6.4.3.3余弦定理正弦定理应用举例课件-高一下学期数学人教A版

课时16余弦定理、正弦定理应用举例新授课1.了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题.任务1：利用余弦定理、正弦定理解决不可测量的距离问题.目标：了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题.情景1：如图，A，B两点都在河对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法.并求出A，B间的距离.(1)若在河这边取一点C，根据测角仪可以测出∠ACB的大小，回顾正弦定理与余弦定理，据此能求出边AB的距离吗？不能，理由：正弦定理适用条件是：①已知两边和其中一边的对角；②已知两角和任意一边.余弦定理适用条件是：①已知两边及其夹角；②已知三边；③已知两边及其任意一角.而题中只能测量出一个角，其他均不可测量，故不可以.(2)小组讨论：如图，若在河这边取两点C、D，且DC=2km，连接AC、BD，根据测角仪测得∠ACB=45°,∠ACD=60°,∠BDA=∠BDC=30°，此时根据正弦定理与余弦定理能求出边AB的距离吗？说明理由.可以，将情境问题转化为数学问题，画出其几何图象，并通过仪器测出∠ACB=45°,∠ACD=60°,∠BDA=∠BDC=30°

，DC=2km.解：在河岸边选定两点C、D，测得CD=2,∠BCA=45°,∠ACD=60°，∠CDB=∠ADB=30°，在△ADC，△BDC中，由正弦定理可得

,

，所以在△ABC中,由余弦定理得

.思考：还有其他方法计算A，B两点间的距离吗？1.基线：是指在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段，如题中的线段CD.2.性质：在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.概念生成1.坡度：2.仰角和俯角：

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.斜面与地平面所成的角度任务2：利用余弦定理、正弦定理解决不可测量的高度问题.在解决关于不可测量的高度问题时，需要明确以下概念：情景2：如图，AB是一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法，求出建筑物的高度.(1)若AB的底部可以到达，那么应该如何设计方案，使得可以计算出建筑物的高度？如图，在地面上随机取一点G，然后用测量仪测出点C处的仰角，并测出GB的距离，再利用直角三角形的正切公式求出AB的高度.(2)结合问题(1)的方案，若AB的底部不可以到达，那么应该如何调整问题(1)的方案？根据调整的方案可以计算出建筑物的高度是多少？（结果保留三位有效数字）如图，在地面上取G、H两点，并使得B，G，H三点共线，然后分别在G、H处，测得A处的仰角分别为45°,30°，且GH=100m，DH=1.5m.所以，在△ACD中，

.所以，所以，m.练一练

如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．解：设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°,得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝

x.在△BDC中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°，即(

x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40.答：电视塔的高为40m.任务3：利用余弦定理、正弦定理解决实际问题中的角度问题.在解决关于角度测量的问题时，需要明确以下概念：1.方位角从某点的指北方向线顺时针方向至目标方向线间的水平夹角.从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角.2.方向角北南东西AαBβ情景3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°,且与甲船相距7nmile的C处的乙船.问：那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1nmile）解：根据题意，画出示意图，如右图所示.由余弦定理，得于是由正弦定理，得,于是由于0°<C<90°,所以C

≈46°

因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°+30°=76°,大约需要航行24nmile.北CBA7nmile20nmile30°思考：结合任务1、2、3，小组讨论利用正余弦定理解决实际问题的步骤是怎样的？运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤：(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.归纳总结任务：回答下列问题，构建知识