数学北师大版必修2学案1-2直观图

§2直观图知识点一eq\o(\s\up17(用斜二测画法画水平放置的平面),\s\do15(图形的直观图的步骤))[填一填]1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．[答一答]1．斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．2．相等的角或线段在直观图中仍然相等吗？提示：不一定相等，如正方形的边长和内角分别相等，但是它的直观图是平行四边形，相邻两边边长不相等，相邻两内角也不相等．知识点二空间几何体直观图的画法[填一填]1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴．2．画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面．3．取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．4．成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．[答一答]3．画直观图时，如何区别实线和虚线？提示：直观图是一个平面图形，我们用它表示空间图形，为了增强空间感，画图要分实线和虚线，其中被面挡住的部分要画成虚线．看得见的部分要画成实线．4．空间几何体的直观图唯一吗？提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，确定这类顶点一般过此点作与轴平行的直线，将此点转到与轴平行的线段上来．2．要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中建立平面直角坐标系，尽量利用原有线段或图形的对称轴画坐标轴，图形的对称中心作为坐标原点，让尽可能多的顶点在坐标轴上．类型一水平放置的平面图形的直观图的画法【例1】画出水平放置的正五边形的直观图．【思路探究】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，首先要在平面图形上建立平面直角坐标系，坐标系建立的是否恰当，会直接影响到图形的直观性．一般地，要充分利用图形的特征(如对称性)来建立坐标系．【解】画法：(1)如图(a)所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，过点O与y轴垂直的直线为x轴，分别过B、E作GB∥y轴，HE∥y轴，与x轴分别交于点G、H.画对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)如图(b)所示，以点O′为中点，在x′轴上取G′H′＝GH，分别过点G′、H′在x′轴的上方作G′B′∥y′轴，使G′B′＝eq\f(1,2)GB；作H′E′∥y′轴，使H′E′＝eq\f(1,2)HE；在y′轴的点O′上方取O′A′＝eq\f(1,2)OA，在点O′下方取O′F′＝eq\f(1,2)OF，并且以点F′为中心，作C′D′∥x′轴，且使C′D′＝CD.(3)连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，并加以整理，所得五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图，如图(c)所示．规律方法用斜二测画法画直观图时，抓住“一斜二测”．一斜指轴成45°或135°，二测指已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，即横不变；已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，即纵减半，在作图时要注意在原图上建立恰当的直角坐标系，以使整个作图变得简便．画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图．解：(1)如图①所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′轴上截取O′A′＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(\r(3),4)cm，连接A′B′，A′C′，得△A′B′C′，即为正三角形ABC水平放置的直观图，如图②.类型二空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)【思路探究】在画图中平行于x轴或z轴的线段时，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．【解】①画出六棱锥P－ABCDEF的底面．如图所示，在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN为y轴，两轴相交于O.②画相应的x′轴、y′轴和z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；在下图(1)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝eq\f(1,2)MN；以N′点为中点画B′C′平行于x′轴，且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，且等于EF；连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.③画正六棱锥P－ABCDEF的顶点．在z′轴上取点P′，使P′O′＝PO.④成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并进行整理，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′.如上图(2)所示．规律方法利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则：①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．②画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．③画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴．用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．解：画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②)．类型三直观图的还原【例3】如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，C′A′＝2，B′D′∥y′轴且B′D′＝1.5.(1)将其恢复成原图形；(2)求原平面图形△ABC的面积．【思路探究】本题的关键是点B位置的还原．【解】(1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.③连接AB、BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图所示．(2)∵B′D′∥y′轴，∴BD⊥AC.又B′D′＝1.5且A′C′＝2，∴BD＝3，AC＝2.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BD·AC＝3.规律方法由直观图还原为原图是画直观图的逆过程，有两个量发生了变化：一是∠x′O′y′由45°恢复为∠xOy＝90°，二是与O′y′平行的线段，在平面xOy中的长度是在x′O′y′中的2倍．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，C′D′＝2，则原图形是(D)A．正方形 B．矩形C．梯形 D．菱形解析：由直观图知，O′D′＝2eq\r(2)，将直观图还原成原图形，则原图形为平行四边形，如图．由直观图和原图形的关系，知OC与BC不垂直，且OA＝6，OD＝4eq\r(2)，CD＝2，∴OC＝eq\r(32＋4)＝6.因此OC＝OA，故平行四边形OABC是菱形，选D.——多维探究系列——关于直观图面积的一个结论【例4】证明：已知某三角形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝eq\f(\r(2),4)S.【思路分析】利用三角形的底边和高的关系，找出两个面积的关系．【精解详析】如图(1)，在△ABC中，AD⊥BC，其面积S＝eq\f(1,2)AD·BC，在其直观图(如图(2))中，作A′M⊥B′C′，则直观图的面积为S′＝eq\f(1,2)B′C′·A′M＝eq\f(1,2)B′C′·A′D′sin45°＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×BC·AD＝eq\f(\r(2),4)S.【解后反思】若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝eq\f(\r(2),4)S.由于其他多边形均可以划分为若干个三角形，故上述结论对其他多边形也成立．有一个长为5cm，宽为4cm的矩形，则其直观图的面积为5eq\r(2)解析：由于该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，所以由例4中的公式可得，其直观图的面积为S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2)．一、选择题1．下列几种说法中，正确说法的个数是(B)①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1 B．2C．3 D．4解析：③④正确．2．下列说法正确的是(D)A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形解析：正方形的直观图是平行四边形，邻边不再垂直；由于梯形中有一组对边不相等，故其直观图不可能是平行四边形；矩形的两组对边都相等，故其直观图不可能是梯形．所以只有D正确．3．如图，直观图所示的平面图形是(D)A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形解析：因为直观图中有两边分别平行于x′轴、y′轴，所以这两边在原图形中互相垂直．二、填空题4．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确命题的序号是①②.解析：正方形的直观图是有一个角为45°的平行四边形，菱形的直观图对角线不再垂直，不是菱形，故③④错．5．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox、Oy、Oz轴画成对应的O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°；在用斜二测画法作直观图时，原图中平行且相等的线段，在直观图中对应的两条线段平