相似三角形与函数的综合-中考数学复习题练习（教师版）

专题22相似三角形与函数的综合(解析版)

第一部分反刃弱析

类型一求线段的长

I.(2022•淮安)如图(1),二次函数y=-7+6χ+c的图象与X轴交于人B两点,与y轴交于C点，点8

的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),直线/经过8、C两点.

(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；

(2)点P为直线/上的一点，过点P作X轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M,再过点M作y轴

的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N,当尸M=mWN时，求点P的横坐标；

(3)如图(2),点C关于X轴的对称点为点£>,点P为线段BC上的一个动点，连接4P,点Q为线段

A尸上一点，且4Q=3PQ,连接。。，当3AP+4OQ的值最小时，直接写出OQ的长.

思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)设P(f,T+3),则MG,-t2+2t+3),N(2-f,-t2+2t+3),则PM=IP-3∏,W=|2-2t∖,由

题意可得方程”-3f|=；|2-2r|,求解方程即可；

(3)由题意可知。点在平行于BC的线段上，设此线段与X轴的交点为G,由QG〃BC,求出点G(2,

0),作A点关于GQ的对称点4,连接40与AP交于点Q,则3AP+4OQ=4(OQ+%P)=4CDQ+AQ)

>4A'D,利用对称性和∕O8C=45°,求出A(2,3),求出直线Dv的解析式和直线QG的解析式，联

立方程组［厂二+：,可求点Q(p-),再求DQ=手.

U=DX—ɔ44/

解：(1)将点8(3,O),C(0,3)代入y=-/+⅛r+c,

,9+3b+c=0

•∙Ic=3

解得忆；,

∙'∙y=-/+2x+3,

Vy=-X2+2X+3=-(ɪ-1)2+4,

J顶点坐标(1,4)；

(2)设直线BC的解析式为y=丘+6,

.(3k÷6=0

F=3'

解得kU

∙'∙y=^x+3>

设P"-什3),则例(f,-P+2f+3),N(27,-t2+2t+3),

.∖PM=∖t2-3t∖,MN=∖2-2t∖,

1

<PM=^MN,

.,.∣r2-3Z∣=||2-2d，

解得f=l+√Σ或或f=2+√5或r=2-√3,

：.P点横坐标为1+√Σ或1-√Σ或2+次或2-√3;

(3)VC(0,3),。点与C点关于X轴对称，

：.D(0,-3),

令y=0,则-X2+2X+3=0,

解得X=-1或x=3,

・"(-1,0),

.∙.A8=4,

∙∙∙AQ=3PQ,

・•・Q点在平行于BC的线段上，设此线段与“轴的交点为G,

：•QG//BC,

.AQAG

•∙,

APBA

,3AG

.♦——,

44

.∙.AG=3,

：.G(2,O),

•：OB=O3

.∙.NOBC=45°,

作4点关于G。的对称点H,连接WD与A尸交于点。,

-AQ=A'Qf

：.AQ+DQ=A'Q+DQ^A'D,

.∖3AP+4DQ=4(Dβ+ξΛP)=4(Dβ+Λβ)≥4A,D,

e：ZQGA=ZCBO=45o,Λ4'1βG,

ΛZA,AG=45o,

YAG=AG

ΛZAA1G=45°,

ZAGA,=90o,

ΛA,(2,3),

设直线DV的解析式为y=kx+bf

.fZ?=—3

βel2∕c÷6=3,

解得仁、

•∙y=3x-3,

同理可求直线QG的解析式为y=-χ+2,

联立方程组

5

X--

4

解得

3

y--

4

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离

的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键.

典例2（2021春•海州区校级期中）如图1,矩形ABCZ）中，动点尸在Ao边上由点A向终点。运动，设

AP=x,△/¾8的面积为y,整个平移过程中若y与X存在函数关系如图2所示，点A关于BP的对称点

为。，连接BQ、PQ.

(1)直接写出Ao的长是,AB的长是

(2)当点。落在矩形ABC。的对角线上时，求X的值.

A

B

图1

思路引领：（1）根据图象可知X的最大值即为AO的长度，此时的面积为6,由面积即可求出AB；

（2）分点Q在对角线AC和对角线8。两种情况讨论，利用勾股定理即可得出答案.

解：（1）由图象可知X的最大值为4,

ΛAD=4,

当AO=4时,

y的值为6,

1

.∙.-xABX4=6,

2

解得A：8=3,

故答案为:4,3；

（2）如图，若点。在对角线AC上，BP交AQ于点H,

3

ΛPH=∣Λ,

AH=1

93

由勾股定理得：/=（-）2+（-X）2

解得X=I

zT

当。在对角线2。上时，如图，

解得A-

93

Ax的值为一或一.

42

总结提升：本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要能根据图象得出48和的长度，要考虑点Q

在AC上和BD上两种情况讨论.

类型二求字母的值

典例3（2021•苏州）如图，二次函数y=/-（相+1）X+∕H（，〃是实数，且-1＜根＜0）的图象与X轴交于A、

B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与X轴交于点C.已知点。位于第一象限，且在对称轴上，OD

LBD,点E在X轴的正半轴上，OC=EC,连接E。并延长交y轴于点F,连接AE.

(1)求A、B、C三点的坐标(用数字或含机的式子表示)；

(2)已知点。在抛物线的对称轴上，当aAFQ的周长的最小值等于蓝时，求〃?的值.

备用图

思路引领：(1)令y=x2-Ctn+∖)x+∕n=O,解得x=1或相，故点A、8的坐标分别为(相，0)、(1,0),

则点C的横坐标为](机+1),即可求解；

(2)由IanZDBC=IanZODC,即CD2=CO∙BC=∣(,”+1)∙J(1-机)=⅛⅛在RtZXAOF中，AF2

LL4

=AC>2+O产=序+1-加2=1；点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接FB交对称轴于点Q,则点Q

为所求点，进而求解.

解：(1)令y=，-(/M+1)x+m=0,解得X=I或切，

故点A、B的坐标分别为(/M,0)、(1,0),

则点C的横坐标为((〃[+1),即点C的坐标为(等，0)；

(2)由点C的坐标知，CO=ɪ=CE,

故8C=08-CO=I-2(ZM+1)

VZBDC+ZDBC=90o,NBQC+NoOC=90°,

：.NDBC=NODC,

.ManZDBC=IanZODC,即CN=Co∙BC=Cm+})ɪ(1-m)=

士LZ4

∙.∙点C是OE中点，则CZ)为三角形EoF的中位线，

则尸O2=(2CD)2=4CD2=1-∕n2,

在Rt∆AOF中，AF2=AO2+OF2=m2+∖-ιrr=∖,

Y点8是点A关于函数对称轴的对称点，连接FB交对称轴于点Q,则点Q为所求点,

理由：XAFQ的周长=AF+FQ+A0=l+QF+8Q=l+BF为最小，

即HBF=等12，

则BF2=OF2+OB2=I-m2+1=(--1)2,解得m=±|,

V-l<∕n<0,

故m=—

总结提升：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结

合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

类型三求比值或比值的最值

典例4(2022•宿迁)如图，二次函数y=∣x2+fer+c与X轴交于O(0,0),A(4,0)两点，顶点为C,连

接OC、AC,若点8是线段OA上一动点，连接BC,将AABC沿BC折叠后，点A落在点A'的位置,

线段A'C与X轴交于点。，且点。与0、A点不重合.

(1)求二次函数的表达式；

(2)①求证：XOCDs"A'BD;

②求弃的最小值；

(3)当S408=8SMBD时，求直线A'B与二次函数的交点横坐标.

备用图

思路引领：(1)利用交点式可得二次函数的解析式；

(2)①根据两角相等可证明两三角形相似；

„OCCDBDCDBDCD

②根据aθCQsZ√BD,得「=—,则/=二，即丁的最小值就是次的最小值，OC为定值，

vArBBDABOCABOC

DB√2

所以当CD最小为2时，有最小值是~ζ^;

(3)解法一：根据面积的关系可得：XOCDsABD时，相似比为2√Σ1,可得4B=4B=1,作

辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得HG和BG的长，最后再证明aA'GBSZ∖QOB,可得OQ

的长，利用待定系数法可得A'B的解析式，最后联立方程可得结论.

解法二：设BD=t,根据0B=3列方程可得t的值，计算AQ,AM的长，表示点M的坐标，计算BM

的解析式，列方程可得结论.

(1)解：：二次函数y=⅛r2+hr+c与X轴交于。(O,0),A(4,0)两点,

JL

・，♦二次函数的解析式为：y=ɪ(X-O)(X-4)=⅛x2-2x；

,22

额

由翻折得：ZOAC=ZA',

由对称得：OC=AC9

：.ZΛOC=ZOAC,

ΛZCOA=ZAr,

*.∙NA'DB=NODC,

：.XOCDSXzBD;

②解：YXOCDSXNBD,

.££_CD

ttAfB~BD,

ΛCAB=AB,

.BDCD

•∙—,

ABOC

BDCD

・・・布的最小值就是痛的最小值,

y=^2x=2(x-2)2-2,

：.C(2,-2),

ΛOC=2√2,

BD

・・・当CQ_LOA时，CO最小，一的值最小,

AB

BD_,2√2

当Co=2时，77的最小值为丁k=T;

AB2√22

(3)解法一：YSAOCD=8SMBD,

∙*∙S^OCD-SΔA,BO=8,

•：IXOCDsBD,

SAOCDOCʌ

Λ=(—)2=8,

S44BDArB

OCr-

-----=2Λ∕2,

A∣B

VOC=2√2,

AA1B=AB=I,

.∖BF=2-1=1,

如图2,连接AÆ,过点A作4G_LoA于G,延长CB交4V于”，设抛物线的对称轴与x轴交于点尸,

•：NAHB=NBFC=90°,ZABH=ZCBDf

ΛNBCF=NBAH,

f

IanZBCF=VanZGAAf

.BFAtG1

*∙CF-AG~2

设4G=a,则AG=2a,BG=2a-1,

在RtZ∖AG3中，由勾股定理得：BG2+A,G2=AB2,

.∖a2+C2a-1)2=12,

4

Λα∣=O(舍),。2=耳，

：.BG=Ia-1=∣-1=∣,

uJA'G∕∕OQ,

：.Z∖WGBsZ∖QO8,

43

.”_些

••—,RBlJ∏J-—-1,

OQOBOQ3

∙∙.OQ=4,

：.Q(0,4),

设直线AB的解析式为：y=kx+m,

.(m=4

,βl3∕c+m=0,

解得：卜=一2

(Tn=4

直线A'B的解析式为：>■=-3+4,

・412

；・-W<+4=尹--2x,

3x2-4X-24=0,

解得：X=2±薪,

2+2√19

・・.直线A'8与二次函数的交点横坐标是二

OCCDODL

/.—=—=—=2√2,

AfBBDArD

VOC=2√2,

.'.AtB=AB=I,

设3Z)=f,W∣JCD=2√2r,

ΛA,D=2√2-2√2∕,OD=2√2A,D=8-8f,

YOB=00+80=4-1=3,

Λ8-8r+r=3,

-一5

•∙I—7,

.∙.A7)=2√Σ-i^=华，

Λ1

JA'B=AB1ZA=ZOACfNA'BD=NABN,

ΛCASA）,

：.AM=AD=挈

是等腰直角三角形，

4

：.AH=MH=予

244

.'M（——，—5）＞

77

易得8M的解析式为：尸一聂+4,

Jɔ

.412

•∙W"+"=2"-2x,

解得：3X2-4X-24=0,

解得：X=立誓,

2+2√19

.∙.宜线A'8与二次函数的交点横坐标是一】.

总结提升：本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判

定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图像及性质，数形结合是解本题的关键.

类型四求点的坐标

典例5(2021•惠阳区一模)如图，己知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=χ-2交于B,

C两点.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)求AABC的面积；

(3)若点N为X轴上的一个动点，过点N作MNLX轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为

顶点的三角形与AABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

βX

思路引领：(1)可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得

C点坐标；

⑵设直线AC的解析式为y=履+6与X轴交于D,得到y=2χ-1,求得BQ=2-尹擀于是得到结论;

(3)设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当aMON和AABC相似时,

MNONMNON

利用三角形相似的性质可得∕=-⅛=/可求得N点的坐标.

解：(1)Y顶点坐标为(1,1),

设抛物线解析式为y=α(X-I)2+1,

又抛物线过原点，

.,.0=a(0-I)2+l,解得α=-l,

二抛物线解析式为y=-(X-I)2+1,

即y=-x1+2x,

联立抛物线和直线解析式可得忆；=2

解褚;缄忧3

：.B(2,0),C(-1,-3)；

(2)设直线AC的解析式为y=仙+6,与X轴交于3,

把A(l,1),C(-1,-3)的坐标代入得b，

解得：仁.

.'.y=2x-1,

当y=0,B∣J2x-1=0,

解得：X=

1

：.D(-,0),

2

∙∙βw=2-21=3l

1Q1Q

∙'∙∕∖ABC的面积=SAΛ8O+SABCD=+x3=3;

(可以利用勾股定理的逆定理证明NA8C=90°).

(3)假设存在满足条件的点M设N(x,0),则Λ∕(x,-X2+2X),

：.ON=\x\,MN=∖-X2+2X∖,

由(2)知，AB=√2,fiC=3√2,

TMMLx轴于点M

；・NABC=NMNO=90°，

,▼,,-MNONMNON

・•.当aABC和AMNO相似z时l，有一=—或一=—,

ABBCBCAB

〜MNON,

①当——=—时，

ABBC

2

∣-X+2X∣∣X∣RJR,1

λ√2=即M-X+2∣=引

Y当X=O时M、O、N不能构成三角形,

Λx≠0,

Λ∣^x+2∖=g,

1ς7

.∙.r+2=±9解得户可或后手,

57

此时N点坐标为（?0）或（-（0）；

〜MNON,

②当一=—时,

BCAB

∖-X2+2X∖∖X∖

3√2一√2,

即IXIl-X+2∣=3∣x∣,

.,.∣-χ+2∣=3,

I.-χ+2=±3,

解得x=5或X=-1,

此时N点坐标为（-1,0）或（5,0）,

57

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为(-,0）或（一，0）或（-1,0）或（5,0）.

33

总结提升：本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判

定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等.在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设

出N、M的坐标,利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键,注意相似三角形点的对应.本

题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.

第二部分专典理优别练

1.（2022∙河东区一模）如图，A为反比例函数y=［（其中x>0）图象上的一点，在X轴正半轴上有一点8,

OB=4.连接。4,AB,且OA=AB=2√TU,过点8作BCJ_。8,交反比例函数）=号（其中x>0）的图

象于点C,连接OC交48于点。，则k=

思路引领：过点A作AHJ_x轴，垂足为点H,AH交OC于点利用等腰三角形的性质可得出Z）H的

长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即

可求出上值；由08的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理

可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM〃BC可得出aAQMS利用相似三角形的性质即

可求出券的值.

解：过点A作A，，X轴，垂足为点H,A”交OC于点M,如图所示.

∙.Q=A8,AH-LOB,

；.OH=BH=*）B=2,

：.AH=√0½2-OH2=6,

点A的坐标为（2,6）.

「A为反比例函数）=［（其中x>0）图象上的一点，

：♦k=∙2X6=12.

VBC±Λ⅛1,08=4,点C在反比例函数y=竽上，

k

.*.BC==3.

•：AH〃BC,OH=BH,

13

：.MH=^BC=

9

：.AM=AH-MH=^.

YMAI/BC,

：.XMyMSl∖BDC,

ADAM3

DB~BC~2

总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形

的判定与性质，解题的关键是构建相似三角形.

2.如图，在平面直角坐标系中，RtZXBCO中，其中3(0,4),C(2,0),点。在反比例函数y=?

图象上，且8=b，以BC为边作平行四边形BCE凡其中点F在反比例函数y=[(x>0)图象上，

点E在X轴上，则点E的横坐标为()

思路引领：如图，作。X轴于H.利用相似三角形的性质求出点。坐标，求出左的值以及点F坐标

即可解决问题；

；NBOC=NBCD=NCHD=90°,

.,.ZBCO+ZOBC=90o,ZBCO+ZDCH=90a,

：.NOBC=NDCH,

.∙.∆B(9C^ΔC∕∕D,

.BCOBOC

"CD~CH~DH'

,：B(O,4),C(2,O),CD=√5,

ΛBC=2√5,

.∙.CH=2,DH=∖,

：.D(4,1),

：。在产(上，

.∙.A=4,

.∖F(1,4),

Y四边形BCEF是平行四边形，

.∖BF∕∕EC,BF=EC,

,EC=T,

OE=3,

・・・点E的横坐标为3.

故选：C.

总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

3.(2021•越秀区模拟)如图，点A(2,〃)和点。是反比例函数y=g(m>0,x>0)图象上的两点，一

次函数y=H+3(∕c≠0)的图象经过点4与)，轴交于点8,与X轴交于点C,过点。作OELr轴，垂足

为1E,连接。A、OD.已知AOAB与aθf>E的面积满足SS^ODE=3：4.

(1)求加；

(2)已知点尸(6,0)在线段OE上，当NPOE=NC80时，求点。的坐标.

思路引领：（1）根据一次函数解析式求得点B的坐标，得到OB的长度，结合点A的坐标和三角形面积

求出AOAB的面积，进而求出aOCE的面积，由反比例函数系数人的几何意义求得加的值；

（2）利用待定系数法确定直线AC函数关系式，求出点C的坐标，根据正切的定义列出求出〃、6的关

系，解方程组得到答案.

解：（1）由一次函数y=fcr+3得，点B的坐标为（0,3）,

•.♦点A的坐标是（2,〃）,

∙''S,∖0AB=2x3X2=3,

"∙"S∆0Λtf:SAODE=3:4,

•∙SM）DE—4，

・・•点。是反比例函数尸?x>0）图象上的点，

.1

・∙y"2=SzIxOOE=4,

解得,m=8；

（2）由（I）知，反比例函数解析式是y=%

Λ2n=8,

解得,∕t=4.

工点A的坐标为（2,4）,将其代入y=kτ+3,得至∣J2%+3=4∙

解得，Z=摄

直线AC的解析式是：y=1+3,

令y=0,贝gx+3=0,

Λx=-6,

：.C(-6,0),

：,OC=6,

由（1）知I,OB=3.

设。（4,⅛）,则。E=APE=a-6,

Λ

:ZPDE=ZCBO9

OCPE

tanZPDE=tanZCBO,即—=—，

OBDE

6Q—6

整理得，a-2b=6,

Y点。在第一象限,

ΛD(8,1).

总结提升：本题考查的是反比例函数系数火的几何意义、解直角三角形的应用，要灵活掌握待定系数法

确定函数关系式，函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数攵的几何意义，三角形的面积公式.

4.如图，二次函数y=-/+法+3的图象与X轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),

点。为OC的中点，点P在抛物线上.

(1)b=；

(2)若点尸在第一象限，过点P作P”LV轴，垂足为H,PH马BC、BD分别交于点例、N.是否存在

这样的点尸，使得PM=MN=M/,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

思路引领：(1)将(-1,0)代入y=-/+次+3求解.

(2)由抛物线解析式可得点C与点B坐标，从而可得直线BC,直线BO解析式，设P(f,-P+2r+3),

则M(t,-f+3),N(6_?+少，H(60),由PM=MN=NH求解.

解：(1)将(-1,0)代入y=-xl+bx+3得O=-I-b+3,

解得b=2,

故答案为：2.

(2)，：b=2,

∙'∙y--X2+2X+3.

将X=O代入y=-X2+1V+3得y=3,

.∙.点C坐标为(0,3),

；点。为OC的中点，

3

点。坐标为(0,-),

令-f+2x+3=0,

解得Xl=-1，X2=3,

二点B坐标为(3,0),

由C(0,3),B(3,0)可得直线BC解析式为y=-χ+3,

3

由Q(O,-),B(3,0)可得直线8D解析式为y=+打

2LL

设P(/,-P+2z÷3)»则M(，，-f+3),N(f,—÷ɪ)fH(f,0),

ɔʌ131313

.*.PM=~/+2f+3-(-7+3)=-厂+3f,MN=7+3-(-=-2,NH=一手+?

IMH=NH,

YPM=MN,

-P+3ι=—ɪ/+ɪ,

1

解得八=2，,2=3,

V0<r<3,

∙-l

・・/r一2，

115

点P坐标为(；，—).

24

总结提升：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握待定系数法求函数

解析式.

5.(2019•盐城)如图所示，二次函数y=k