高二数学人教A版必修5学案1-2第1课时距离问题

1．2应用举例第1课时距离问题[目标]1.能够运用正、余弦定理的知识和方法求解距离问题；2.从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形)．[重点]在三角形中运用正、余弦定理求解距离问题．[难点]实际问题的理解与建模．知识点一距离问题[填一填]1．测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题．如图所示．这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决．2．测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题．如图所示．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题．[答一答]1．如果知道一个三角形的三个角，是否可以解出这个三角形？提示：不可以．要解一个三角形，至少知道这个三角形的一条边长．2．解与三角形有关的应用题的基本思路是什么？提示：知识点二基线[填一填]在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．[答一答]3．测量是否一定要选取基线？提示：测量一定要选取基线，因为无论应用正弦定理还是余弦定理解三角形时，至少应已知一边的长度．4．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(D)A．a，c，α B．b，c，αC．c，a，β D．b，α，γ类型一测量从一个可到达的点，到一个不可到达的点之间的距离[例1]为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B两点间的距离．[解]根据正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sin∠ABC)＝eq\f(8sin45°,sin180°－30°－45°)＝eq\f(4\r(2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝8(eq\r(3)－1)(m)．即A，B间的距离为8(eq\r(3)－1)m.eq\a\vs4\al(此类题目的求解策略：,1找基线如本题中AC.,2测基线长及视角如AC、∠BAC及∠BCA.,3用正弦定理求解两点间的距离AB的长.)[变式训练1]如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的宽度．解：在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝60°.由正弦定理可得AC＝eq\f(ABsin∠CBA,sin∠ACB).∴AC＝eq\f(120sin75°,sin60°)＝20(3eq\r(2)＋eq\r(6))．设C到AB的距离为CD，则CD＝ACsin∠CAB＝eq\f(\r(2),2)AC＝20(eq\r(3)＋3)．∴河的宽度为20(eq\r(3)＋3)米．类型二测量两个不可到达的点之间的距离[例2]在一次反恐作战战前准备中，为了弄清基地组织两个训练营地A和B之间的距离，盟军在两个相距为eq\f(\r(3),2)a的观测点C和D处，测得∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示．求基地组织的这两个训练营地之间的距离．[分析]可将AB放在△ABC中来求，为此应先求出AC和BC，再用余弦定理求AB.[解]∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝45°，∴eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，∴BC＝eq\f(\r(6),4)a.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝eq\f(3,4)a2＋eq\f(3,8)a2－2×eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(6),4)a×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)a2.∴AB＝eq\f(\r(6),4)a.即两个训练营地之间的距离为eq\f(\r(6),4)a.测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当.[变式训练2]如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距eq\r(3)km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°.∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.在△BCD中，由正弦定理，得BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km)．则在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠＝(eq\r(3))2＋(eq\f(\r(6)＋\r(2),2))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)cos75°＝5.∴AB＝eq\r(5)km.∴两目标A，B之间的距离为eq\r(5)km.类型三与方向角有关的距离问题[例3]某测量员做地面测量，如图，目标A与B相距3千米，从B处测得目标C在B的北偏西60°的方向上，从A处测得目标C在A的正北方向，他从A向C前进2千米到达D处时，发现B，D两处也相距2千米，试求A与C的距离．[分析]先在△ABD中由余弦定理求cosA，再用内角和定理和两角和正弦公式求sin∠ABC，最后在△ABC中用正弦定理求AC.[解]依题意得，AB＝3，AD＝2，BD＝2，∠ACB＝60°.在△ABD中，由余弦定理得cosA＝eq\f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＝eq\f(32＋22－22,2×3×2)＝eq\f(3,4).∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(7),4)，∴sin(A＋C)＝sin(A＋60°)＝sinAcos60°＋cosAsin60°＝eq\f(\r(7),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(7)＋3\r(3),8).∴sin∠ABC＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝eq\f(\r(7)＋3\r(3),8).在△ABC中，由正弦定理得：eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sinC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(3×\f(\r(7)＋3\r(3),8),sin60°)＝eq\f(9＋\r(21),4).答：A与C之间的距离为eq\f(9＋\r(21),4)千米．1.解答实际问题要注意认真审题，弄清题目条件.2.解三角形求边长时，只需求角的正弦值或余弦值即可，而无需求角的大小.因此，要注意将三角形内角和定理、诱导公式及两角和或差的正弦、余弦公式结合起来求值.[变式训练3]如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq\r(3)海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里每小时，该救援船到达D点至少需要1小时．解析：由题意知AB＝5(3＋eq\r(3))，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，所以∠ADB＝105°，所以sin105°＝sin45°cos60°＋sin60°cos45°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).在△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)所以BD＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·\f(\r(2),2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝eq\f(10\r(3)1＋\r(3),1＋\r(3))＝10eq\r(3).又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝20eq\r(3)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BCcos60°＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，所以CD＝30(海里)，则至少需要的时间t＝eq\f(30,30)＝1(小时)．1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B、C间的距离是(D)A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里解析：如图，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10，由正弦定理得eq\f(10,sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，∴BC＝5eq\r(6)(海里)，故选D.2．某人向正东方向走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好为eq\r(3)km，那么x的值为(C)A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3)D．3解析：由余弦定理可知x2＋32－6xcos30°＝(eq\r(3))2即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x＝eq\r(3)或2eq\r(3)，经检验x＝eq\r(3)及2eq\r(3)都符合题意．3．A，B两点间有一小山，先选定能直接到达点A，B的点C，并测得AC＝60m，BC＝160m，∠ACB＝60°，则A，B两点间的距离为140_m.解析：在△ABC中，由余弦定理得AB＝eq\r(602＋1602－2×60×160cos60°)＝140(m)．4．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是15eq\r(3)海里．5．如图所示，若小河两岸平行，为知道河对岸边两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°.试求C，D间的距离．解：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝60°＋90°＝150°，所以C＝180°－150°＝30°，∠ADB＝180°－75°－60°＝45°.△ABD中，由正弦定理得AD＝eq\f(AB·sin∠ABD