1.5有限集合的子集系

1.5有限集合的子集系如果是一个元有限集合，它的子集组成的集合叫作的一个子集系，其性质有：（1）元集合有个子集．（2）若是的子集，称与的补集组成一个互补子集组（无序），则个元素的集合有个互补子集组．（3）若中的元素满足，，则称为的一个分拆（划分）．这时中元素的个数之间满足加法原理．此处用表示集合的元素个数，与含义一样，以下同．（4）若中的元素满足，则称为的一个覆盖．这时中元素的个数满足容斥原理．．1．将已知集合分为子集系这常常是对中的子集提出一些要求，看对的分解能否进行（存在性），如何进行（构造性），有多少种方法进行（计数）等．例1设，若的子集两两的交集都不是空集，求的最大值．例2设是正整数，是从到的所有整数组成的集合，试问能否把分拆为两个子集，，使得？2．讨论子集的一些性质它是第一类问题的延续，按一定的要求作出的子集之后，本身会有一些性质，之间也会有一些性质，这又构成一类新的问题．例3求集合的所有子集的元素之和的和（规定的元素之和为0）．例4设，，都是的真子集，，，证明：或中必有两个不同数的和为完全平方数．例5设，，且具有下列两条性质：(1)对任何，恒有；(2)．试证明：中奇数的个数是4的倍数，且中所有数字的平方和为一个定数．3．由子集系的性质讨论全集的性质这与第一类问题方向相反，下例是一个很重要的结论．例6设，，若中每个元的交集不空，而个元的交集为空集，问：（1）至少是多少？（2）当最小时为多少？4．子集系的一些其他问题及应用例7对于集合或，中的任意两个元素和定义它们的距离为：，取的一个子集系，使中任意两个元素之间的距离都大于2，问：子集系中的子集最多含多少个元素？证明你的结论．例8．有11个人需要进入某一保险库，试问：应当怎样给库门加锁和分配钥匙，才能使得任何6个人的钥匙凑到一起就可以把门打开，而任何5个人的钥匙则不可能打开？例9．设是大于3的自然数，且具有下列性质：把集合任意分为两组，总有某个组，它含有三个数（允许），使得求满足条件的的最小值．例10．称的某些非空子集为奇子集，如果其中所有数的和为奇数，则共有多少个奇子集？

例11．已知集合，是正整数，是的子集，满足：对任意的可以相同都有.求所有这种集合的元素个数的最大值．赛题训练1．集合的某些子集满足条件：没有一个数是另一个数的2倍，这样的子集最多含有多少个元素？

2．设为的具有下列性质的子集，中任意两个不同元素之和不被7整除，则中元素最多可能有几个？

3．设集合,现对的任一非空子集,令表示中最大数与最小数之和，那么，所有这样的的算术平均值是多少？4．设S为集合的具有下列性质的子集，中任意两个不同元素之和不被7整除，求S的是大值．

5．设都是的子集，定义当且仅当，则满足的个数有多少？

6．已知集合和集合各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合的个数：（1）且中含有3个元素；

7．能否给出集合的一个划分，使得子集中各数之和组成一个公差为10的递增等差数列？

8．已知集合为的非空子集，且），求的最大值．

9．集合的所有子集中，有多少子集含偶数个元素？有多少子集含奇数个元素？

10．10个学生决定按下列方式组成运动队：每个人均可报名参加任何一个运动队，每个运动队均不能完全地包含或重合于另一运动队．在这些条件下，最多可以组成多少个运动队？

11．求证：集合可以分为117个互不相交的子集使得：（1）每个中含有17个元素

（2）每个中各元素之和相等．

12．西方其国家在某次竞选中，各个政党共作出种不同的诺言任何两党都至少有一种公共的诺言，但没有两党作出全部相同的诺言．试证：政党的数目不多于个．

13．设为的非空子集，用表示中所有元素的乘积，当历遍的所有非空子集时所得出的乘积之和记为，求的表达式．

14．11个歌唱演员参加联欢节，每天有一些演