第04讲 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题原卷版

第04讲利用导数研究不等式恒成立与能成立问题目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查变量分离法解决恒成立问题 1题型二：重点考查分类讨论法解决恒成立问题 7题型三：重点考查分离变量法解决有解问题 12题型四：重点考查等价转化法解决恒成立问题（形如） 17题型四：重点考查双变量不等式问题（形如） 22题型五：重点考查同构法解决不等式能成立问题 28题型一：重点考查变量分离法解决恒成立问题典型例题例题1．（2024上·辽宁抚顺·高三校联考期末）已知函数.(1)若，求的极值；(2)若在上恒成立，求的取值范围.例题2．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．例题3．（2024上·湖南益阳·高二南县第一中学校考期末）已知函数，其中.(1)当时，求的极值；(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.2．（2024上·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间和极值；(2)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；3．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.题型二：重点考查分类讨论法解决恒成立问题典型例题例题1．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知函数(1)当时，求的最小值；(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a的值；(2)当时，求在上的最大值；(3)若对任意的，恒有，求实数a的取值范围．例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，其中．(1)若函数定义域内的任意x使恒成立，求实数a的取值范围；(2)讨论函数的单调性．精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）实数，，．(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)讨论的单调性并写出过程．2．（2024·全国·高三专题练习）设函数，其中.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，求实数的取值范围.3．（2024上·全国·高三专题练习）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.题型三：重点考查分离变量法解决有解问题典型例题例题1．（2024上·青海西宁·高三统考期末）已知函数.(1)证明：.(2)若关于的不等式有解，求的取值范围.例题2．（2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校联考模拟预测）已知．(1)讨论的单调性和极值；(2)若时，有解，求的取值范围．例题3．（2023上·江苏连云港·高二校考期末）已知，它们的图象在处有相同的切线．(1)求与的解析式；(2)若在区间上存在单调递增，求的取值范围．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数的极值；(2)若存在，使得成立，求实数m的最小值.2．（2023下·重庆渝北·高二重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知函数，且，其中．(1)求函数的单调区间；(2)若存在，使得成立，求实数b的取值范围．3．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知函数．(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值．(2)，使得成立，求实数的取值范围．题型四：重点考查等价转化法解决恒成立问题（形如）典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．例题2．（2023·全国·高三专题练习）设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线．(1)求函数，的解析式；(2)若对恒成立，求实数的取值范围．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中为常数，为自然对数底数）.若恒成立，求的取值范围．精练核心考点1．（2023上·广东·高三执信中学校联考期中）已知函数，，，若恒成立，则实数a的取值范围是．2．（2023上·天津北辰·高三校考阶段练习）已知函数，.（、）(1)当，时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.3．（2023上·北京丰台·高三统考期中）已知函数，．(1)当时，求函数的最大值；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的值．题型四：重点考查双变量不等式问题（形如）典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知，，若，使得成立，则实数的最小值是．例题3．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．精练核心考点1．（2023·贵州·校联考二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023上·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）已知函数，对于，都，使，则的取值范围为.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中参数．(1)求函数的单调区间；(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．4．（2024·全国·高三专题练习）设函数．(1)若函数在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；(2)当时，设函数，若在[上存在，使成立，求实数a的