新版高中数学北师大版必修5习题第一章数列检测

第一章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设首项为1,公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(A.Sn=2an1 B.Sn=3an2C.Sn=43an D.Sn=32an解析:Sn=a1(1-qn)1-答案:D2.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=()A.n(n+1) B.n(n1) C.n(n+1解析:∵a2,a4,a8成等比数列,∴a42=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1解得a1=2.∴Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n2n=n2+n=n(答案:A3.若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=1a1a2+1a2A.114n B.C.231-解析:an=2n1,设bn=1a则Tn=b1+b2+…+bn=12+12=12答案:C4.在正项等比数列{an}中,a3=29,S3=269,则数列{an}的通项公式为(A.34×23nC.2×13n-1 D.2答案:C5.某型号计算机的成本不断降低,若每隔两年该型号计算机价格降低13,现在的价格是8100元,则6年后,价格降低为(A.2200元 B.900元 C.2400元 D.3600元解析:6年后价格降低了3次,则价格降低为8100×1-133=2答案:C6.若数列{an}满足1an+1-1an=d(n∈N+,d为常数),则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列1bn为“调和数列”,且b1+b2+…+b9=90,A.10 B.100 C.200 D.400解析:因为正项数列1bn为“调和数列”,所以bn+1bn=d,即数列{bn}为等差数列,由等差数列的性质,得b1+b2+…+b9=9b5=90,所以b5=10,则b4+b6=2b5=20,所以b4b6=b4(20b4)=(b410)2+100,则当b4=10时,b4b6取得最大值答案:B7.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10,则a1和d的值分别为()A.32,3C.32,32 D.3解析:由a由两式得a1=9d代入①式中得9d-3d7d6-化简得d93d3+2=0,即(d31)(d6+d32)=0.∵d≠1,∴由d6+d32=0,得d=32,a1=d=3答案:D8.已知函数f(n)=n2cosnπ,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100=()A.100 B.0 C.100 D.10200解析:若n为偶数,则cosnπ=1,cos(n+1)π=1,所以an=f(n)+f(n+1)=n2(n+1)2=2n1.所以数列{an}的偶数项是首项为a2=5,公差为4的等差数列;若n为奇数,则cosnπ=1,cos(n+1)π=1,所以an=f(n)+f(n+1)=n2+(n+1)2=2n+1.所以数列{an}的奇数项是首项为a1=3,公差为4的等差数列.所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50×3+50×492×4+50×(5)+50×492答案:A9.已知a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等比数列,且公比q≠1,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等差数列,则q等于()A.1+52或C.-1+52 D.解析:由题意,知a1>0,q>0,且q≠1,若删去a1,则2a3=a2+a4,得2a1q2=a1q+a1q3,解得q=1(舍去);若删去a2,则2a3=a1+a4,得2a1q2=a1+a1q3,即(q1)(q2q1)=0,解得q=1+5若删去a3,则2a2=a1+a4,得2a1q=a1+a1q3,即(q1)(q2+q1)=0,解得q=-1+若删去a4,则2a2=a1+a3,得2a1q=a1+a1q2,解得q=1(舍去),综上可得q=1+5答案:A10.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量(单位:t)为f(n)=12n(n+1)(2n+1),但如果年产量超过150t,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()A.5年 B.6年 C.7年 D.8年解析:由已知可得第n年的产量an=f(n)f(n1)=3n2.当n=1时也适合.根据题意令an≥150,则n≥52,即数列从第8项开始超过150,即这条生产线最多生产7年.答案:C11.定义运算“*”,对任意a,b∈R,满足:①a*b=b*a;②a*0=a;③(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b).设数列{an}的通项公式为an=n*1n*0,则数列{an}为(A.等差数列 B.等比数列C.递增数列 D.递减数列解析:由题意知an=n*1n*0=0*n·1n+(n*0)+0*1n=1+n+因为函数y=x+1x在[1,+∞)上是增加的所以数列{an}为递增数列.答案:C12.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,若直线y=12a1x+m与圆(x2)2+y2=1的两个交点关于直线x+yd=0对称,则数列1Sn的前100项和等于A.100101 B.99100 C.9899解析:因为直线y=12a1x+m与圆(x2)2+y2=1的两个交点关于直线x+yd=0对称,所以直线x+yd=0经过圆心,且直线y=12a1x+m与直线x+yd=0垂直,所以2+0d=0,12a1=1,解得d=2,a1=2,则Sn=2n+n(n-1)2×2=n(n+1),1Sn=1n(n答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+26,c=526,则b=.

解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b2=(5+26)(526)=1.又b是正数,所以b=1.答案:114.将全体正整数排成一个三角形数阵:123456789101112131415………………根据以上排列规律,数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是.

解析:前n1行的正整数的个数为1+2+…+(n1)=n2-n2,因此第n行从左到右的第3个数是全体正整数中的第n2答案:n15.设数列{an}的通项公式为an=2n7(n∈N+),则|a1|+|a2|+…+|a15|=.

解析:由an=2n7≤0,得n≤72,即ai≤0(i=记Sn为数列{an}的前n项和,易得Sn=a1+a2+…+an=n26n.∴|a1|+|a2|+…+|a15|=a1a2a3+a4+a5+…+a15=2S3+S15=2×(9)+135=153.答案:15316.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=15,且对任意正整数m,n,都有am+n=aman,若Sn<t恒成立,则实数t的最小值为.解析:令m=1,则an+1an=a∴{an}是以15为首项,15∴an=15∴Sn=1=14∵Sn<t恒成立,∴t大于Sn的最大值,故t的最小值为14答案:1三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在等差数列{an}中,a3a7=16,a4+a6=0,求{an}的前n项和Sn.解:设{an}的公差为d,则(即a解得a故Sn=8n+n(n1)=n29n,或Sn=8nn(n1)=n2+9n.18.(12分)在等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…解:(1)设等差数列{an}的公差为d.由题意得a所以an=a1+(n1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)=2=(2112)+55=211+53=2101.19.(12分)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=92(1)求{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.解:(1)设{an}的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+3×22化简得a1+2d=2,a1+d=32解得a1=1,d=12故通项公式an=1+n-12,即an(2)由(1)得b1=1,b4=a15=15+12=8设{bn}的公比为q,则q3=b4b1=8,故{bn}的前n项和Tn=b1(1-q20.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明:an+12是等比数列,并求{a(2)证明:1a1+1a(1)解:由an+1=3an+1得an+1+12=3a又a1+12所以an+12是首项为32an+12=3n2,因此{an}的通项公式为an(2)证明:由(1)知1a因为当n≥1时,3n1≥2×3n1,所以13于是1a1+1a2+…+1an=32所以1a1+1a21.(12分)将数列{an}中所有的项排成如下数阵:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……记数阵中的第1列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},其中b1=a1=1,Sn为数列{bn}的前n项和,且满足2bnbnSn-Sn2=(1)证明:数列1Sn是等差数列,并求数列{bn}(2)上述数阵中,若从第3行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81=491时,求上述数阵中第k(k≥3)行所有项的和(1)证明:由已知,当n≥2时,2bn又bn=SnSn1,所以2(Sn-Sn所以1S又S1=b1=a1=1,所以数列1Sn是首项为1,公差为1所以1Sn=1+12(n1)=n+12,即所以当n≥2时,bn=SnSn1=2n+1-2n=2n(2)解:设数阵中从第3行起,每行的公比都为q,且q>0.因为1+2+…+12=12×132=78,所以数阵中第1行至第12行含有数列{an}中的前78项.所以a81在数阵中的第13行第3列,因此a81=b13q2=491,又b13=213×14=191,所以q=2(q=2舍去).记数阵中第k(k≥3)行所有项的和为22.(12分)设数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=an+12n+1+1,n∈N+,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1a1+1a(1)解:∵a1,a2+5,a3成等差数列,∴2(a2+5)=a1+a3.又2a1=2S1=a222+1,2(a1+a2)=2S2=a323+1,∴a2=2a1+3,a3=6a1+13.∴4a1+16=7a1+13,解得a1=1.(2)解:由题设条件知,当n