黑龙江省哈尔滨市阿城区2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）期中数学

试卷（五四学制）

考试注意事项：

1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以

任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答（作图可使用铅笔），不准用规定以外的笔

答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。

4,考试开始信号发出后,考生方可开始作答。

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1.如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.方程V=3x的解是（）

A.x=3B.七=0,》2=3

C.X|=0,X2=-3D.xi=l,汹=3

3.已知函数、=（m-3）乂心7是二次函数，则机的值为（）

A.-3B.±3C.3D.±77

4.。。的半径为5,同一平面内有一点P,且0尸=7,则P与。。的位置关系是（）

A.P在圆内B.尸在圆上C.P在圆外D.无法确定

5.已知y=2%2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单

位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）

A.y=2（x-2）2+2B.y=2（x+2）2-2

C.y=2（x-2）2-2D.y=2（x+2）2+2

6.如图，A、B、C在。。上，NOA8=22.5°,则NACB的度数是（）

A.11.5°B.112.5°C.122.5°D.135°

7.设A(-2,力)，8(1,”)C（2,力）是抛物线>=-（x+1）2+2上的三点，则yi，

>2，73的大小关系为（）

A.B.>'1>73>}?2C.)'3>)'2>为D.>3>月>)'2

8.如图，以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点.若大圆

半径为2,小圆半径为1,则A8的长为（）

C.娓D.2

9.Q0的半径为5cm,弦AB//CD,且AB=^cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为（）

A.1cmB.1cmC.3cm4cmD.1cm或

10.如图，二次函数y=or2+〃x+c（QWO）的图象与龙轴交于点A、8两点，与y轴交于点C,

对称轴为直线x=-1,点8的坐标为（1,0）,则下列结论：①A5=4；@b2-4ac>0；

③ab<0；@a2-ab-^ac<0,其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.已知关于尢的方程N+3x+&2=0的一个根是-1,则攵=

12.在直角坐标系中，点A(1,-2)关于原点对称的点的坐标是.

13.如图：P是。0的直径8A延长线上一点，交。。于点C,且PC=O£>,如果/P=

24°,则.

14.如果二次函数y=N-8x+〃?-1的顶点在x轴上，那么〃2=.

15.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不

计)，圆锥底面圆的直径是60c”，则这块扇形铁皮的半径是cm.

16.一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为居可列方

程.

17.如图，已知。尸的半径为2,圆心P在抛物线)，=/乂2-1上运动，当。尸与x轴相切

时，圆心P的坐标为.

18.如图，已知直线>=邑-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C(0,1)为

4

圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA,PB.则△处〃面积的最大值与最小值的差

为

三、解答题(19〜24题每题6分，25〜27题每题10分，共66分)

19.(6分)解方程：

(1)x2-8x-9=0；

(2)x2-x-1=0.

20.(6分)如图，ZVIBC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).

(1)请回出△ABC关于原点对称的；

(2)请画出△ABC绕点5逆时针旋转90。后的△A2&Q,并写出上的坐标.

21.(6分)如图，已知二次函数ynr-Zr-B的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点

C.

(1)将y=N-2尤-3化成y—a(x-h)2+/?的形式；

(2)求点A、B、。的坐标；

(3)观察图象直接写出不等式9-益-？〉。的解集.

%

22.（6分）如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东

60°方向，1小时后渔船航行到8处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C上有一

部信号发射塔，方圆20海里内的船只能够收到它发射的信号.

（1）求8处离岛C的距离；

（2）求该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间.

小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周

角相等.如图1,点A,B,C,。均为。。上的点，则有/C=/O.小明还发现，若点

E在0。外，且与点。在直线A8同侧，则有乙

请你参考小明得出的结论，解答下列问题：

问题：如图2,在平面直角坐标系X。），中，点A的坐标为（0,10），点B的坐标为（0,

4）,点C的坐标为（2,0）.

（1）在图2中作出aABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），并求出此圆与

X轴的另一个交点的坐标；

(2)点尸为x轴正半轴上的一个动点，连接AP、BP,当N4PB达到最大时，直接写出

此时点P的坐标.

24.(6分)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角

三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置，现将RtZ\AEF绕A点按逆时针方向旋转

角a(0°<a<90"),如图(2),AE与8c交于点M,AC与EF交于点N,BC与

EF交于点P.

(1)求证：AM=AN,

(2)当旋转角a=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.

25.如图，在足够大的空地上有一段长为。米的旧墙某人利用旧墙和木栏围成一个矩

形菜园ABC。，其中AOWMN,已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏.

(1)若“=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；

(2)求矩形菜园ABC。面积的最大值.

'L////////，/，.，\

AD

BC

26.如图，在aABC中，点O是AC的中点，以。为圆心，OA为半径作O。，交BC于点

D,交A8于点E,弧ED与弧DC相等，点F在线段8E上，ZBAC=2ZBDF.

(1)求证：AB=AC；

(2)判断。尸与。。的位置关系，并加以证明；

(3)若。。的半径为5,EB+DF^AO,求BQ的长.

c

\/0h

~/EFB

27.如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y=-3+相，与x轴、y轴分别

4

交于点以点A,抛物线>=以2+云+1经过点A,与直线AB交于点。，点C的横坐标为

4,抛物线的对称轴为x=g.

(1)求抛物线的解析式；

(2)动点P在直线4c上方的抛物线上，点P的横坐标为f,过点P作x轴的平行线交

4c于点M,过点P作y轴的平行线交4c于点M当AM=BN时，求f值；

(3)点。是坐标平面内一点，将△AOB绕点Q沿逆时针方向旋转90°后，得到△40|8|,

点4、0、B的对应点分别是点Ai、01、By.若△401B］的两个顶点恰好落在抛物线上,

请直接写出此时点4的横坐标.

备图

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）期中数学

试卷（五四学制）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1.如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

，・业

解：A.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故A不符合题意；

B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故3符合题意；

C该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；

。.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故。不符合题意.

故选：B.

2.方程N=3x的解是（）

A.x=3B.%i=0,工2=3

C.X]=0,X2=-3D.xj=l,X2=3

解：X2=3X,

x1-3x=0,

x（x-3）=0,

x=0,x-3=0,

x।=0,X2=3,

故选：B.

3.已知函数》=（次-3）X〃2-7是二次函数，则相的值为（）

A.-3B.±3C.3D.+^7

解：,函数y=（W-3）炉碓-7是二次函数,

.jm-3产。

"lm2-7=2，

解得：m--3.

故选：A.

4.。。的半径为5,同一平面内有一点P,且0P=7,则P与。。的位置关系是()

A.尸在圆内B.尸在圆上C.P在圆外D.无法确定

解：；OP=7>5,

二点P与。。的位置关系是点在圆外.

故选：C.

5.已知y=*的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单

位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是()

A.y=2(x-2)2+2B,y=2(x+2)2-2

C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2+2

解：先将无轴、y轴的平移转化为抛物线的平移，即可看作把抛物线沿x轴方向向左平移

2个单位长度，沿y轴方向向下平移2个单位长度，原抛物线的顶点为(0,0),向左平

移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为(-2,-2).可设新抛物

线的解析式为y=2(x-h)2+匕代入得：y=2(x+2)2-2.

故选：B.

6.如图，4、B、C在。。上，/CMB=22.5°,则/AC8的度数是()

A.11.5°B.112.5°C.122.5°D.135°

解：-：OA=OB,

...NOAB=NO8A=22.5°,

AZAOB=]35°,

在优弧AB上任取点E,连接AE、BE,

则N4EB=^N4O3=67.5°,

2

又；NAEB+/AC8=180°，

：.ZACB=\\2.5°,

故选：B.

E

7.设A(-2,%),B(1,m)，C(2,为)是抛物线丫=-(x+1)?+2上的三点，则力，

丫2，丫3的大小关系为()

A.>1>先>”B.乃>为>先C.>3>)'2>力D.为>以>丫2

解：

VA(-2,%),B(1,九)，C(2,为)是抛物线丫=-(x+1)2+2上的三点，

：.y1=-(-2+1)2+2=1,>2=-(1+1)2+2=-2,乃=-(2+1)2+2=-7,

Vl>-2>-7,

・•♦)'1>丫2>>3，

故选：A.

8.如图，以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点.若大圆

半径为2,小圆半径为1,则A8的长为()

解：如图：连接。P,A0

B

是OO切线

J.OPLAB,

：.AP^PB^—AB

2

在RtzXAP。中，^=VAO2-OP2=V3

；.4B=2料

故选：A.

9.QO的半径为5cm,弦AB//CD,且AB=ScmfCD=6cm9则AB与CD之间的距离为（

A.1cmB.7cmC.3CT?I或4CMD.Ic，%或7。%

解：①当弦4和。。在圆心同侧时，如图①，

过点。作。FJ_CQ,垂足为R交AB于点E,连接OA,OC,

VAB/7CD,

・・・OE_LAB,

\*AB=8cm,CD—6cm,

AE=4cm,CF=3cm,

**OA=OC=5cm,

EO=3cm,OF=4cm,

：.EF=OF-OE=\cm；

②当弦A和。。在圆心异侧时，如图②，

过点。作OEL45于点E,反向延长OE交A。于点F,连接OA,OC

U：AB//CD,

：.OFA.CD,

AB=8cm,CD=6cm,

.\AE=4cmfCF=3cm,

,：OA=OC=5cmf

EO=3cm,OF=4cm,

/.EF=OF+OE=lcm.

故选：D.

图①

10.如图，二次函数y=or2+bx+c(aNO)的图象与X轴交于点A、8两点，与y轴交于点C,

对称轴为直线工=-1,点8的坐标为(1,0),则下列结论：①A8=4；②从

2

③abVO；@a-ab+ac<Ot其中正确的结论有()

A・1个B,2个C.3个D.4个

解：•・•抛物线的对称轴为直线x=-1,点8的坐标为(1,0),

・・・A(-3,0),

：.AB=\-(-3)=4,所以①正确；

•・,抛物线与x轴有2个交点，

△=b2-4ac>0,所以②正确；

・・,抛物线开口向下，

：.a>09

抛物线的对称轴为直线》=-£=-1,

2a

：.b=2a>0,

：.ab>Q,所以③错误;

Vx=-1时，y<0,

.\a-b+c<09

而a>0,

:.a（a-b+c）<0,所以④正确.

故选：C.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.已知关于X的方程/+3X+N=0的一个根是-1,则k=士、万.

解：把x=-1代入方程7+3万+%2=0可得1-3+3=0,解得庐=2,.•.忆=±，万.

故本题答案为&=±&.

12.在直角坐标系中，点A（1,-2）关于原点对称的点的坐标是（-1,2）.

解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，

二点（1,-2）关于原点过对称的点的坐标是（-1,2）.

故答案为：（7,2）.

13.如图：P是的直径BA延长线上一点，尸。交。。于点C,且PC=O。，如果NP=

24°,则72°.

D

"：PC=OD,

而OC=OD,

:.PC=CO,

AZ1=ZP=24°,

AZ2=2ZP=48°,

而OD=OC,

・・・NO=N2=48°,

:・/DOB=/P+/D=T2°.

故答案为720.

D

14.如果二次函数)，=？-8x+〃z-1的顶点在x轴上，那么m=17.

解：♦.•二次函数》=大2-Sx+m-1的顶点在x轴上，

...4ac-b2=4(m-l)-(-8)2=o,即4w-68=0,

4a4

.".ni—17.

故答案为：17.

15.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不

计)，圆锥底面圆的直径是60c%,则这块扇形铁皮的半径是405?.

解：•圆锥的底面直径为60c/n,

圆锥的底面周长为60-nc/n,

，扇形的弧长为60,irc/n,

设扇形的半径为r,

则270兀r=6(斤,

180

解得：r—40cm,

故答案为40.

16.一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,可列方

程25(1->)2=16.

解：设两次降价的百分率都为先根据题意，得

25(1-%)2=16.

故答案为:25(1-%)2=16.

17.如图，已知OP的半径为2,圆心P在抛物线y=/x2-1上运动，当。尸与x轴相切

时，圆心P的坐标为_瓜,2),(-、乐，2).

解：当OP与X轴相切时.，尸点纵坐标为±2；

当y=2时，^x2-1=2,

解得x=土泥；

当尸-2时，奈-1=-2,

X无解；

故P点坐标为(娓,2)或(-&，2).

18.如图，已知直线y=gx-3与x轴、y轴分别交于A、8两点，点尸是以C(0,1)为

4

圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA,PB.则△PAB面积的最大值与最小值的差为

解：；直线尸gx-3与x轴、)，轴分别交于A、B两点,

4

・・・A(4,0),B(0,-3),

・・・OA=4,OB=3,

由勾股定理可得，48=加2皿2=3+32=5,

过点C作CM_LAB于点连接AC,

则由等面积法可得，^-AB-CM=^-BC*OA,

22

；.5XCM=4X(3+1),

,・.CM=-1-6-,

5

.•.圆C上的点到直线），=gx-3的最大距离为学+1="，最小距离为孕-1=圣，

45555

...△E48面积的最大值为£x5X等=丝，△PAB面积的最小值为［•X5X^=卒,

面积的最大值与最小值之差为：段-普=5,

22

三、解答题(19〜24题每题6分，25〜27题每题10分，共66分)

19.(6分)解方程：

(1)N-8元-9=0；

(2)/-X-i=o.

W：(1)x2-8x-9=0,

(x-9)(x+1)=0,

.\x-9=0或x+1=0,

.•.修=9,X2=-1；

(2)x2-x-1=0,

这里。=1,b=-1,c=-1,

/.△=b2-4qc=l+5=5>0,

.rl±V5l±V5

2X12

.r_1W51-V5

2x22

20.(6分)如图，ZVIBC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).

（1）请画出AABC关于原点对称的△AiBiG；

（2）请画出aABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2&C2，并写出A2的坐标.

(2)如图，AAzB2c2即为所求，乙的坐标(-2,2).

-2%-3的图象与x轴交于点4、B,与y轴交于点

C.

(1)将y—x2-2x-3化成y—a(x-h)2+h的形式；

(2)求点A、B、C的坐标；

(3)观察图象直接写出不等式『-2x-3>0的解集.

=（X-1）2-4,

即y—(x-1)2-4；

(2)令x=0,则y=-3,即该抛物线与y轴的交点C坐标是(0,-3),

令y=0,则X2-2X-3=0,

(x-3)(x+1)=0,

解得知=-1,M=3,

所以该抛物线与x轴的交点坐标是A(-1,0)、B(3,0).

(3)由抛物线y=N-2r-3开口向上，与x轴的交点坐标是4(-1,0)、B(3,0)

可知，

当x<-l或x>3时，y>0,

，不等式W-2x-3>0的解集为-1或x>3.

22.(6分)如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在4处测得岛C在北偏东

60°方向，1小时后渔船航行到8处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C上有一

部信号发射塔，方圆20海里内的船只能够收到它发射的信号.

(1)求8处离岛C的距离；

(2)求该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间.

C

解：(1)过C作COJ_AB于。，则C。为渔船向东航行到C道最短距离，

•.•在A处测得岛C在北偏东的60°,

：.ZCAB=3QQ,

又处测得岛C在北偏东30°,

.,.ZCBO=60°,ZABC=l20°,

AZACB=ZCAB=30a,

；.A8=BC=12X1=12(海里)(等边对等角)；

(2)以点C为圆心，20海里为半径作圆，与直线48交点E、F,连接CE,

根据垂径定理得：EF—2EO,

在Rtz^BCO中，NCBO=60°,NCOB=90°,BC=12海里，30=6海里,

根据勾股定理得：co=VBC2-BO2~（海里），

在Rt^ECO中，CE=20海里,C0=6百海里，

根据勾股定理得：EO=y/CE2_C02=2^（海里），

：.EF=2EO=4^73（海里），

该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间为4/+12=运（时）.

3

23.（6分）先阅读材料，再解答问题：

小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周

角相等.如图1,点A,B,C,。均为。0上的点，则有/C=NQ.小明还发现，若点

E在。0外，且与点。在直线A8同侧，则有乙0>/£

图1图2

请你参考小明得出的结论，解答下列问题：

问题：如图2,在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0,10），点B的坐标为（0,

4）,点C的坐标为（2,0）.

（1）在图2中作出aABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），并求出此圆与

X轴的另一个交点的坐标；

（2）点尸为x轴正半轴上的一个动点，连接AP、BP,当NAP8达到最大时，直接写出

此时点尸的坐标.

解：（1）如图，作AB的垂直平分线，再作BC的垂直平分线，两线相交于点G,以点

G为圆心，的长为半径作圆，则G为所作的△ABC的外接圆；

\.

K

_H_7X

过圆心G作G〃，OC垂足为〃，连接GB、GC,

・；GN_LAB,G”_LAC,AOLOC,

・・・四边形GHON为矩形,

：・OH=GN,GN=OH.

丁点A的坐标为(0,10),点8的坐标为(0,4),

・・・QA=10,。8=4,

：.AB=6.

■:GNLAB,

:,BN=AN=3,

：.ON=BN+OB=7,

：.GH=ON=1,

•：GB2^BN2+GN2,GC2=CH2+GH2,GB=GC,

：.Bl^+GN2=Clf+GH2,

•.•点C的坐标为(2,0),

OC=2.

设CH长为x,则GN=OH=x+2,

.\32+(x+2)2=9+72,

，x=9,

・.CH=9,

♦：GHA_CK,

：.CH=HK=—CK

2

，CK=18,

；.OK=OC+CK=20,

：.K(20,0),

此圆与x轴的另一个交点的坐标为(20,0)；

(2)作。。经过4B两点，与x轴相切于点。，如图,

•••点尸为x轴正半轴上的一个动点，

由阅读材料可得：ZAPB^ZAQB,点尸在切点时取等号,

当点P与点。重合时，/APB达到最大.

:点A的坐标为(0,10),点8的坐标为(0,4),

，。4=10,。8=4,

：.AB=f>.

连接力Q,DA,过点。作OELA8于点E,则AE=BE=3,

：.OE=1.

*/与x轴相切，

：.DQ±OP.

'：DErAB,AB±OP,

二四边形QQOE为矩形，

:.DQ=OE=7,OQ=DE.

：.DA=1,

•>-D£=VDA2-AE2=V72-32=2^10,

。。=2310.

•••p(2Vio,o).

...当/APB达到最大时，点P的坐标为(2痂，0).

24.(6分)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角

三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置，现将RtaAE尸绕A点按逆时针方向旋转

角a(0°<a<90°),如图(2),AE与BC交于点M,AC与EF交于点、N,BC与

EF交于点P.

(1)求证：AM=AN；

(2)当旋转角。=30°时，四边形A8P厂是什么样的特殊四边形？并说明理由.

【解答】(1)证明：•・•用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AbE按如图

(1)所示位置放置放置，现将RtZXAE/绕A点按逆时针方向旋转角a(00<a<90°),

:.AB=AF9/BAM=NFAN,

在△A3M和△ARV中，

<ZBAM=ZFAN

<AB=AF，

ZB=ZF

:.(ASA),

：.AM=AN；

(2)解：当旋转角a=30°时，四边形A8P尸是菱形.

理由：连接AP,

VZa=30°,

：.ZFAN=30°,

：.ZFAB=}20o,

VZB=60°,

・・・NB+NTA3=180°，

J.AF//BP,

AZF=ZFPC=60°,

AZFPC=ZB=60°,

：.AB//FP,

四边形ABPF是平行四边形,

'：AB=AF,

,平行四边形48P尸是菱形.

25.如图，在足够大的空地上有一段长为。米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩

形菜园A8C£>,其中AOWMN,已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏.

(1)若。=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙4。的长；

(2)求矩形菜园A8C。面积的最大值.

//，/，，//

AD

BC

解：(1)设AB="小贝l」8C=(100-2f)m,

根据题意得r(100-2f)=450,解得白=5,々=45,

当，=5时，100-2/=90>20,不合题意舍去：

当f=45时，100-2/=10,

答：AD的长为10m；

(2)设AO=;i7M,矩形菜园A8CD面积为5,

S=—x(100-x)=-—(x-50)2+1250,

22

当a250时，则尤=50时，S的最大值为1250；

当0<。<50时，则当OVxW。时，S随x的增大而增大，当工=〃时，S的最大值为50a

综上所述，当a250时，矩形菜园ABC。面积的最大值为1250序；当0＜。＜50时，矩

形菜园48CD面积的最大值为(50a--^a2)m2.

26.如图，在△ABC中，点。是AC的中点，以。为圆心，0A为半径作。。，交BC于点

D,交AB于点E,弧EQ与弧0c相等，点尸在线段BE上，NBAC=2NBDF.

(1)求证：AB=ACt

(2)判断。F与的位置关系，并加以证明；

(3)若的半径为5,EB+DF=AO,求8。的长.

.•.NAOC=408=90°,

ZACD+ZDAC=90°=ZABD+ZDAB,

VED=CD-

：.ZDAC=ZDAB,

：.ZACD^ZABD,

：.AB=AC；

(2)解：OF是OO的切线；证明如下:

连接AD,OD,如图：

：

.ZBAC=2ZDACf

•：NBAC=2NBDF,

:・/DAC=/BDF,

9

：0A=0Df

：.ZDAC=ZODA,

・・・NODA=NBDF,

VZADB=90°,即,

：.ZODA+ZADF=90°,即NO。尸=90°,

:.OD1,DF,

•・・。。是G)O的半径，

・・・0尸是0。的切线；

(3)解：连接A。，DE,如图：

c

由（1）（）知，。尸是。的切线，

20AB=ACf

・・・/04/=/七。尸（弦切角定理），

VZADC=90°,AB=AC,

:・BD=CD,

7CD=ED-

:.CD=ED,

:.BD=ED,

'：ZBDF=—ZBAC=ND4F,

2

・・・NBDF=/EDF,

：.BF=EF,NDFB=NDFE=90°,

设BF=DF=x,DF=y,则Ab=A8-8/=10-x,

■:BE+DF=OA=5,

.•.2x+y=5,

.\y=5-2xf

•：/EDF=NDAF,NEFD=NDFA,

:.△EDFs/\DAF,

.\y1=x*(10-x),

把y=5-2x代入得：(5-2x)2=x9(10-x),

解得x=l或x=5(此时y为负，舍去)，

/.BF=1,DF=y=5-2x=3,

BD=VBF2+DF2=Vl2+32=；

的长为百5.

27.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的解析式为y=-m+m，与x轴、y轴分别

交于点8、点A，抛物线丫=以2+法+1经过点A,与直线A8交于点C,点C的横坐标为

4,抛物线的对称轴为x=?.

(1)求抛物线的解析式；

(2)动点P在直线AC上方的抛物线上，点尸的横坐标为3过点尸作x轴的平行线交

AC于点M