《21.2.1 直接开平方法解一元二次方程》课件（两套）

21.2.1配方法第二十一章一元二次方程第1课时直接开平方法学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.(重点）1.如果

x2=a,则x叫做a的

.导入新课复习引入平方根2.如果

x2=a(a≥0),则x=

.3.如果

x2=64,则x=

.±84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课直接开平方法一

问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程10×6x2=1500，由此可得x2=25开平方得即x1=5，x2=－5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．x=±5，试一试：

解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得

x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.(2)当p=0

时，方程(I)有两个相等的实数根=0；(3)当p<0

时,因为任何实数x，都有x2≥0

，所以方程(I)无实数根.探究归纳一般的，对于可化为方程x2=p,(I)(1)当p>0

时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根，；利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳

例1

利用直接开平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=6，直接开平方，得（2）移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.典例精析在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:（x+3)2=5，②得对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5探究交流于是，方程（x+3）2=5的两个根为上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.解题归纳例2

解下列方程：⑴（x＋1）2=2；

解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）∵x+1是2的平方根，∴x+1=解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.例2

解下列方程：（2）（x－1）2－4=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移项，得（x-1）2=4.∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2.∴x1=

，

x2=(3)12（3－2x）2－3=0.解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5解：方程的两根为解：方程的两根为例3

解下列方程：1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？

如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2=p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流当堂练习

(C)

4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,

x1=;

x2=(D)

(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-4

1.下列解方程的过程中，正确的是（）(A)

x2=-2,解方程，得x=±(B)

(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4

D(1)方程x2=0.25的根是

.(2)方程2x2=18的根是

.(3)方程(2x-1)2=9的根是

.3.解下列方程：

(1)x2-81＝0；(2)2x2＝50；

(3)(x＋1)2=4.

x1=0.5,x2=-0.5x1＝3,x2＝-3x1＝2,x2＝－12.填空:解：x1＝9,x2＝－9；解：x1＝5,x2＝－5；解：x1＝1,x2＝－3.4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.①②③④解：解：不对，从开始错，应改为解方程:挑战自我解：方程的两根为课堂小结直接开平方法概念步骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法21.2解一元二次方程第1课时用直接开平方法等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.1、一元二次方程的概念复习回顾2、一元二次方程的一般形式1、判断下面哪些方程是一元二次方程√

×

×

×

×

练一练2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2化为一般形式是：___________,其二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.3、方程(m-2)x|m|+3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则（）A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2

2x2-3x-1=02-3-1C4、关于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?a2-4=0a+2≠0解:(1)∴a=2∴当a=2时，原方程是一元一次方程.(2)a2-4≠0∴a≠±2∴当a≠±2时，原方程是一元二次方程.5、已知关于x的方程(m-3)x2+2x+m2-9=0有一个根是0，试确定m的值.解：∵0是方程的解∴代入得m2-9=0∴m=±3经检验m=±3都符合题意∴m=±3.如何解方程：（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?解：（1）∵x是4的平方根即原方程的根为：x1=2，x2=－2

（2）移项，得x2=2

∵x是2的平方根∴x=

∴x＝±2即原方程的根为：x=，x=

12思考这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元二次方程的两个根.

像解x2=4，x2-2=0这样，利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法.什么叫直接开平方法？概括总结例1、解下列方程（1）x2-1.21=0

（2）4x2-1=0

解：（1）移项，得x2=1.21∵x是1.21的平方根∴x=±1.1即x1=1.1，x2=-1.1（2）移项，得4x2=1两边都除以4，得∵x是的平方根∴x=即x1=，x2=x2=例题练习即x1=-1+，x2=-1-

例2、解下列方程：⑴（x＋1）2=2

分析：只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；解：（1）∵x+1是2的平方根∴x+1=∴x+1=或x+1=例题练习⑵（x－1）2－4=0∴x1=3，x2=-1解：移项，得（x-1）2=4∵x-1是4的平方根∴x-1=±2即x-1=+2或x-1=-2例题练习⑶12（3－2x）2－3=0∴x1=，x2=解：移项，得12（3-2x）2=3两边都除以12，得（3-2x）2=0.25∵3-2x是0.25的平方根∴3-2x=±0.5即3-2x=0.5或3-2x=-0.5例题练习例3、解方程(2x－1)2=(x－2)2即x1=-1，x2=1

分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同样可以用直接开平方法求解解：2x-1=即2x-1=±（x-2）∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2例题练习首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.归纳1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有x2=a（a≥0）或（ax＋h）2=k（k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.;x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-4

1、下列解方程的过程中，正确的是（）(A)x2=-2,解方程，得x=±(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,

x1=D练一练2、解下列方程：

（1）x2-0.81=0

（2）9x2=4练一练3、解下列方程：（1）（x+2）2=3（2）（2x+3）2-5=0（3）（2x-1）2=（3-x）2

练一练A.n=0B.m、n异号

C.n是m的整数倍D.m、n同号已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方