高中数学北师大版必修二课时分层作业2-1-5第1课时两点间的距离公式

课时分层作业二十两点间的距离公式一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2018·安庆高二检测)设A，B是x轴上的两点，点P横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为xy+1=0，则直线PB的方程是 ()A.x+y5=0 B.2xy1=0C.2yx4=0 D.2x+y7=0【解析】选A.由已知，点P在直线x=2上，直线PA与PB关于直线x=2对称，又PA斜率为1，所以PB斜率为1，由xy+1=0与x=2解得y=3，即P(2，3)，所以PB方程为y3=(x2)，即x+y5=0.2.已知A(2，1)，B(1，b)，|AB|=5，则b等于 ()A.3 B.5C.3或5 D.1或3【解析】选C.|AB|=QUOTE=5.解得b=3或b=5.3.若x轴正半轴上的点M到原点的距离等于点(5，3)到原点的距离，则点M的坐标为 ()A.(2，0) B.(1，0)C.QUOTE，0 D.(QUOTE，0)【解析】选D.设点M的坐标为(x，0)，根据题意得x2=52+(3)2，解得x=±QUOTE，又因为点M在x轴得正半轴，所以点M的坐标为(QUOTE，0).4.已知A(1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则QUOTE的值为()A.QUOTE B.QUOTE C.3 D.2【解析】选D.由两点间的距离公式得|AC|=QUOTE=4QUOTE，|CB|=QUOTE=2QUOTE，故QUOTE=QUOTE=2.5.已知△ABC的三个顶点分别是A(1，0)，B(1，0)，CQUOTE，则△ABC为 ()A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【解析】选A.因为|AB|=|1(1)|=2，|BC|=QUOTE=1，|AC|=QUOTE=QUOTE，所以|AC|2+|BC|2=|AB|2，所以△ABC是直角三角形.6.x轴上任一点到定点(0，2)，(1，1)距离之和的最小值是 ()A.QUOTE B.2+QUOTE C.QUOTE D.QUOTE+1【解析】选C.设点(0，2)关于x轴对称的点为A，则A(0，2)，两点(0，2)与(1，1)之间的距离即为所求值，即QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分，共10分)7.已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是.

【解析】由题意知QUOTE解得QUOTE所以d=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE8.(2018·上海高二检测)已知A(2，3)，B(1，0)，动点P在y轴上，当|PA|+|PB|取最小值时，则点P的坐标为_________.

【解题指南】求出点B关于y轴的对称点B′，当点P，A，B′位于同一条直线AB′上时，|PA|+|PB|取最小值.【解析】由已知，点B(1，0)关于y轴的对称点为B′(1，0)，又点A(2，3)，所以直线AB′方程为y=x+1，与x=0联立得，y=1，所以P(0，1).答案：(0，1)三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知矩形相邻的顶点为A(1，3)，B(2，4)，若矩形对角线交点在x轴上，求另两个顶点C，D的坐标.【解析】设矩形对角线交点坐标为M(x，0)，因为|MA|=|MB|，所以QUOTE=QUOTE，解得x=5，即对角线交点为M(5，0).又设矩形另外两顶点为C(x1，y1)，D(x2，y2)，因为M是对角线中点，所以QUOTE=5，QUOTE=0，解得x1=9，y1=3，所以C点的坐标为(9，3).同理可求得D点的坐标为(8，4).10.(2018·深圳高一检测)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若B点的坐标为(1，2).(1)求直线AC的方程.(2)求A，C两点间的距离.【解析】(1)由QUOTE所以A(1，0)又kAB=QUOTE=1，所以x轴为∠A的平分线，故kAC=1，所以直线AC的方程为y=(x+1)，即直线AC的方程为x+y+1=0.(2)因为BC边上的高的方程为x2y+1=0，所以kBC=2，所以直线BC的方程为y2=2(x1)，即2x+y4=0，由QUOTE解得C(5，6)，所以|AC|=QUOTE=6QUOTE.一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2018·荆州高二检测)已知直线l1：axy+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A(0，1)，B(1，0)，给出如下结论：①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；②当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(1，0)；③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；④如果l1与l2交于点M，则|MA|+|MB|的最小值是1；其中，正确的结论的个数是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.①正确；②正确；③错误，当a=1时，直线l1：xy+1=0，l2：x+y+1=0，不关于直线x+y=0对称；④错误，|MA|+|MB|的最小值是|AB|=QUOTE，所以正确的结论个数是2.2.过点A(4，a)和B(5，b)的直线与y=x+m平行，则|AB|的值为 ()A.6 B.QUOTE C.2 D.不确定【解析】选B.由kAB=QUOTE=1，得ba=1，即|AB|=QUOTE=QUOTE.3.若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，3)到原点的距离相等，则点M的坐标为 ()A.(2，0) B.(1，0)C.QUOTE D.(QUOTE，0)【解析】选D.设点M的坐标为(x，0)，根据题意得x2=52+(3)2，解得x=±QUOTE.又点M在x轴的正半轴上，所以点M的坐标为(QUOTE，0).【补偿训练】已知点A(1，2)，B(3，1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ()A.4x+2y=5 B.4x2y=5C.x+2y=5 D.x2y=5【解题指南】先设出动点的坐标，再利用条件到A，B两点距离相等建立等式，进而求出点的坐标满足的条件.【解析】选B.设到A，B距离相等的点P(x，y)，则由|PA|=|PB|得，4x2y=5.4.在西气东输工程中，有一段煤气管道所在的直线方程为l：x+2y10=0，最近的两座城市在同一直角坐标系下的坐标为A(1，2)，B(5，0)，现要在管道l边上建一煤气调度中心M，使其到两城市A，B的距离之和最短，则点M的坐标为 ()A.(6，2) B.QUOTE C.(4，3) D.QUOTE【解析】选C.点B关于直线l：x+2y10=0的对称点为C(7，4)，则直线AC的方程为x3y+5=0，联立AC与l两直线方程得M(4，3).5.若P(1，6)，Q(3，0)，延长QP到A，使|AP|=QUOTE|PQ|，那么A的坐标为 ()A.QUOTE，8 B.0，QUOTEC.QUOTE，2 D.QUOTE，2【解题指南】设出点A的坐标，再利用条件P，Q，A三点共线，|AP|=QUOTE|PQ|建立坐标的关系式.【解析】选A.设A(a，b)，因为P，Q，A三点共线，所以QUOTE=QUOTE，即得QUOTE=QUOTE，化简得3a2b9=0.又由|AP|=QUOTE|PQ|得=QUOTE，即为QUOTE=QUOTE，化简得a2+b2+2a+12b+37=QUOTE，结合3a2b9=0可得a=QUOTE，b=8，故点A为QUOTE，8.二、填空题(每小题5分，共20分)6.(2018·静海高一检测)一只虫子从点O(0，0)出发，先爬行到直线l：xy+1=0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是_________.

【解析】设A(1，1)关于直线l的对称点为B(a，b)，|OB|即为虫子爬行的最短路程，由已知，QUOTE解得B(0，2)，所以|OB|=2，即虫子爬行的最短路程为2.答案：27.平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义||AB||=|x2x1|+|y2y1|，称为线段AB的范数.平面内两点C(1，5)，D(2，3)，线段CD的范数为_________.

【解析】||CD||=|21|+|35|=3.答案：38.等腰△ABC的顶点是A(3，0)，底边长|BC|=4，BC边的中点是D(5，4)，则此三角形的腰长为.

【解析】|BD|=QUOTE|BC|=2，|AD|=QUOTE=2QUOTE.在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长|AB|=QUOTE)2=2QUOTE.答案：2QUOTE9.(2018·扬州高二检测)已知A(4，0)，B(1，0)，动点P满足PA=2PB.设点P到点C(3，0)的距离为d，则d的取值范围为_________.

【解析】设P(x，y)，由已知，PA2=4PB2，即(x4)2+y2=4(x1)2+4y2，化简得y2=4x2≥0，所以0≤x2≤4，2≤x≤2，又因为d2=PC2=(x+3)2+y2=6x+13，所以1≤d2≤25，又因为d≥0，所以d的取值范围为[1，5].答案：[1，5]三、解答题(每小题10分，共30分)10.(1)已知A(3，4)，B(2，QUOTE)，在x轴上找一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.(2)已知点M(x，4)与N(2，3)间的距离为7QUOTE，求x的值.【解析】(1)设点P为(x，0)，则有，|PA|=QUOTE=QUOTE，|PB|=QUOTE=QUOTE.由|PA|=|PB|得x2+6x+25=x24x+7，解得x=QUOTE.即所求点P为QUOTE，0且|PA|=QUOTE=QUOTE.(2)由|MN|=7QUOTE，又|MN|=QUOTE=7QUOTE，得x24x45=0，解得x1=9或x2=5，故所求x值为9或5.11.(2018·重庆高二检测)已知点A(1，1)，B(2，2)，C(4，0)，DQUOTE，点P在线段CD垂直平分线上，求(1)线段CD垂直平分线方程.(2)使|PA|2+|PB|2取得最小值时，P点的坐标.【解析】(1)线段CD中点为MQUOTE，kCD=2，所以线段CD垂直平分线的斜率为QUOTE，所以线段CD垂直平分线方程为yQUOTE=QUOTE，即x2y=0.(2)设P(2t，t)，则|PA|2+|PB|2=(2t1)2+(t1)2+(2t2)2+(t2)2=10t218t+10，当t=QUOTE时，|PA|2+|PB|2取得最小值，即PQUOTE.12.(2018·重庆高二检测)已知直线l与两条平行直线3x+y6=0和3x+y+3=0分别相交于M，N两点，且直线l过点A(1，0).(1)若|MN|=3，求直线l的方程.(2)求证：QUOTE的值为定值.【解析】(1)①若l的斜率不存在，方程为x=1，则M(1，3)，N(1，6)，|MN|=9，与题意不符；②若l的斜率存在，则设l的方程为y=k(x1)，由QUOTE可得MQUOTE，同理NQUOTE，因为|MN|=3，所以QUOTE+QUOTE=9，k=0或k=QUOTE，所以l的方程为3x4y3=0或y=0.(2)由(1)知，斜率不存在时，QUOTE=QUOTE=QUOTE；斜率存在时，QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE，综上，QUOTE的值为定值QUOTE.【补偿训练】(1)在直线l：3xy1=0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大.(2)在直线l：3xy1=0上求一点Q，使得Q到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.【解析】(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，直线l的斜率为k1，则k1·kBB′=1.即3·QUOTE=1.所以a+3b12=0.①又由于线段BB′的中点坐标为QUOTE，QUOTE，且在直线l上，所以3×QUOTEQUOTE1=0.即3ab6=0.②解①②得a=3，b=3，所以B′(3，3).于是AB′的方程为QUOTE=QUOTE，即2x+y9=0.解QUOTE得QUOTE即l与AB′的交点坐标为P(2，5).(2)如图设C关于l的对称点为C′，求出C′的