C=40°,∵ED平分∠ADB,∴∠2=∠EDB=40°,∴∠ADB=80°∵AD//FG,∴∠BFG=∠ADB=80°例12．如图，已知直线l1∥l2∥l3，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC=25°，∠BAE=25°．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BCF的度数．【解答】（1）证明：∵l2∥l3∴∠ABD=∠BAE=25°，∵∠BAC=25°∴∠ABD=∠BAC，∴△ABD是等腰三角形，（2）∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,∠BAC=25°，∠ACB=90°,∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣25°﹣90°=65°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣25°=40°，∵l1∥l2∴∠BCF=∠CBD=40°，例13．如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，且CE交AB于点E，EF交AC于点M，已知EF∥BC．（1）求证：M为EF中点；（2）若∠B=40°，∠A=60°，求∠F的度数．解：（1）∵CE、CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，∴∠MCE=∠BCE，∠MCF=∠DCF，∵EF∥BC，∴∠MEC=∠BCE，∠MFC=∠DCF，∴∠MEC=∠MCE，∠MFC=∠MCF，∴EM=MC，MC=MF，∴EM=MF，∴M是EF的中点，（2）∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=100°，∵CF平分∠ACD，∴∠FCD=12∠ACD=50°∵EF∥∴∠F=∠FCD=50°例14．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．（1）若∠1＝50°，求∠2；（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，∵∠DEF＝60°，∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°；（2）连接DF，∵DF∥BC，∴∠FDE＝∠DEB，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∴∠1＝∠3．例15.如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠1与∠2互补.(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由；()如图2,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G,点H是MN上一点,且GH⊥EG.求证:PF∥GH；(3)如图3,在(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点，使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化?若不变,请求出其值；若变化，请说明理由。解析：考查平行线的性质与判定。中等难度题。（1）基础简单小题。∵∠1+∠FEB=180°,∠1+∠2=180°,∴∠2=∠FEB,∴CD//AB；（2）中等偏下难度小题。∵AB//CD,∴∠BEF+∠EFD=180°,∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴2∠PEF+2∠PFE=180°,∴∠PEF+∠PFE=90°,∴∠EPF=90°,∴EG⊥PF,∵GH⊥EG,∴PF//HG；（3）中等偏上难度小题。不会发生变化，