第13讲 函数与方程（解析版）

第13讲函数与方程基础知识1.函数的零点(1)函数零点的定义一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于,即,则称α为函数y=f(x)的零点.

(2)等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与有交点⇔函数y=f(x)有.

(3)函数零点的判定(函数零点存在定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是的,并且(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即.

2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点

无交点零点个数

1.(1)零f(α)=0(2)x轴零点(3)连续不断f(a)f(b)<0∃x0∈[a,b],f(x0)=02.(x1,0),(x2,0)(x1,0)210常用结论1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.分类训练探究点一函数零点所在区间的判断例1(1)函数f(x)=lnx-2x的零点所在的区间是A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,+∞)(2)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,设g(x)=[x],x0是函数f(x)=lnx+x-4的零点,则g(x0)= ()A.4 B.5 C.2 D.3例1[思路点拨](1)函数f(x)是增函数,则只需f(a)f(b)<0时,函数f(x)在区间(a,b)上存在零点;(2)根据函数零点存在定理,可判断出零点所在的区间,即可由定义求得g(x0)的值.(1)B(2)C[解析](1)函数f(x)=lnx-2x在(0,+∞)上单调递增,f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3-23>0,故函数(2)因为函数f(x)=lnx+x-4在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,所以函数f(x)存在唯一的零点x0∈(2,3),故g(x0)=2,故选C.[总结反思]判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)函数零点存在定理;(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与x轴的交点来判断,或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断.变式题已知函数f(x)=x2-2x,则在下列区间中,y=f(x)一定有零点的是 ()A.(-3,-2) B.(-1,0)C.(2,3) D.(4,5)变式题B[解析]在同一坐标系中,画出y=x2与y=2x的图象,如图所示.在区间(-3,-2)内,两个函数的图象没有交点,同理在(2,3)和(4,5)内也没有交点,在(-1,0)内,两个函数的图象有一个交点,故y=f(x)在(-1,0)内有一个零点,在区间(-3,-2),(2,3),(4,5)内均无零点,故选B.探究点二函数零点个数的讨论例2(1)已知图象连续不断的函数f(x)的定义域为R,f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点,则f(x)在区间[0,2020]上的零点个数为 ()A.5050 B.4041C.4040 D.2020(2)已知函数f(x)=33xA.对任意实数t,方程f[f(x)]-t=0无根B.存在实数t,方程f[f(x)]-t=0有2个不同的根C.存在实数t,方程f[f(x)]-t=0有3个不同的根D.对任意实数t,方程f[f(x)]-t=0只有1个根例2[思路点拨](1)利用函数的奇偶性以及函数的周期性,转化求解函数的零点个数即可;(2)作出函数f(x)的图象,设f(x)=m(m>0),则方程f[f(x)]-t=0转化为f(m)=t,结合图象,分t>3和t≤3两种情况讨论,即可求解.(1)B(2)B[解析](1)由题意可得f(0)=0,f(1)=0,当x∈(0,1)时,函数f(x)有1个零点,所以x∈(0,1]时,函数f(x)有2个零点,所以x∈(0,2020]时,函数f(x)有4040个零点,则f(x)在区间[0,2020]上的零点个数为4041.故选B.(2)作出函数f(x)的图象,如图所示,设f(x)=m(m>0),则方程f[f(x)]-t=0转化为f(m)=t,结合图象可得,①当t>3时,方程f(m)=t只有1个根m1,m1>0,当m1∈(0,3)时,f(x)=m1只有1个根,当m1∈[3,+∞)时,f(x)=m1有2个不同的根,故方程f(x)=m有1个根或2个根;②当t≤3时,方程f(m)=t没有实数根,此时方程f(x)=m没有实数根.综上可得,存在实数t,方程f[f(x)]-t=0有2个不同的根.故选B.[总结反思]求解函数零点个数的基本方法有:(1)直接法,令f(x)=0,方程有多少个解则f(x)有多少个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图象法,一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.变式题(1)函数f(x)=log3|x|-|sinπx|在区间[-2,0)∪(0,3]上零点的个数为 ()A.5 B.6C.7 D.8(2)已知函数f(x)=ex,x<0,4xA.2 B.3C.4 D.5变式题(1)B(2)B[解析](1)令f(x)=0,得log3|x|=|sinπx|,在同一坐标系下分别作出函数g(x)=log3|x|和h(x)=|sinπx|在区间[-2,0)∪(0,3]上的图象,如图所示,观察图象得,两函数的图象在[-2,0)上有2个交点,在(0,3]上有4个交点,所以函数f(x)=log3|x|-|sinπx|在区间[-2,0)∪(0,3]上零点的个数为6.故选B.(2)由2[f(x)]2-3f(x)-2=0可得f(x)=2或f(x)=-12,当x≥0时,f'(x)=12x2-12x=12x(x-1),当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,∴函数f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=4-6+1=-1,绘制函数f(x)的图象,如图所示,观察图象可得,方程2[f(x)]2-3f(x)-2=0探究点三函数零点的应用角度1根据零点个数求参数值或范围例3(1)已知函数f(x)=x2+4x+m,x≤-1,log2(x+1),x>-1,A.(2,+∞) B.(2,3]C.[2,3) D.(1,3)(2)若对任意的m∈[0,1],总存在唯一的x∈[-1,1],使得m+x2ex-a=0成立,则实数a的取值范围是 ()A.[1,e] B.(1+1e,eC.(0,e] D.[1+1e,e例3[思路点拨](1)原题等价于f(x)=-1有三个解,由解析式可知x>-1时有一个解,则可将问题转化为当x≤-1时,函数f(x)=x2+4x+m的图象与直线y=-1有两个交点;(2)由m+x2ex-a=0,解得x2ex=a-m,根据题意可得a-1≥(-1)2e-1,且a-0≤12×e(1)C(2)B[解析](1)令g(x)=0,则f(x)=-1,当x>-1时,由f(x)=-1可得log2(x+1)=-1,即x=-12,故-12为g(x)的一个零点.因为g(x)有三个零点,故当x≤-1时,函数f(x)=x2+4x+m的图象与直线y=-1有两个交点,f(x)的图象如图所示,由图可得,f(-2)=m-4<-1,(2)由m+x2ex-a=0,得x2ex=a-m,∵对任意的m∈[0,1],总存在唯一的x∈[-1,1],使得m+x2ex-a=0成立,∴a-1≥(-1)2e-1,且a-0≤12×e1,解得1+1e≤a≤e,当a=1+1e时,取m=1,结合y=x2ex的图象(图略)可知方程x2ex=1e有2个解,不符合题意,故实数a的取值范围是1+1e[总结反思]已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.变式题(1)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-3,且当x≥-3时,f(x)=2x-3.若函数f(x)在区间(k-1,k)(k∈Z)上有零点,则k的值可能为 ()A.2 B.-2C.-7 D.-8(2)已知函数f(x)=2-x-1,x≤0,A.(-∞,1) B.(-∞,1]C.(0,1) D.[0,+∞)(3)若函数f(x)=|x-3|+ex-3+e3-x+m有唯一零点,则实数m的值为 ()A.0 B.-2 C.2 D.-1变式题(1)AC(2)A(3)B[解析](1)当x≥-3时,f(x)=2x-3是增函数,令f(x)=2x-3=0,解得x=log23,因为1<log23<2,所以函数的一个零点所在的区间为(1,2),所以k的值可以为2.又函数f(x)的图象关于直线x=-3对称,所以另一个零点在区间(-8,-7)内,此时k=-7.故选AC.(2)函数f(x)=2-当a<1时,函数y=f(x)的图象与函数y=x+a的图象有两个交点,即方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根.故选A.(3)设g(x)=f(x+3)=|x|+ex+e-x+m,∴g(-x)=|-x|+e-x+ex+m=|x|+ex+e-x+m=g(x),故函数g(x)为偶函数,则函数g(x)的图象关于y轴对称,故函数f(x)的图象关于直线x=3对称,∵f(x)有唯一零点,∴f(3)=0,即m=-2,经检验,f(x)=|x-3|+ex-3+e3-x-2仅有1个零点x=3.故选B.角度2函数零点的范围问题例4(1)已知x0是函数f(x)=2x+11-x的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则 ()A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0(2)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3,h(x)=2x+x2-10,若正数a,b,c满足f(a)=g(b)=h(c)=0,则 ()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a例4[思路点拨](1)x0是函数f(x)=2x+11-x的一个零点转化为x0是函数y=2x与y=1x-1的图象的交点的横坐标,画出函数图象,利用图象判断即可;(2)判断出f(x),g(x),h(x)的单调性,结合函数零点存在定理判断出(1)B(2)A[解析](1)因为x0是函数f(x)=2x+11-x的一个零点,所以x0是函数y=2x与y=1则当x1∈(1,x0)时,y=2x的图象在y=1x-1的图象下方,即f(x1)<0;当x2∈(x0,+∞)时,y=2x的图象在y=1x-1的图象上方,即(2)因为函数y=ex,y=lnx,y=2x,y=x-2,y=x2-3,y=x2-10在区间(0,+∞)上均单调递增,所以函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3,h(x)=2x+x2-10在区间(0,+∞)上均单调递增.f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,f(0)·f(1)<0,所以a∈(0,1).g(1)=ln1+1-3=-2<0,g(2)=ln2+4-3=ln2+1>0,g(1)·g(2)<0,所以b∈(1,2).h(2)=4+4-10=-2<0,h(3)=8+9-10=7>0,h(2)·h(3)<0,所以c∈(2,3).所以a<b<c,故选A.[总结反思]函数零点的应用主要体现在三类问题中:一是函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;三是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合或分离参数求解.变式题(1)设a是函数f(x)=2x-log13x的零点,若x0>aA.f(x0)=0 B.f(x0)>0C.f(x0)<0 D.以上都有可能(2)已知函数f(x)=4ax-cos2x-πa(a∈R)有且仅有3个不同的零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则(x1+x3)·sin(π4+x2)=变式题(1)B(2)π2[解析](1)由题知,y=2x在(0,+∞)上单调递增,y=log13x在(0,+∞)上单调递减,则f(x)=2x-log13x在(0,+∞)上单调递增,因为a是f(x)的零点,且x0>a(2)因为函数f(x)=4ax-cos2x-πa(a∈R)有且仅有3个不同的零点,所以f(x)=0有且仅有3个不等的实数根,即cos2x=4ax-πa有且仅有3个不等的实数根.令g(x)=cos2x,h(x)=4ax-πa,则g(x)与h(x)的图象(如图)有且仅有3个不同的公共点,因为h(π4)=0且g(π4)=0,所以π4为f(x)的一个零点,又因为g(x)的图象关于点(π4,0)对称,函数h(x)的图象恒过定点(π4,0),x1<x2<x3,所以x1<x2=π4<x3且x所以(x1+x3)·sin(π4+x2)=π2sinπ2同步作业1.函数f(x)=3x-8的零点是 ()A.log38 B.log83C.(log38,0) D.(log83,0)1.A[解析]令f(x)=0,则3x-8=0,即3x=8,解得x=log38,故选A.2.函数f(x)=x2-2,A.0 B.1C.2 D.32.C[解析]当x≤0时,由f(x)=0,即x2-2=0,解得x=-2;当x>0时,f(x)=2x-6+lgx为增函数,f(1)=-4<0,f(10)=15>0,所以f(x)在(1,10)内有1个零点,即f(x)在(0,+∞)内有1个零点.综上,函数f(x)有2个零点.故选C.3.已知函数f(x)=ex+a,x≤0,2x-1,x>0(a∈R),若函数f(x)在RA.(-∞,-1) B.(-∞,0)C.(-1,0) D.[-1,0)3.D[解析]当x>0时,由f(x)=2x-1=0,得x=12,所以f(x)在(0,+∞)上有一个零点,由题可知f(x)在(-∞,0]上有一个零点.当x≤0时,f(x)=ex+a,令ex+a=0,得a=-ex,因为0<ex≤1,所以-1≤a<04.已知函数f(x)=|x2-4x+3|-mx,若m∈(0,12),则f(x)的零点个数为A.1 B.2 C.3 D.44.D[解析]由f(x)=|x2-4x+3|-mx=0,得|x2-4x+3|=mx,当m∈(0,12)时,作出函数y=|x2-4x+3|与y=mx的图象,如图.由图可知,函数y=|x2-4x+3|与y=mx的图象有4个交点,∴f(x)5.函数y=ln(x-3)的零点是.

5.4[解析]令y=ln(x-3)=0,得x-3=1,解得x=4,故函数y=ln(x-3)的零点为4.6.函数f(x)=cosx-x在[0,+∞)内的零点个数为.

6.1[解析]函数f(x)=cosx-x在[0,+∞)内的零点个数即为函数y=cosx(x∈[0,+∞))的图象和函数y=x的图象的交点个数,作出两个函数的图象,如图所示.显然,函数y=cosx(x∈[0,+∞))的图象和函数y=x的图象的交点个数为1.7.定义在R上的函数f(x)=x2-[x]-2的零点个数为(其中[x]表示不大于实数x的最大整数) ()A.0 B.1C.2 D.37.D[解析]令f(x)=x2-[x]-2=0,得x2-2=[x],令f1(x)=x2-2,g1(x)=[x],在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图所示,由图可知两个函数图象有3个交点,所以函数f(x)=x2-[x]-2有3个零点,故选D.8.已知函数f(x)=2x,x≥a,A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,1) D.(1,+∞)8.B[解析]因为指数函数y=2x>0,没有零点,y=-x有唯一的零点x=0,所以若函数f(x)存在零点,则f(x)=-x(x<a)有零点,即0∈(-∞,a),则a>0,故选B.9.已知函数f(x)=ax2+1,xA.当a=0,m∈R时,有且只有1个零点B.当a>0,m≤-1时,有3个零点C.当a<0,m<-1时,有4个零点D.当a<0,-1<m<0时,有4个零点9.B[解析]令t=f(x),则f(t)+m=0,故y=f(t)和y=-m的图象的交点个数即为所求函数零点的个数.当a=0时,画出y=f(x)的图象,如图,由图分析可知,若m=-1,则t≤0或t=e,即0<x≤1或x=ee,故A错误;当a>0,m≤-1时,可得t≤0或t=e-m≥e,结合图象(图略)可知,所求函数零点的个数为1+2=3,故B正确;当a<0时,若m<-1,则t>e,即x>ee,所求函数零点的个数为1,若-1<m<0,则t<0或1<t<e,结合图象(图略)可知,所求函数零点的个数为3,故C,D错误.故选B.10.已知函数f(x)=|2x-12|,x<1,log2(x+A.1,32 B.log23,52C.1,52 D.[log23,3]10.B[解析]在同一坐标系内作出函数f(x)与g(x)的图象,如图.当x=1时,y=log2(x+12）=log232,且y=2x-12的图象与y=log2（x+12）的图象关于直线y=x对称,不妨设x1<x2,可得log232≤x1<1,1≤x2<32.利用同向不等式相加,可得x1+x2的取值范围是[11.(多选题)已知f(x)=lnx-2,x>0,2x-1A.f(m)≤0B.f(m)可能大于0C.m∈(-∞,-1]D.m∈(-∞,-1]∪(0,e2]11.AD[解析]由2f[f(m)]+1=2f(m)+1,可得f[f(m)]=2f(m)-12.若f(m)>0,则ln[f(m)]-2=2f(m)-12(*).∵lnx≤x-1,2x>x,∴lnx-2≤x-3,x-1<2x-1<2x-12,∴lnx-2≤x-3<x-1<2x-12,∴方程(*)无解.若f(m)≤0,则2f[f(m)]+1=2[2f(m)-12]+1=2f(m)+1,故只需解f(m)≤0即可.当m≤0时,由f(m)=2m-12≤0,解得m≤-1;当m>0时,由综上所述,当m∈(-∞,-1]∪(0,e2]时,f(m)≤0,满足2f[f(m)]+1=2f(m)+1.故选AD.12.函数f(x)=x2-2x-1-|x-1|的所有零点之和为.

12.2[解析]令f(x)=x2-2x-1-|x-1|=0,则(x-1)2-|x-1|-2=0.设t=|x-1|≥0,则t2-t-2=0,解得t=-1(舍去)或t=2,所以t=|x-1|=2,解得x=-1或x=3.所以函数f(x)有两个零点-1,3,即-1+3=2.13.已知函数f(x)=x,x≤1,lo13.{0,2,5}[解析]令t=f(x),由f(t)=0,解得t=0或t=2.由f(x)=0,解得x=0或x=2;由f(x)=2,解得x=5,故函数y=f[f(x)]的所有零点所构成的集合为{0,2,5}.14.函数f(x)=lg(ex+9x)+ln110x14.1[解析]由题意可知10x-9x>0,即(109)x>1,所以x>0,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞).f(x)=lg(ex+9x)+ln110x-9x=lg(ex+9