2023年新疆高考理科数学第一次质检试卷及答案解析

2023年新疆高考理科数学第一次质检试卷

一、选择题。本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合

题目要求的.

1.(5分)已知集合A={R2χ-4<0},B={xk2-3xW0},则A∩B=()

A.{x∣x≤3}B.{x∣0≤x<2}C.{x∣x20}D.{x∣2≤x≤3}

2.（5分）命题“Vxe[O,+8）,f+xWO”的否定是（）

A.∀x∈(-8,0),x3+x>0

B.VXe(-8,0),x3+%≤0

3

C.3x()∈[0,+8),%0+%0>0

3

D.3τo∈[O,+8),%0÷χ0≤0

TTTTTTm

3.(5分)已知向量Q=(2,3),h=(-1,2),若ma与α—2b共线，则一等于()

n

11

A.-ʌB.-C.-2D.2

22

（分）复数的共瓶复数是（

4.5z=7¾）

I-L

A.-1-2/B.1-2/C.-1+2/D.l+2z

5.（5分）已知直线α,Z?与平面ɑ,β,γ,能使α,B的充分条件是（）

A.a//a,b//β,αX⅛B.a±γ.BJ-Y

C.a∕∕a,a±βD.a∩0=a,aA-b,⅛cβ

6.（5分）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十

七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七

个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75

文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）

A.乙分到37文,丁分到31文

B.乙分到40文,丁分到34文

C.乙分到31文,丁分到37文

D.乙分到34文,T分到40文

7.(5分)已知定义在R上的奇函数F(X),满足F(X+3)=-/(X),且当Xe(0,|]时，f

(x)=∕-6x+8,贝IJF(O)+/,<!)+f<2)+-V(100)=()

A.6B.3C.0D.-3

8.(5分)已知√^s讥a+cosa=ɪ,则CoS(半—2α)=()

171788

A.—YQB.C.—QD.一

181899

9.(5分)已知Fi,尸2分别是双曲线C：4-4=1(心0,Z?>0)的左、右焦点，以尸尼

为直径的圆与C在第二象限交于点A,且双曲线C的一条渐近线垂直平分线段AF2,则

C的离心率为()

A.√2B.√3C.2D.√5

2—X

10.(5分)已知函数/(x)=In----,a=log23,%=k>g34,C=IOg58,则()

3+x

A.ʃ(ɑ)<∕(c)<∕(∕?)B.f(a)VfQb)Vf(C)

C.fQc)<f(a)<∕(⅛)D./Qc)VfQb)VfQa)

11.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,O<φ<J)的图象过点(0,1),且在

区间（π,2π）内不存在最值，则3的取值范围是（）

117

A.(0,-]Bt

6-?石]

117112

c（，?叫，D.(0,-]U[-,-]

∙°JOɔɔ

12.（5分）三棱锥A-BCO中，点A在平面BCQ的射影”是43CQ的垂心，点。在平面

ABC的射影G是aABC的重心，AD=I,则此三棱锥体积的最大值为（）

Illl

A.一B.-C.-D.-

2369

二、填空题。本大题共4小题，每小题5分.

13.（5分）在（2x+l）6展开式中，/的系数为（结果用数值表示）.

14.（5分）设。为坐标原点，抛物线Cy1=2px（p>0）的焦点为F,过点F作X轴的垂

线交C于点P，。为X轴正半轴上一点，且IOQl=5,若/OPQ=45°,则C的准线方程

为,

15.（5分）已知函数/^（x）=e*+e2r+αsin（界+看）有且只有一个零点，则实数a的值

为.

16.（5分）已知数列｛<⅛｝满足αι=^,αn+1=21∕⅛,若d=Iog2斯-2,则历・历...bn

的最大值为.

三、解答题。第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过

程或演算步骤∙

17.（12分）在aABC中，边小b,C所对的角分别为A,B,C,α=3,c2=⅛2-3⅛+9.

（I）求角C的大小：

（II）若一J=3√3,求aABC的面积.

CosA

18.（12分）如图，在四棱锥P-ABC。中，平面ABCf>,ADLCD,A£>〃BC,且以

=AD=CD=2,BC=3,E是尸。的中点，点尸在PC上，且P尸=2尸C.

（1）证明：Z）F〃平面RW；

（2）求二面角尸-AE-P的正弦值.

19.（12分）投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列如表所示:

甲种股票：

收益X（元）-102

概率0.10.30.6

乙种股票：

收益y（元）012

概率0.30.30.4

（1）如果有人向你咨询：想投资其中一种股票，你会给出怎样的建议呢？

（2）在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，假设两种股票的买入价都是每股1

元，某人有IOOOO元用于投资，请你给出一个投资方案，并说明理由.

20.（12分）已知椭圆C的中心是坐标原点，焦点在X轴上，且经过点4（1,ɪ）,Bl一,

-Φ)∙

（I）求椭圆C的标准方程；

（2）MN是经过椭圆C的右焦点F的一条弦（不经过点A）,设直线MN与直线/：x=2

相交于点。，记4例，ΛN,A。的斜率分别为心，k2,依，求心∙%2∙心的最大值.

21.(12分)已知/(x)=2∕nx+αx+t在X=I处的切线方程为y=-3x.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)∕(Λ)是F(X)的导函数，对任意x∈［l,+8),都有Ax)-r(X)+3≤meiτ+g

求实数机的取值范围.

选考题。共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题

计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.(10分)在平面直角坐标系XoV中，已知直线/：x+y=l与曲线C：j二cθ

为参数).以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(I)求直线/和曲线C的极坐标方程；

(∏)在极坐标系中，已知射线〃〃e=α(p>0)与直线/和曲线C的公共点分别为A,

B,ae(0,ɪ),当IOBI=2|。川时，求ɑ的值.

［选修4-5：不等式选］

23.己知函数/(x)=Ix-a∣+2∣x+11(a>0).

(1)若a=3,求不等式f(X)>5的解集；

(2)若函数g(X)=∕(x)-Ix+11的最小值为实数6>0,c>-1,且6+c=M-a,

2023年新疆高考理科数学第一次质检试卷

参考答案与试题解析

一、选择题。本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合

题目要求的.

I.(5分)已知集合A={x∣2r-4<0},B={x∣?-3x≤0},则AnB=()

A.{Rx≤3}B.{x∣0≤x<2}C.{4x20}D.{Λ∣2<X≤3}

【解答]解A：=U∣2χ-4<0}={xU<2},B={xk12-3xW0}={x∣0WxW3},ΛA∩B={x∣0

≤x<2}.

故选：B.

2.(5分)命题“Vxe[0,+∞),x3+x≤0,'的否定是()

A.∀Λ∈(-8,0),x3+x>0

B.Vx∈(-8,0),χ3+χ≤0

3

C.3xo∈[O,+8),χ0+χ0>0

3

D.3xo∈[O,+8),χ0+x0≤0

【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得，

33

命题''Vx∈[0,+8),χ+χW0”的否定是力∙o6[O,+∞),X0+⅞>θ∙

故选：C.

→→TTTT771

3.(5分)已知向量Q=(2,3),h=(-1,2),若ma+浦与α—2b共线，则一等于()

n

11

A.-⅞B.-C.-2D.2

22

【解答】解：∙.∙∕%α-Vnb=(2m-nf3m+2n),a—2b=(4,-1),ma与α—2b共线，

lm1

：•(2∕w-H)(-1)-4(3m+2n)=0,/.-14∕n=7π,则一=——，

n2

故选：A.

4.(5分)复数z=7¾的共瓶复数是()

I-L

A.-l-2zB.1-2iC.-1+2/D.l+2z

【解答】解：z=1¾=禺备=l-2i,

Λz=l÷2i.

故选：D.

5.（5分）己知直线4,A与平面α,β,γ,能使al∙β的充分条件是（）

A.a∕∕a1h∕∕β,a^_bB.α±γ,β±γ

C.a∕∕a,a±βD.α∩β=4,tz±⅛,⅛⊂β

【解答】解：直线〃与平面α,β,γ,

对于A,a∕∕a,b∕∕βfɑl.b时，α“β也可能满足，如图1,故A错误；

图1

故8错误;

对于C,a∕∕a1α,β时，一定有α,β,故C正确;

对于。选项，α∏B=",alb,6uβ时，a_LB不一定成立，如图3,故。错误.

图3

故选：C.

6.（5分）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十

七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七

个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75

文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）

A.乙分到37文，丁分到31文

B.乙分到40文，丁分到34文

C.乙分到31文，丁分到37文

D.乙分到34文，丁分到40文

【解答】解：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a-3d,a-2d,a

-d,a,a+d,a+2d,a+3d,

∣jlljfa-3d+a--2d=77解得伤=3；,

IQ+d+a+2d+a+3d=75Id=-3

所以乙分得o-2d=37(文)，丁分得a=31(文)，

故选：A.

7.(5分)已知定义在R上的奇函数F(X),满足f(x+3)=-f(x),且当x∈(0,|]时，/

(x)=∕-6x+8,则/(0)+/<!)+/'<2)+-+/(IOO)=()

A.6B.3C.0D.^3

【解答】解：因为函数/(x)对任意的实数X,恒有f(x+3)=-∕(x),

所以/(X+6)=-f(X+3)=f(x),

所以函数/(x)是以6为周期的周期函数，

又/(x)定义在R上的奇函数，

所以7(0)=0,/(3)=-f(0)=0,

又当Xe(O,1时，f(又=Λ2-6X+8,

所以/(1)=3,f(2)=/(-1+3)=-/(-ɪ)=/(1)=3,/(4)=f(1+3)=-/

(1)=-3,f(5)=f(2+3)=-f(2)=-3,

所以/(0)4/(1)+f(2)+...4/(100)=∖f(0)V(I)+f(2)+...+f(5)]×16+∕(0)

+/(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0X16+3=3.

故选：B.

8.(5分)已知Vasina+cosa=苧，则cos(竽-2a)=()

171788

C

--------

A.L8B.189D.9

【解答】解:'.,y∕3sina+cosa--^≠>2sin(α+5)=苧=Sin(a+5)=半;

Sm(/α+71MX

\6一Z=

8

z√i22

(-

x69

故选：C.

9.(5分)已知F∣,故分别是双曲线C：4-4=1(a>0,⅛>0)的左、右焦点，以FiFz

0zb

为直径的圆与C在第二象限交于点A,且双曲线C的一条渐近线垂直平分线段AF2,则

C的离心率为()

A.√2B.√3C.2D.√5

【解答】解：由题设为(-c,0),F2(c,0),双曲线的渐近线方程分别为：

.b.b

/1：y=-X,/2：y=—X；

yaa

因为双曲线C的一条渐近线垂直平分线段AF2,

ab

所以膜F2=bf。1尸I=I

所以直线A乃的方程为y=-≤(x-c),直线AFi的方程为y=^(x+c),

a,、

y=一万(x—c)a2-b22ab

联立方程解得(

b,、A——

y=-(x+c)

将A的坐标代入双曲线的方程：9-京=1,

整理得5Λ2=C2,即C=√5α,

所以双曲线C的离心率为e=^=√5.

故选：D.

10.(5分)已知函数/(x)=In-----,Q=Iog23,h=log3%C=IOg58,则()

3+x

A.f(a)<∕(c)<∕(⅛)B.f(a)<f(⅛)<∕(c)

C.f(c)<∕(a)<∕(⅛)D./(c)<f(⅛)V∕(α)

【解答】解：•弓=Iog=Iog2Vδ<log23,/.«>I,

V-=log=logy/27>loga4,Λ⅛<5,

VI=l0g5^=/O55√125>log58,Λc<∣,

上=咏="史=出理="Vl,且c=log58>0,

&

clog38lg3IgS3lg2lg3lg27

：.b〈c.

又=log34>ɪogɜɜ=1,a=log23<log24=2,

.M<h<c<a<2f

2—X

由---〉0可得，-3VXV2,

3+%

2—X5

又函数/(x)=In-----=In(--------1),

3+X3+%

又复合函数的单调性可得，f(x)在(-3,2)上单调递减，

.∖∕(⅛)>/(C)>/(a).

故选：A.

11.(5分)已知函数/(x)=2Sin(ωx+φ)(ω>0<O<φ<J)的图象过点(0,1),且在

区间(π,2π)内不存在最值，则3的取值范围是()

117

A.(0,—]B.[―,——]

6412

117112

C.(0,-]U[-,—1D.(0,-]U[---]

O4IZOɔɔ

【解答】解：函数/(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<^)的图象过点(0,1),

则2sinφ=L即sinφ=

因为OVR.,

所以φ=?

故f（x）=2sin（ωx+1），

令-4+2k7r≤3x+I≤2k7τ+5,AeZ,即一袈+纲≤x≤在+也，AeZ,

/（X）的单调递增区间为[一瑞+等，轰+瑞，M

同理可得，/（ɪ）的单调递减区间为[含+等，篇+等]，髭Z,

因为/（x）在区间（π,2π）内不存在最值，

所以（π,2π）是/（x）单调区间的真子集，

当（π,2π）c[-^+—,ɪ+-],依Z,

l3ωω3ωωj

2πl2kπ

3ωω

9t,解得一（+2k≤3≤k+g

C7.TT,AklI3O

2π≤ɔ-+——

3ωω

又因为3>0,k∈Z,显然当&=0时，不等式成立，且0<3≤'

O

当（π,2π）ɑ[ɪ+-,要+的],keZ时，

l-3ωω3ωωj

同理可得，-≤ω≤-

329

综上：3的取值范围是（O,i]U[∣,ɪ].

故选：D.

12.（5分）三棱锥A-BCZ）中，点A在平面BC。的射影”是48C。的垂心，点。在平面

ABC的射影G是aABC的重心，AQ=I,则此三棱锥体积的最大值为（）

【解答】解：如图，点。在平面ABC内的射影G是BC的重心,

连接AG延长交BC于M,连接BG延长交AC于M则M、N分别为BC和AC的中点,

因为AH_L平面BCC,BCc5FffiBCD,射影AH_LBC,

又“为C。的垂心，则D，_L8C,由4"∩O"=H,AH,DW⊂5F≡DAH,

所以BuL平面D4"，由AoU平面D4H,得BC_LAZX

因为。G_L平面ABC,BCu平面4BC,∣⅛DGLBC,

又AO∩OG=E>,AD,Z)GU平面OAG,则BCjL平面ZMG,

由AGU平面D4G,WBC±AG,所以BCLAM,

因为M为BC的中点，所以AB=AC,

由CH_L£>3,XBDc5FffiBCD,则AH_L£>8,AHQCH=H,AH,CHU平面CAH,

所以08_L平面。"，由ACU平面CA",WDBLAC,

由ACu5FfifABC,贝IJDG.LAC,DBCDG=D,DB,OGU平面DBG,则ACl5PffiDBG,

由BGU平面。BG,得AC_LBG,所以AC_LBN,

因为N为AC的中点，所以A8=8C,则4ABC为等边三角形，设其边长为x,

则AM=%,AG=^AM=^-x,又Ao=1,所以。G=√D-2一尔=Jl一拉,

则力xx4χ2

-48C=∣5ΔΛBC∙DG=5"∣-T-JlYX2=y∣Jx(l-∣)-

(x)=x4(l—ɜɪ2)=X4—3χδ,由一(1—w%2)>o得Oq<√5,则/(χ)=4入3-2»

=2X3(2-/),

令f'(x)>O=O<k<√L令/'(%)V0≠>√^Vr<√5,

所以函数/(x)在(0,√∑)上单调递增，在(√Lb)上单调递减，得f(%)mαχ=f(√∑)=

84

4—3=3,

所以（VDrBC）InaX=WXJl=3即此三棱锥的体积的最大值为3

JLNlVɔO6

故选：C.

二、填空题。本大题共4小题，每小题5分.

13.（5分）在（2x+l）6展开式中，/的系数为60（结果用数值表示）.

【解答】解：展开式中含7的项为C九2x）2=60/,

所以』的系数为60,

故答案为：60.

14.（5分）设。为坐标原点，抛物线C：yλ=2px（p>0）的焦点为凡过点尸作X轴的垂

线交C于点P,。为X轴正半轴上一点，且∣OQ∣=5,若NOP0=45°,则C的准线方程

为X=-3.

【解答】解：如图，由题知崂，0),将生=¥代入方程/=2昭得产±2，故P(9p),

22

所以I。PI=y∣^p+p=卓P,IPQl=J(5-%2+p2,

11

所以SAOPQ=ʌ∙∖OQ∖∙∖PF∖=ʌ∖OP∖∖PQ∖sin∆OPQ,

因为IP=~∙-P∙J(5-~)+p2,整理得P2-4p-12=0,解得p=6(p=-2舍),

故答案为：X=-3.

15.(5分)已知函数/(%)=e"+e2r+αsiτιgx+看)有且只有一个零点，则实数。的值为

-2e.

【解答】解：∙.∙∕(%)=e"+e?-"+αsin(界+凯

.,./(2—%)=e2~x+βx+asm[^(2—%)+=βx+e2~x+asin(^-—畀)

=βx+e2~x+asin∖π—(ɪɪ+看)]=βx+e2~x+asin(^x+凯

Λ/(2-ɪ)=f(x),Λ/(ɪ)的图象关于直线X=I对称，

若函数/(x)有且只有一个零点，即/(x)的图象与X轴有且只有一个交点，

则只能是/(I)=0,即e+e+a=0,解得a=-2e,

此时/(%)=ex+e2~x—2esin(^x+5)，Vex+e2~x≥2√ex∙e2~x=2e,

当且仅当∕=6>2F,即X=I时取等号，・・・当时，/+e2)>2e,

又V—1≤sin(^x+5)≤1,—2β≤2βsiτι(^x+看)≤2e,

，当x≠l时，f(%)>0,.••当α=-2e时，函数/(x)有且只有一个零点X=L

故答案为：-2e.

1__

16.(5分)已知数列｛〃〃｝满足m=西,αn+1=2λ∕¾,若瓦=log2斯-2,则加•历•…也

的最大值为-

-4-

【解答】解：数列｛斯｝满足an+1=2λ∕¾,

1

φ

∙∙∣og2‰ι=1÷2log2an.

V⅛zι=lθg26Zw-2,

⅛+∣+2=l+∣(6n+2),变形为：孤，

t>∖=∕o52256-2ɪ-1°∙

・・・数列｛尻｝是等比数列，首项为-10,公比为去

：.bn=-10×(∣)n^1.

n(n-l)

2...(∏-i)(_1Q)"χ2―—―=/(〃).

⅛1+++=

与号=券P只考虑“为偶数时，

/(n)22n+1

/(4)25

〃=2时j，777=—>1-

/(2)8

/⑹25

"=4时，——---<1.

/(4)128

因此/(4)取得最大值.最大值为(-10)4×2-6=竽.

625

故答案为：——

4

三、解答题。第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过

程或演算步骤.

17.(12分)在aABC中，边a,b,C所对的角分别为A,B,C,α=3,c2=fe2-3⅛+9.

(I)求角C的大小；

(II)若一J=3√3,求AABC的面积.

CosA

【解答】解：(I)因为α=3,c2,=b2-3∕τ÷9=α2÷Z?2-ab,即a2÷Z?2-c1=ab,

α2+b2-c2_ab_1

所以

cosC=2ab~2ab—2,

又CE(0,π),

所以C=全

(∏)因为C=M又正弦定理可得一£一=2R,(R为AABC外接圆半径)，即c=2RsinC=

SSinC

√3Λ,

又—=ɜvɜ*

CosA

所以3√5COSA==√3∕?,解得R=1,

所以c=2RsinC=2xIX孚=等，

所以2=/-38+9,整理可得4户-12b+9=0,解得b=∙∣,

所以AABC的面积S=^absinC=i×3×∣×^=~π^∙

ZZZZO

18.(12分)如图，在四棱锥P-ABCZ)中，fi4_L平面ABCD,ADLCD,AD//BC,且BA

=Ao=Cr)=2,SC=3,E是尸。的中点，点尸在PC上，KPF=rIFC.

(1)证明：。/〃平面PAB；

(2)求二面角F-AE-P的正弦值.

【解答】解：（1）证明：在线段PB上取点M,使得尸M=2Λ∕3,

ɔ

所以，在APBC中，MF=（BC=2,且“尸〃BC,

因为在四边形A8CD中，AD//BC,AD=2,

所以，MF//AD,MF^AD,

所以，四边形AOFM是平行四边形，

所以。F〃AM,

因为力FC平面∕¾8,AMU平面∕¾8,

所以。尸〃平面PAB.

(2)以A点为坐标原点，建立空间直角坐标系A-孙2,如图,

所以，A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

因为E是Po的中点，点F在PC上，JiPF=IFC,

TT7442

所以E(0,1,1),AF=AP+^PC=(0,0,2)+,(2,2,-2)=6，ɪ,金

所以,AE=(0,L1)，AF=(^f令,设平面AEF的一个法向量为n=(%,yfz),

+z=0

n∙AE=0

所以,,4令X=I得£=(1,-2,2),

+科+

n∙AF—0xZ=O

由题，易知平面∕¾E的一个法向量为益=(1,0,0),

—>—>

n

所以CoS而，m)=-Tt=

MHml3

所以m)=Jl-cos2(n,m)=

2√2

所以，二面角F-AE-P的正弦值为---.

3

19,(12分)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列如表所示:

甲种股票：

收益X(元)-102

概率0.10.30.6

乙种股票:

收益y(元)012

概率0.30.30.4

(I)如果有人向你咨询：想投资其中一种股票，你会给出怎样的建议呢？

(2)在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，假设两种股票的买入价都是每股1

元，某人有Io(X)O元用于投资，请你给出一个投资方案，并说明理由.

【解答】(1)解：由题知：£(x)=-1×0.1+2×0.6=l.l,E(ʃ)=1×0.3+2×0.4=l.I,

D(X)=E(?)-[E(%)产=(-D2×0.1+22×0.6-1.12=1.29,D(y)=ECy2)-

[E(y)F=产*0.3+22*0.4-1.J=。.

由题可知，两种股票的期望相同，但乙种股票的方差较小，

所以，投资乙种股票相对于甲种股票更稳妥；

(2)解：设投资甲种股票4元，投资乙种股票(10000-«)元，

所以，E(OX)+E[(10000-a)y]="E(%)+(10000-a)E(y)=11000,

D(0r)+D[(10000-α)y]=c^D(X)+(10000-α)2D(y)=a2×1.29+(10000-a)

2×0.69=1.98Λ2-13800α+0.69×108,

所以，当a=≈3485时,D(OX)+D[(100∞-α)y]取得最小，

L氏X1.7嗯70

所以，应当投资甲种股票3485元，乙种股票6515元.

20.(12分)已知椭圆C的中心是坐标原点，焦点在X轴上，且经过点4(Lɪ),B(-∣,

-Φ)∙

(I)求椭圆C的标准方程；

(2)MN是经过椭圆C的右焦点F的一条弦(不经过点A),设直线MN与直线/：x=2

相交于点。，记AM,AN,AQ的斜率分别为公，依，依，求心∙Q∙%的最大值.

【解答】解：(1)设椭圆C的方程为n^+ny1=∖,

将点4(1,净,8(-卜—竽)代入抛物线的方程：127,

(ξm+gn=1

解得〃?=帝，〃=1,

χ2

所以椭圆的标准方程为：万+/=1；

(2)解：由(1)知尸(1,0),因为MN是经过椭圆C的右焦点尸的一条弦且不经过点

A,

所以，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=k(χ-1),M(Xi，ʃɪ),N(X2,

y2))

所以，Q(2,k),

fek

所以，ι=2=k3=k-^-,

y=fc(x—1)

联立方程χ2得(1+2必)Λ2-4⅛2X+2⅛2-2=0,Δ>0,

lτ+y=1

所以与+犯=告，守2=寓'

所以，自此=驾¥・『«•(”孝)=[心会再筌描飙+

一2

22

57--------J,-KJVA-:?)1=l[k-^k∙+—ɪ](/e-皆=-√2(k-

2(X1X2-(X1+X2)+1)22-zɪ2∙^i√'2)`

l÷2∕c1+2A

^∕c-i)=-√2(⅛-fr+¾f,

所以，当k=监时，女伙2依有最大值今擀.

21.(12分)已知/'(x)=2∕nx+αx+，在X=I处的切线方程为y=-3x.

(1)求函数/(x)的解析式；

1

⑵/G)是/G)的导函数，对任意x∈[l,+8),都有f(%)一/Q)+3≤zneiτ+m

求实数"?的取值范围.

【解答】解：(1)V/(1)=a+b,当-=1时,y=-3x=-3,

.∙.α+b=-3,

Vf(x)=∣+α-A,

：.f(1)=2+a-b,

vʃ(l)=α+⅛,y=-3X=-3,

：.a+b=-3,

由切线方程为y=-3x,

.∙.2+α-b=-3,

•fɑ÷&=—3日nfα=-4

∙<2+α-b=—3'、L=I,

I

.*.∕(x)=2Inx—4x+-.

1

(2)*∙*∕(x)=2/nx—4%÷-,

21

∙∙∙f'(x)=亍-4-逻

1

由已知Vx∈［l,+o°),f(%)—f'(x)+3≤7∏elr+亍成立，

11911

令g(x)=f(x)-/'(%)+2x---1=2Znx-4x+---+4+^+2x---l=

2Znx-2x+3-∣+^√(x)=∣-2+^-^=^^⅛±^≤0.

所以g(X)在［1,+8)上单调递减，

1

所以g(X)Wg(1)=0,BPf(%)-，(x)≤—2X+-+1,

x,x

设∕z(x)=x+l-ef则∕z(x)=1-e9令"(X)=0,解得X=0,

当XVO时，h'(x)>0,h(x)单调递增，当Λ>0时，Λ,(x)<0,h(%)单调递减，

故当X=O时，h(X)max=zh(O)=0,故/2(X)=X+1-∕≤0,

即x+lW∕,令I-X代换X有2-χ≤∕F,两边同乘2有4-2x<2JF,

则f(尤)-f(x)+3≤4-2x+i≤2e1^x+p当X=I时取等号，

所以加22时满足题意，若相<