2023届新教材高考数学二轮复习解答题练习 数列A卷

(3)数列

A卷

1.已知等比数歹U｛aι,｝的前〃项和为S”,且2«„-Sn=I.

(1)求明与S“；

(2)记我=今」，求数列也｝的前〃项和&

2.在①A=B3,②=③&=35这三个条件中任选一个，补充在下面问题

aia'B^

中，并解答下列问题.

已知等差数列｛α,｝的公差为d(d>O),等差数列出｝的公差为2d.设A“，B,,分别是数

列｛g.｝,｛2｝的前〃项和，且4=3,4=3,.

(1)求数列｛q｝,也｝的通项公式；

⑵设cπ=24+=一，求数列｛cn｝的前九项和S,.

bltbn+i

3.已知等差数列的首项q=1,公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别是一个

等比数列的第2项、第3项、第4项.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设N==1—、(〃eN+),S“=4+/++bll,是否存在整数f,使得对任意的正整数

”(4,,+3)

“均有5“›工成立？若存在，求出最大的整数7;若不存在，请说明理由.

36

4.记S“为数列｛叫的前"项和.已知泡+〃=2α,,+1.

n

(1)证明：｛%｝是等差数列；

(2)若知,《，与成等比数列，求S“的最小值.

5.已知数列｛%｝的前n项和为S,,,q=2,S,,τ-34=S,,+2x3"-2.

⑴记2=耘，证明：也｝是等差数列，并求低｝的通项公式；

(2)记数列｛4｝的前〃项和为7；,求7；,并求使不等式7；<2022成立的最大正整数几

6.已知数歹U｛%｝的前"项的和为Sn,Sn=2α,i+∕1-3.

⑴求出数列｛/｝的通项公式；

(∏)数列｛，｝的前n项的和为Tn=(〃+1)/7,求出数列优∙a,,｝的前n项和Bn.

7.已知公差不为O的等差数列的前〃项和为S,,,1吗,火成等比数列，S7=28.

(1)求数列｛4｝的通项公式：

⑵若数列出｝满足么,=&了，数列｛4力｝的前〃项和为7；,且不等式7；+可。>(T)Z

对任意的〃eV恒成立，求实数攵的取值范围.

8.已知数列｛%｝的前〃项和为5“.

(1)若S∣=2,S,,+l=2S,,+2,证明：5„=α,,+l-2;

(2)在(1)的条件下，若b“=l。4%,数列也｝的前〃项和为7；,求证

1÷1÷1÷÷-L<2.

TiT2T3Tn

9.已知等差数列｛对｝的前〃项和为S,,4=1,$3=9.

(1)求数列｛〃“｝的通项公式;

(2)若4=(-1)”,求数列出｝的前n项和7；.

10.若无穷数列｛”“｝满足|今言-,)是公差为Z的等差数列，则称｛4｝为或外数歹U∙

⑴若同为"(0)数列,⅛l=l,4=4,求数列出｝的通项公式;

(2)数列｛%｝的前〃项和为S,,,c1=l,6=5,｛S,,｝为d(2)数列，求证：Sn<nc,l.

答案以及解析

1、(1)答案：an-2an_]；Sn=2"-1

解析：由2%-Sn=1,得S=Ian-X9

当〃=1时，q=S[=2a1—1,得4=1；

当〃≥2时，a.=Sπ-5n,1=(2απ-l)-(⅛1-l)，

得4,=2%，

所以数列｛q｝是以1为首项，2为公比的等比数列，所以“,,=2"τ.

所以S,,=2α"一1=2"-1.

(2)答案：(=6—翳

解析：由⑴可得勿2∏=弗-1，

1小八1

则=1+3+且++2"，=Ixl+3X1+5X-喜++(2n-l)∙-,

,,12222"~'2：

⅛=1×∣+3×⅛+5×⅛++(2"-l)<'

两式相减得9=1+2。+*+:++*)

—(271—1)----,

2"

所以7；=2+4((+*+?+…+击卜2〃-1)1

.广

1_1

=2+4∙^-(2n-l)∙-ɪ-r

12"τ

1----

2

2〃+3

=6--^rr∙

2.答案：(1)。“=〃，bn=2π+1

⑵S=2"+I_3(〃+2)

"2〃+3

解析：(1)选择条件①：

数列｛叫，｝都是等差数列，且

⅛l4=3,4=3,A5=B39

T制9+6屋≡q=l

J=I

.*.an=q+(H-1)J=n,

hn=bi+("-l)∙2d=2n+l.

综上，ttn-n,bn=2n+l.

选择条件②:

114

数列｛6｝，也｝都是等差数列，且夕=3,A=3，---------=----

ala2B2

2ai+J=3,4=1

4q(q+d)=d(6+2d)',d=i

.*.an=q+(H-1)J=几,

hn=h]+("-l)∙2d=2∕t+l.

综上，%=〃，bn=2n+∖.

选择条件③:数列｛%｝，也｝都是等差数列,

且4=3,A)=3,B5=35.

2q+d=3

,解得,q=

•'15+20d=35d=

=q1"=〃,

bn=R+(〃一l)∙2d=2"+l.

综上，an—n,hlt=2n+l.

311

(2)由(1)得％=2"+=2n+-

(2π÷l)(2n÷3)212n+12〃+3

5,,=(2+22++r)+∣UV

÷++

。一五2〃+12〃+3

=2(l-21)+Vl1

1-22132〃+3,

叱3(〃+2)

=N-------------

2∕ι+3

3.答案：(1)an=2/2-1(n∈N+)(2)8

解析：(1)由题意得(4+d∕q+13d)=(α∣+4√∕)2,整理得2"/=/.

(λχ=I,d>O,..d=2∙

,

..an=2H-1(∕I∈N+).

n^an+3)2n(n+1)2∖nn+1

.∖Sn=bx+⅛2++bn

假设存在整数r满足5">上总成立，

"36

又5,,-S=---------------=------------------>0，

',+l'n2(〃+2)2(〃+1)2(〃+2)("+l)

，数列｛S,,｝是递增数列.

.∙.S∣=!为S”的最小值，故工<』，即f<9∙

又∙f∈Z,.∙.满足条件的/的最大值为&

4.答案：(1)证明见解析

(2)-78

解析：(1)由至i∙+"=2q,+l,得2S“+〃2=2α∕+〃①,

n

所以25〃+]+(〃+1)2=2。“+[(〃+1)+(〃+1)②，

②-①，得2。〃+]+2H÷1=2¾+1(n÷1)-2altn+1，

化简得%-4=ι,

所以数列｛〃〃｝是公差为1的等差数列.

(2)由(1)知数列｛4｝的公差为1.

由a；=4%，得(4+6『=(4+3)(q+8),

解得4=-12.

所以当〃=12或13时，S,取得最小值，最小值为-78.

5.答案：(1)证明过程见解析，bn=2/7-1.

(2)n为5.

n

解析：(l)⅛Sπ+1-3aπ=Sπ+2×3-2,得"-S“=34,,+2x3"-2,

n

即CM=3an+2×3-2,:.¾t,-l=3(¾-l)+2×3S

.£^=9+2.

3"3π^'

即%~A=2，

又Q4=%=l,

..数列他,｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

*

..h/t=1+(H—1)x2=2〃—1.

(2)由(1)知α,,=(2"-l)∙3"T+L

7；,=l×30+3×3'+5×32+L+(2n-l)×3"^'+n,①

,

37；=1x3'+3x3?+5x3^+L+(2rt-i)×3'+3n,②

|,l,

①-②，得一27；=1+2x3'+2x3?+L+2×3^-(2n-1)×3'-2n

3-3"

=l+2×η-y-(2n-l)×3"-2n=-2+3"-(2n-l)×3,,-2n

=-2-2(n-l)×3n-2n,

n

.∙.Tn=n+l+(n-l)×3,

Qq,>O,.∙∙｛1,｝是递增数列，

7；=6+4x3'=978<2022/=7+5x36=3652>2022,

使不等式7；<2022成立的最大正整数〃为5.

6.答案：(I)%=2"T+l∕eN*

π+1

(II)Bn=(n-l)∙2+2+n(n+l),n∈N*

解析：(I)，=2/+〃-3,①

当〃=1时,g1=2a1+1-3,√.α1=2.

当〃≥2时,5.T=24T+(〃-1)-3,②

①-②得all=2*T-I,

则«„-1=2(αχ-1),即数列｛/-1｝是首项为1,公比为2的等比数列,

则47=2"T,

数列｛/｝的通项公式为%=2"T+1,"∈N∙.

(II)(,=("+l)”,∙∙.当〃=1时,仿=Tx=I,

当“≥2时,6“=Tn-7；,_|=(n+∖)n-n(π-l)=2π,^bn=2w,neN,,

.∙.数歹U｛%q｝的通项公式为aq="x2"+2n,n∈N*.

π

令4=1x2+2x22++nx2,

23,+

2An=l×2+2×2++(n-l)×2"+n×2'',

则24一4=4=-(2+22+23+.+2")+〃X2n+1=(n-1)∙2n+1+2.

又2+2x2+2x3++2n=n(n+1),

,+l,

.∙.βπ=(n-l)∙2'+2+n(n+l),M∈N.

7.答案：(∖)an=n.

⑵取值范围为卜L∣)∙

解析：(1)解法一：设数列｛《,｝的公差为d(d≠O),

因为%,包，％成等比数列，所以=a2a8，

即(al+3d)?=(at+d)(α∣+7d),得a1=d,

XS7=701+21J=28,

所以q=Q=I,

所以.

解法二：因为&=28,所以7("；也=7α4=28,所以%=4.

设数列｛《,｝的公差为d("≠0),

因为出，。4，〃8成等比数列，所以=。2。8，

即16=(4-2d)(4+4d),得d=l,

所以%-4)d=n.

⑵由(1)知，⅛,,=^∫,

令C“=aJbj则Ca=,

则7>lx；+2x(；)+3x(；)+L+57)x(S+“4)，

Mb4+2>4+L+(i-

222232"2"Z

ɪ

两式相得g=；+//+L+ɪ12-,×A=1-〃+2

一"X产

ι42"+'2向

所以7；=2-展•

Tn+%也>(-i)"k,即(-ιy%<2-击•

若〃为偶数，则A<2-Jτ,

2,,^l

易知函数y=2-9是增函数，

所以上<2-Jy=T；

若〃为奇数，贝IJM<2-°τ,

所以-k<2-g=l,SP⅛>-l.

所以实数上的取值范围为卜,|)

8.答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：(1)因为S1=2,Sn+l=2Sn+2,

所以S.τ+2=2(S,+2),S∣+2=4,

所以数列｛S,,+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列,

所以S,,+2=2"∣,

n+

.∙.Sπ=2'-2,

当〃≥2时，S,ι=2"-2,S"-S,ι=%=2",

当〃=1时，α∣=E=2满足上式，

所以〃“=2",所以Sa=an+i—2成立.

(2)由⑴知α,,=2",

hn=Iog2an=n,

所以Z,=驾D

则ɪ-——-——-2×

Tn”(〃+1)

1=2XT

所以_L+_L+_L++—=2×∖∖_11_11_1+—<2,

TI~22~33-4

TiT2T3nn

所以」+_1+_!_++1<2成立.

TyTT

23Tn

9答案:(1)¾=2n-l.

-2n2+1,/?为奇数,

(；

2)7,=2

2n9n为偶数.

解析：（1）设数列｛““｝的公差为d，

则S3=3q+3d=3+3d=9,解得d=2,

故数列｛alt｝的通项公式为q=1+2(〃-1)=2〃-1.

-(2〃-1)~,〃为奇数,

(2)由(1)知b,=(-1)"∙⅛=(-1)"∙(2∏-I)2=

t(2几-1)2,〃为偶数.

当“为奇数时，7；,=-l+32-52+72-92+L+(2n-3)2-(2π-l)2

=2×(l+3+5+7+L+2n-3)-(2n-l)2

=(n-l)(l÷2n-3)

2χ-(2n-l)2

2

=-2n^+1.

2222

当〃为偶数时，T11=-l+3-5+7-9+L-(2〃-3)2+(2〃-I)?

=2X(1+3+5+7+L+2鹿一3+2〃-1)

2

=2n2.

-2∏2+1,Λ为奇数,

故1=

27,〃为偶数.

10.答案：(1)b,,=n2

（2）见解析

解析:(1)因为也｝为d(0)数列，g-｝=i,

所以［端一4］是首项为1,公差为0