第01讲 导数的概念与运算（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）

第01讲导数的概念与运算【人教A版2019】·模块一导数的概念·模块二导数的运算·模块三课后作业模块一模块一导数的概念1．瞬时速度(1)平均速度设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==.2．抛物线切线的斜率(1)抛物线割线的斜率设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=.(2)抛物线切线的斜率一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==.3．函数的平均变化率函数平均变化率的定义

对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)-f().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.【考点1瞬时速度、平均变化率】【例1.1】（2023下·高二课时练习）函数y=1x从x=1到x=2的平均变化率为（A．-1 B．-C．-2 D．2【解题思路】根据平均变化率的求法求得正确答案.【解答过程】当x=1时，y=1；当x=2时，y=1所以平均变化率为12故选：B.【例1.2】（2023下·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+4.8t+11．该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：mA．10.9 B．-0.1 C．6 D．-5【解题思路】对函数求导，将t=1代入导函数求瞬时速度即可.【解答过程】由题设h'(t)=-9.8t+4.8，则所以运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：ms）为-5故选：D.【变式1.1】（2023·高二课时练习）已知物体做直线运动对应的函数为S=S(t)，其中S表示路程，t表示时间．则S'(4)＝A．经过4s后物体向前走了10mB．物体在前4秒内的平均速度为10m/sC．物体在第4秒内向前走了10mD．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s【解题思路】根据导数的物理意义可知，S(t)函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求解即可．【解答过程】∵物体做直线运动的方程为S=S(t)，根据导数的物理意义可知，S(t)函数的导数是t时刻的瞬时速度，∴S'(4)=10表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为故选：D．【变式1.2】（2022下·北京丰台·高二校考阶段练习）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（

）

A．在t1B．在t2C．在t2D．在t1,t【解题思路】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【解答过程】A选项，根据图象可知，在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确B选项，根据图象以及导数的知识可知，在t2B选项结论正确.C选项，根据图象可知，在t2C选项结论正确.D选项，根据图象可知，在t1在t2D选项结论错误.故选：D.【考点2\o"导数定义中极限的简单计算"\t"/gzsx/zj166000/_blank"导数定义中极限的简单计算】【例2.1】（2023下·重庆长寿·高二校考期中）若函数fx在x=1处的导数为2，则limΔx→0A．2 B．1 C．12 D．【解题思路】根据题意，由导数的定义，代入计算，即可得到结果.【解答过程】根据导数的定义可得，函数fx在x=1处的导数为2则limΔ故选：B.【例2.2】（2023下·河北沧州·高二校考阶段练习）如果f'(x0)=2A．2 B．1 C．12 D．【解题思路】由f'(【解答过程】解：因为f'所以limk→0=1故选：B.【变式2.1】（2023下·福建宁德·高二校联考期中）已知函数f'x0=a，则d→0时，A．2a B．-2a C．12a D【解题思路】根据导数定义可得答案.【解答过程】由题意可得lim=1故选：C.【变式2.2】（2022上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知函数fx可导，且满足lim△x→0f3-Δx-fA．-1 B．-2 C．1 D．2【解题思路】根据导数的定义求解.【解答过程】因为lim△x→0所以f'故选:A.【考点3\o"利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）"\t"/gzsx/zj166000/_blank"利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）】【例3.1】（2023·高二课时练习）已知函数fx在x=1处的导数为3，则函数fx的解析式可能为（A．fx=3x-1C．fx=2x-1 D【解题思路】由导函数的定义计算可得答案.【解答过程】解：对于A：f'1=对于B：f'1=对于C：f'1=对于D：f'1=故选：A.【例3.2】（2023·高二单元测试）设函数fx=ax+1，若f'1=2A．2 B．-2 C．3 D．-3【解题思路】利用导数的定义可求a的值.【解答过程】∵f'1=∴a=2．故选：A．

【变式3.1】（2022下·贵州遵义·高二校考阶段练习）设f(x)存在导函数且满足limΔx→0f1-f1-3ΔA．-1 B．-3 C．1 D．-【解题思路】利用导数的定义求解.【解答过程】解：因为limΔ所以lim-3故选：D.【变式3.2】（2023·高二课时练习）定义1⋅2⋅3⋅⋯⋅n=n!，已知函数fx=xx-1x-2⋯x-2020在-1,+∞内的导函数为A．2019! B．-2019! C．2020! D．-2020!【解题思路】利用导数的定义公式f'x0【解答过程】因为f2019+Δxf2019+Δx所以f'2019故选：B．模块二模块二导数的运算1．基本初等函数的导数公式函数导数（c为常数）2．导数的运算法则符号表达文字叙述两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方3．复合函数的导数(1)复合函数的定义

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).(2)复合函数的求导法则

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【考点1

基本初等函数的导数】【例1.1】（2023上·河北邯郸·高三校联考阶段练习）下列求导运算中正确的是（

）A．4'=2 B．3x'=x⋅3【解题思路】根据基本初等函数的导数公式计算可得；【解答过程】对于A，4'=0，故对于B，3x'=对于C，lnx'=对于D，x5'=5x故选：D.【例1.2】（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知fx=x2+2xA．-2 B．2 C．-1 D．1【解题思路】根据题意，求得f'x=2x+2f【解答过程】由fx=x令x=1，可得f'1=2+2故选：A.【变式1.1】（2023下·甘肃天水·高二校考阶段练习）下列求导运算正确的是（

）A．(1x)'C．xe'=【解题思路】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解.【解答过程】对于A中，由(1x)对于B中，由x2-cos对于C中，由xe'=对于D中，由(ln2)'故选：B.【变式1.2】（2023下·陕西渭南·高二校考期中）已知f0x=cosx，f1x=f0'x，A．sinx B．-sinx C．cos【解题思路】根据基本初等函数的导函数分析可得fn+4x=f【解答过程】因为f0x=cosx可得：f1即fn+4x=所以f2007故选：A.【考点2复合函数的求导方法】【例2.1】（2023上·江苏南京·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（

）A．sinx-sinπC．log2x'【解题思路】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项.【解答过程】对于A，sinx-sinπ对于B，根据复合函数的求导法则，2x+12'=2对于C，log2x'对于D，2x+x2故选：C.【例2.2】（2023下·陕西榆林·高二校考期中）已知函数fx=sin2x+πA．-2 B．0 C．-1 D．1【解题思路】利用复合函数的求导法则即可求解.【解答过程】因为函数fx所以f'f'故选：A.【变式2.1】（2023下·宁夏银川·高二校考阶段练习）下列求导运算正确的是（

）A．ln2x-1'=-C．1x'=-【解题思路】根据导数的运算逐一判断即可.【解答过程】A：∵ln2x-1'=B：∵x+1x'C：∵1x'=D：∵exx'故选：C．【变式2.2】（2023下·广西玉林·高二校考阶段练习）设f0x=sin2x+cos2x,A．22020cos2x-C．22020sin2x+【解题思路】按照题意，依次求解，寻找规律，得到答案.【解答过程】f0x=f2x=f4x=依次计算，由于2020=4×505，得到f2020故选：C.【考点3与导数运算有关的新定义问题】【例3.1】（2023上·湖南益阳·高三统考阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'x是fx的导函数，f″x是f'x的导函数，则曲线y=fx在点x,fx处的曲率K=f″x1+A．0 B．12 C．1 D．【解题思路】根据曲率的定义求解即可.【解答过程】因为fx所以f'(x)=1-e所以曲线y=fx在0,-1处的曲率K=故选：C.【例3.2】（2023·四川攀枝花·统考三模）定义在R上的连续可导函数fx的导函数为f'x，fx满足f1-x=fx+1，且y=f4x+2为奇函数．当A．-5 B．-2 C．-1 D．1【解题思路】推导出函数fx、f'x均为周期函数，确定这两个函数的周期，结合周期性可求得【解答过程】因为函数y=f4x+2为奇函数，则f即f2-x+f2+x又因为f1-x=fx+1所以，fx+fx-2=0，可得即fx+4所以，f2023在等式fx+4=fx故函数f'x也为周期函数，且该函数的周期为因为f4-x+fx=0，令x=2时，则有所以，f2=0满足即当x∈2,3时，fx=所以，f'因此，f'故选：A.【变式3.1】（2022下·云南昭通·高二校联考期末）定义满足方程f'x+fx=1的实数解x0叫做fx函数的“自足点”A．fx=xC．fx=ln【解题思路】根据f'x【解答过程】对于A选项，fx=x2+3即x2+2x+2=0，Δ=4-8<0，因此，fx=x2对于B选项，fx=ex+1得2ex=0，又ex>0，所以2ex=0无解，所以f对于C选项，fx=lnx，则f'又f'1+f1=1，故函数fx=对于D选项，fx=e由fx+f所以sinx+cosx=2因为2sinx+π所以2sinx+π4故选：C.【变式3.2】（2023上·河南商丘·高二校考期末）给出定义：设f'x是函数y=f(x)的导函数，f″(x)是函数y=f'(x)的导函数，若方程f″(x)=0有实数解x=x0，则称(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f(x)=axA．8082 B．-8082 C．8084 D．-8084【解题思路】按定义求得拐点，即为函数y=f(x)的图像的对称中心，利用对称性化简求值即可.【解答过程】f'(x)=-3x2+6x，令f″(x)=-6x+6=0得x=1，f(1)=2故f(==4×2020+2=8082故选：A.模块三模块三课后作业1．（2023下·高二课时练习）质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2s时的瞬时速度是（

）A．2m/s B．6m/sC．4m/s D．11m/s【解题思路】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.【解答过程】质点M在t＝2s时位移的平均变化率为△S△t＝2(2+△t)2+3(2+△t)-2×22当Δt无限趋近于0时，△S△t无限趋近于故选：D.2．（2023下·新疆伊犁·高二统考期中）设fx=ax3+x，若fA．-2 B．-1 C．0 D．1【解题思路】求出导函数，将-1代入导函数，即可求出【解答过程】f'故选：D.3．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若函数f(x)=x2+x，则函数f(x)从x=-A．6 B．3 C．2 D．1【解题思路】根据条件，直接求出f(-1)=0，f(3)=12，再利用平均变化率的定义即可求出结果.【解答过程】因为f(x)=x2+x，所以f(-1)=故函数f(x)从x=-1到x=3故选：B.4．（2023下·河北廊坊·高二校联考开学考试）函数fx在R上可导，若f'2=3，则A．12 B．9 C．6 D．3【解题思路】根据题意，由导数的定义，代入计算，即可得到结果.【解答过程】limΔ故选：A.5．（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（

）A．2x-12'=2C．sinx-cosπ【解题思路】根据基本函数的求导公式以及四则运算即可求解.【解答过程】2x-12'=22x+xsinx-cosπ3'log2x'=故选:D.6．（2023上·北京·高三校考阶段练习）某种新产品的社会需求量y是时间t的函数，记作：y=ft．若f0=y0，社会需求量y的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，ft的导函数f't满足：A．①② B．①③ C．②④ D．①②④【解题思路】由f't=kft【解答过程】因为f't=kft500-f即函数y=ft单调递增，④又f'当且仅当ft=500-f则若y0<250，则等号可以取得，即导函数f'即在该处函数的变化最大，则③满足题意，②不合题意；当y0≥250时，等号取不了，但y=ft只有①③符合题意.故选：B.7．（2023下·河南驻马店·高二统考期末）定义在R上的函数y=fx在区间2,2+ΔxΔx>0内的平均变化率为ΔyΔx=ΔxA．-1 B．1 C．3 D．9【解题思路】利用导数的定义可求得f'2【解答过程】由导数的定义可得f'故选：B.8．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=ft，用-fb-fab-a的大小评价在a,b

A．在t1B．在t2C．在t3D．甲企业在0,t1，t1,t【解题思路】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力.【解答过程】设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W=ht，乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W=g对于A选项，在t1,t乙企业的污水治理能力g(t)=-gt2-g所以h(t)>g(t),即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；对于B选项，由图可知，h(t)在t2时刻的切线斜率小于g(t)在t但两切线斜率均为负值，故在t2时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B对于C选项，在t3故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；对于D选项，由图可知，甲企业在0,t1，t1在t1,t2时h(t故选：D.9．（2023上·四川·高三校联考阶段练习）已知函数fx及其导函数f'(x)的定义域均为R，且f(x-1)为奇函数，f'(2-x)+f'A．-28 B．-26 C．-24 D．-22【解题思路】根据题意利用赋值法求出f'1、f'3、f'5、f【解答过程】由f'2-x+f'x=-2由fx-1为奇函数，得fx-1=-f故f'x又f'2-x由①和②得f'2-x+所以f'x令x=-1，得f令x=1，得f'1+又f'x+4由③-④得f'x-所以函数f'x是以故f'所以f'所以i=1=6[f故选：B．10．（2023下·河南南阳·高二校联考期末）给出新定义：设f'x是函数fx的导函数，f″x是f'x的导函数，若方程f″x=0有实数解x0，则称点x0,fx0为fA．1-π24 B．-π24 C．【解题思路】二次求导，根据拐点定义求得x0，然后代入函数f(x)可得【解答过程】由题可知f'x=2结合题意知-4sin2x又-π4<x0故选：B.11．（2023·全国·高二随堂练习）下表为某水库存水量y（单位：万m3）与水深x（单位：m水深x/m05101520253035存水量y/万m0204090160275437.5650(1)当x从5m变到10m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；(2)当x从25m变到30m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；(3)比较（1）与（2）的数值的大小，并联系实际情况解释意义．【解题思路】（1）（2）问利用平均变化率公式计算即可；（3）结合前问结果比大小并解释意义即可.【解答过程】（1）根据表格可知当x从5m变到10m时，存水量y关于x的平均变化率为40-2010-5即当x从5m变到10m时，水库存水量随水深每增加1m，水量增加4万m3（2）根据表格可知当x从25m变到30m时，存水量y关于x的平均变化率为437.5-275即当x从25m变到30m时，水库存水量随水深每增加1m，水量增加32.5万m3（3）显然