第三章,复变函数的积分

第三章复变函数的积分1§3.1柯西定理§3.2柯西公式§3.1柯西定理21复变函数的积分2几个引理3柯西定理3曲线，

定义

C是区域D内以为起点,为终点的一条光滑的设是定义在区域D内的复变函数.在C上依次取分点把曲线C分割为n个小段.D1复变函数的积分在每个小弧段上任取一点做和数令如果分点的个数无限增多，并且下述极限存在,

则称该极限为函数沿曲线C的积分,记作5当C是实轴上的区间方向从a到b,并且为实值函数，那么这个积分就是定积分.注1:并且定理

设C是光滑(或可求长)的有向曲线，如果

上连续，则存在，在C注2:可积函数类为连续函数6设，则证明

u,v连续取极限

u,v连续取极限7积分公式从形式上可以看成8定理

设光滑曲线C由参数方程给出：是起点,是终点，在C上连续，则9证明10(

是复常数);积分的基本性质(5)设曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足则估值不等式

其中C是由光滑曲线C1,C2,…,Cn连接而成。11其中,是与两点之间弧段的长度.根据积分定义，令即得性质(5).事实上,12解积分路径的参数方程为例2

计算积分(n是整数),其中C是圆周:，方向为逆时针.13重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.14例

计算,其中C为从原点到点3+4i的直线段.15(1)从原点到1+i的直线段；(3)

抛物线y=x2上从原点到1+i的弧段；(2)从原点沿x轴到1,再从1到1+i的折线.y=x例

计算积分其中C为

相同的路径进行时积分值不同,

而积分值与路径无关。是否可以讨论积分与积分路径的关系?注意

从上两例看到,积分沿着三条不柯西定理

设f(z)是单连通区域D上的解析函数。(1)设C是D内任何一条简单闭合曲线，那么2几个引理这里沿C的积分是按反时针方向取的。(2)设C是D内连接及两点的任一条简单曲线，那么沿C

从

到

的积分值不依赖于曲线C；

此积分也可记作（3.1）18定理的这个证明的主要部分是柯西在1825年给出的。直接证明是比较困难的，在加上f(z)的导数在C上连续这个条件后，黎曼于1851年运用

格林公式给出了简明的证明过程。1900年古萨对定理进行了修改，并给出了正

式的证明。19引理2.1设f(z)是单连通区域D内的解析函数。设C是D内一个多角形的周界，那么证明：先对C是三角形周界的情形作出证明，然后证明一般情况。(1)

C为一三角形的周界△。设下面证明M=0。引理2.1

20等分给定三角形的每一边。两两连接这些分点。三角形被分成四个全等的三角形，于是不妨假设周界分别记为同样，将周界分成四个全等的三角形，其中一个周界满足把这种作法无限制地继续下去，于是我们得到具有周界的一个三角形序列，其中，并且22下面估计用U表示周界

的长度，于是周界

(n)的长度是由存在一点属于序列中所有的三角形。23因为在解析，设其导数为，所以使得当并且时，即由的取法知，因此，24因此，再由我们有(5)设曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足则25比较于是由的任意性知。26(2)

C为一多角形的周界P

。用对角线把以P为周界的多边形分成几个三角形由(1)知，于是27注1：设P是D中任一条闭合折线，其各段可能彼此相交，注2：用折线逼近曲线的方法可以证明柯西定理。本书中用另一种方法。28注设F(z)和G(z)都是f(z)在区域D上的原函数,则(常数).定义设f(z)是定义在区域D上的复变函数,若存在D上的解析函数使得在D内成立，则称是f(z)在区域D上的原函数.

引理2.2

或不定积分。凸区域：区域D称为凸区域，如果29那么它就有无穷多个原函数,一般表达式为根据以上讨论可知:证明设F(z)和G(z)都是f(z)在区域D上的根据第44页例3可知,为常数.原函数,于是如果F(z)是f(z)在区域D上的一个原函数，(其中

是任意复常数).30引理2.2

设是凸区域D内的解析函数，那么在D内有原函数。证明：取定。任取，那么连接此两点的线段必含在D内。令本引理中的积分都是沿连接积分上下限的线段取的于是是在D内确定的函数。实际上，是在D内的一个原函数。任取及,的三角形在D内。于是顶点是由引理2.1于是由于在连续，故使得于是可证明，又由从而存在，因此是在D内的原函数。引理2.3设是在区域D内的连续函数，并且在D内有原函数。如果,并且C是D内连接的一条曲线，那么注1：此定理是牛顿-莱布尼茨公式的推广。注2：上述积分值只与曲线的起点与终点有关，与路径无关。注3：此定理也适用于函数在D内解析的情形。引理2.2

设是凸区域D内的解析函数，那么在D内有原函数。证明：若曲线是光滑曲线。，那么因为,并且因为微积分基本定理对实变函数复数值函数显然成立，所以若曲线是分段光滑的，那么把积分分成几段计算，然后求和，结果仍然成立。35柯西定理的证明先证1：在C上任取一点，可以作出圆盘因圆盘是凸区域，由引理2.2，在内有原函数由

C是紧集，可以找到有限个圆盘覆盖C，把他们按逆时针方向依次排列为并且用表示，在各圆盘中原函数。3636取于是由引理2.3，有再由引理2.3，有因为构成D中一闭合折线，于是由引理2.1的说明知（3.1）成立。37下证2：分别内接的两条折线，及，使得

设C1是D内连接及两点的另一条简单曲线，

同(1)的证明，可在内作出连接及，并与及由引理2.1的说明知，有38柯西定理(1)的等价定理柯西定理

设f(z)是单连通区域D上的解析函数。(1)设C是D内任何一条简单闭合曲线，那么这里沿C的积分是按反时针方向取的。（3.1）定理3.1′设C一条简单闭合曲线，f(z)在以C为边界的有界闭区域上解析，那么这里沿C的积分是按反时针方向取的。39定理3.2设f(z)是在单连通区域D内的解析函数，那么f(z)在D内有原函数。证明：取定。任取。由定理3.1(2),于是是在D内确定的函数。取，使其与z充分接近，40于是由于在连续，故使得于是与引理2.2类似可证明从而存在，因此是在D内的原函数。41结合定理3.2与引理2.3，可见可用原函数求解析函数的积分。注:42例1:设D是不含

的一个单连通区域，并且，那么其中m是不等于1的整数。另外，设D

在复平面沿从

出发的任何射线割开而得的区域，则有其中，对数应理解为在D

内的一个解析分支在在及的值。其中积分曲线为简单曲线。43柯西定理在多连通区域上的推广44定理

(复合闭路定理)

设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以为边界的区域全含于D，如果f(z)在D内解析，那么这里C及Ck均取正向，Γ为由C及Ck（k=1,2,…,n）所组成的复合闭路（其方向是：C按逆时针进行，其余按顺时针进行）。45定理3.1′设C一条简单闭合曲线，f(z)在以C为边界的有界闭区域上解析，那么这里沿C的积分是按反时针方向取的。定理’

设有n+1条简单闭曲线C0，，它们互不包含也互不相交，设D是围成的多连通区域，D及其边界构成一个闭区域。设f(z)在上解析，那么其中C表示D的全部边界。46注1：以后写出沿区域边界的积分，除了特别说明，都是关于区域的正向取的。注2：以后写出沿简单闭曲线的积分，除了特别说明，都是按反时针方向取的。47==49复合闭路定理的证明5050多连通区域内的不定积分多连通区域内，是多值函数。设是包含z的一个单连通区域，取曲线如下：从沿一固定的简单曲线到内一点，然后从沿在内的任一简单曲线到z。沿这种曲线取积分所得的函数是内的单值解析函数。改变从到的曲线，得到不同的解析函数，它们是F(x)在内的不同解析分支。51例2:在圆环内，解析。在D内取定两点及。作连接此两点的两条曲线及。取定在的值为。当z沿C1从连续变动到时，z的幅角从连续变动到。于是当z沿C2从连续变动到时，z的幅角从连续变动到。52从而现求沿的积分。令，则同样求得这样，在含的一个单连通区域(在D内)内，相应于及，多值函数有两个不同的解析分支§3.2柯西公式534柯西公式5莫雷拉定理为边界的闭圆盘上解析。由于在曲线C

上54但I

的值不一定等于零。4柯西公式设f(z)在以圆

连续所以下述积分存在,作以为心，为半径的圆。55因为f(z)在z0连续,故上函数f(z)的值将随着r的减小而接近因此,随着r的减小,应该有而接近于定理

为边界的闭圆盘上解析。则设f(z)在以圆

定理4.1设D是以有限条简单闭曲线C(如图C为及组成)为边界的有界区域。上解析，那么在D内任一点z

,设在D及C所组成的闭区域Cauchy公式57证明57作以为心，为半径的圆。58积分值值与ρ

无关,所以由e的任意性,可知根据f(z)在z0连续,则

e>0,存在d>0,使得当

时证明设。显然，函数在满足的点处解析。以z为心作一包含在D

内的闭圆盘，设其半径为，边界为圆。在

上，挖去以为边界的圆盘，余下的点集是一闭区域。在上，以及解析，于是其中沿C的积分按关于D的正向取，沿的积分按反时针方向取。60高阶导数公式高阶导数公式定理4.2设D是以有限条简单闭曲线C(如图C为及组成)为边界的有界区域。设在D及C所组成的闭区域意阶导数，并且在D内任一点z

,上解析，那么在D内有任+61

可知所以应用证明首先考虑n=1的情形.