天津市河北区2022-2023学年高三年级上册期末数学试题（解析版）

河北区2022-2023学年度第一学期期末高三年级质量检测

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.

第I卷1至3页，第n卷4至8页.

第I卷（选择题共45分）

注意事项：

L答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴

考试用条形码.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.

3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

•如果事件A,B互斥,那么=P⑷+尸⑶

•如果事件A，5相互独立，那么闩・七一：T；二'

・球的表面积公式s=4%出球的体积公式'其中R表示球的半径

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,5={2,3,4）C={1,2）则（）

A.B.c{-12.35D［1.2.3.4）

【答案】D

【解析】

【分析】由交集和并集定义直接求解即可.

［详解］=5={2,3,4）iXnC）U5={1,2,3,4）

故选：D.

1

2.设R,则是«（X+1I（2X-1）＞0M的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据推出关系直接判断结果即可.

【详解】由（"1心xT）＞°得：X＜-1或

―，-

1

是“（x+luX-L的充分不必要条件.

故选：A.

3.已知球。为正三棱柱的外接球，正三棱柱，石。-445的底面边长为1,且球。的表

31n

面积为3,则这个正三棱柱的体积为（）

书3j33/

A.4B.4c.2D.W3

【答案】B

【解析】

【分析】利用球的表面积公式可求得夫，根据正棱柱的外接球半径满足』可构造方程求得

正棱柱的高，代入棱柱体积公式可求得结果.

【详解】设正三棱柱的高为“，球。的半径为凡

5=w=—咫=卫

♦.•球。的表面积3,解得：12,

•.•正三棱柱'喈0-44口的底面二45c是边长为1的等边三角形，

11

f*=XS.=

2sinn—3

J5c的外接圆半径3,

j,1,131

..Jni3=r+-h=—+—力13=

43412,解得：入=3,

.r„,1..>/TR3J3

"*MC-4AC-S_R/=_x]x|x—x3=——

一■q.

故选：B.

4.某校将举办秋季体育文化节，为了解该校学生的身体状况，抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数

据整理后，作出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为】23,第二小组频数为

13,若全校男、女生比例为1V12,则全校抽取的学生人数为（）

A.100B.80C.45D.32

【答案】A

【解析】

【分析】设第一小组的频率为x,进而根据频率和为1求得'=01丫,进而根据频率分布直方图求解即

可.

【详解】设第一小组的频率为x,则由频率分布直方图，得1+二丁+口+00375-5+00125・5=1.

解得\=0125,第二小组的频率为=025,

—=52

•.•第二小组频数为13,抽取的男生人数为015

•全校男、女生比例为1312,

52+52X12=1Q0

:.全校抽取的学生人数为13

故选:A.

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值符号即可由排除法选出正确图象.

所以函数一门A是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项4D,

/田=0

因为当0<x<2r时，/(D=0,'

n5

X€~x-->0.cosx<0，八」vO

又因为，时，X，所以/⑶<u

e

xX-->0,CMX>0^所以故在区间的力与1轴有三个交点，故排除E.

故选：c.

=3*=m---a2

6.若？，且。b,则用=()

1

A.0B.

亚

C,加D.6

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，将指数式化成对数式，再借助换底公式及对数运算法则计算即得.

A-=3*=ma=iogjm=-logjm

【详解】因为2,于是得7,°=logjm,

1_1=2

又因为ab,则有T°g.二一3=L即bg.6=一2，因此，切今=6,而僧>0,解得

m=----

6,

所以

故选：D

x3yJ

<?-r-R=l[a>Qb>0|j,jj

7.设双曲线h夕的焦距为「。，若°力,c成等差数列，则双曲线的渐近线方程

为（）

A.r=±J5.vB.m

y=士£

C.D「

【答案】A

【解析】

b_

【分析】根据等差数列定义和双曲线）上了关系可求得。，由此可得渐近线方程.

【详解】•・'/•川•）成等差数列，少=/+）,又

.2=JT

一»'=2aW,gp&3=2a3,a,

双曲线的渐近线方程为：丁二士0L

故选：A.

8.将三颗骰子各掷一次，记事件H=”三个点数都不同"，B=”至少出现一个6点”，则条件概率

尸（小।分别等于（）

60.,6020,,20

A.91,TB.T,91c.91,-D.T,91

【答案】B

【解析】

【分析】由古典概型概率公式分别求得尸（/、尸13）,尸（至），代入条件概率公式求解即可.

【详解】由题意知：事件,45=”三个点数都不同且至少出现一个6点”，

A'P056‘一5’91

・"⑷=十=水”尸⑻:6'216,

55

〜।、P(AB\口1〜-P(AB］夜60

P5L4=――^=空=-P=――-=-^-=—

'1'P(A)52「'p⑻9191

9,216

故选：B.

/（x）=—sin（ox+—）（<D>0）

9.设函数.23的最小正周期为力，则下列说法正确的是（）

zr

A.函数门'）的图象关于直线’-3对称

B.函数C7的图象关于点1--对称

（-2&

C.函数73在K'上单调递减

5”

D.将函数/（'）的图象向右平移个单位，得到的新函数是偶函数

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的最小正周期，求得②的值，也即求得函数的解析式，然后根据三角函数的图象

与性质，对四个选项进行逐一排除.

【详解】依题意得”,解得所2,所以…■吨"一于

=—sinn=0X_2L«(、x-2L

,故3是函数的零点，所以A选项错误.当.12

、兀■兀、,冗1兀

Jx—+—=sn—=Ix=一八

［,故12是函数•'的对称轴，所以B选项错误.由上述分析可知,

K5/r

当一】2时，函数取得最大值，故c选项错误.函数''"的图象向右平移12个单位，为

15nYft11.Cn\1、

-stnJx--+—=—«nJx—=—cosJx

2LV3J2V2J2为偶函数，故D选项正确.

【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查三角函数的零点、对称轴、单调区间以及三角函数图象

变换等知识，综合性较强，属于中档题.三角函数的零点或者说对称中心的关键点是对应的函数值为零，

三角函数对称轴位置的函数值为最大值或者最小值的位置.

第II卷

注意事项:

1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上.

3.本卷共11小题,共105分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.

2丁】

io.1是虚数单位，复数的虚部为.

【答案】2

【解析】

【分析】利用复数除法运算和虚部定义可直接求得结果.

2+112+i)U+iIl+3i13.c.j2

【详解】1-1,IT的虚部为

3

故答案为：2.

11.二项式IV7展开式中常数项为.

【答案】240

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式，令其中1的指数等于0,即可得出r,再代入得出答案.

【详解】二项式的通项公式为

令】2-3r=0,解得r=4,

则展开式中常数项为,

故答案为：240

12.已知直线，过点P°J,且与圆°：i+j'=3相交于48两点，设前・力+赤，若点c在圆°

上，则直线，的倾斜角为.

【答案】30。或150°

【解析】

___________|8|应立

【分析】由=+可以判断四边形。月08为菱形，点。在圆。上，则22,转化

走

成。点到直线】'=匕+1的距离为2,即可求出答案.

【详解】因为质而，则四边形04CB为菱形，所以OC_L儿8.

「呀的=3

设。为垂足，因为点°在圆。上，则】-.

^=坐入1卜=±叵

设直线，•的方程为1,由&：+1,，得3,即一3,所以直线，'的倾斜角为30。或

150°.

故答案为：30。或150。.

13.已知a>0,b>Q,且a+*>+ab=9,则a+力的最小值为.

【答案】6

【解析】

ab--3ab=9-ia+3i>)

【分析】将已知等式化为3,利用基本不等式可构造不等式求得结果.

【详解】由门+外+必=9得：而=9-(a+"l又a>0,b>0,

-3ab=9-(a+3d)S——--

，I~J(当且仅当a=36时取等号)，

(a+如+12(a+")-108N0,解得：a+3ds-18(舍)或a+»N6,

当。="=3时，<3+至>取得最小值6.

故答案为：6.

ZB4C--

14.如图所示，在二钻C中，.48=4,,4(7=3,3,尸是BC上一点，且满足

AP-mAC+—AB——

,则实数加=；巫CB=.

【解析】

2।—1—2—

□CD”+：=1)n=—AP=—>1C+—AB

【分析】由于尸三点共线，所以，得3,所以由于4B=4,

4。=3/率°=7，所以将福旅作为基底，而而=无一冷，所以

APCB=|i^4C+^A5|（AB-~A^）=^AB--~ABAC--AC'

，代值可得结果

【详解】AC,Q的终点共线，

2*

e+—11m=一

:.33,

1_，_

AP--AC+^AB

又•/C5=-43-AC,

APCB=\-AC+^AB\（AB-AC）=^AB：--ABAC--AC2

V3J333,①

,：AB=4,AC=>,3,

--3.--2八AB=4x3xcos。=6

:.AB=16,<C=9,3

―17

APCB^—

代入①式，计算得：3.

17

故答案为：3,3.

【点睛】关键点点睛：本题考查了向量共线的应用，平面向量基本定理的应用以及数量积的计算，属于典

型的向量综合题，难度适中，解题的关键是将,花•4。作为基底，把儿”用基底表示出来

2x-x,.xi0

，(x)=<]

''—x<0

15.己知函数，若函数gtF=l」T'恰有三个零点，则实数次的取值范围

是.

—,0

【答案】14」

【解析】

【分析】将零点问题转化为函数尸=1/('||的与'二'1一所的交点个数问题，画出两函数的图象，利用导

函数求出当直线=、一"与】‘=1I相切时的两的值，数形结合求出实数不的取值范围.

【详解】作出函数的与、一‘"图象如图：

故当e<-2时，函数F=x-m与J=|/('恰有三个交点,

故g⑴=|/3-\+〃：恰有三个零点；

当】•=》-州为J・久-/(牌(0.1))的切线时，即r'=2-2x=l,解得“'I,

令当.v=.\_巾过原点时，切=0,

1八

——<”140I/*/J

所以由图象可知：当4时，满足函数】'='-僧与—s一一T।恰有三个交点,

故g(x)=|/⑴L\+~恰有三个零点；

(-®.-2)u[--.0

综上加的取值范围是v4J.

(-oo,-2)u|-l,0

故答案为：V4J

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

._LCCS

16.在一姆0中，内角A8,L所对的边分别为a.b.c,已知＜；=7,"=3,14.

(1)求边c的值和一虻「的面积；

sinf2C--l

(2)求'°，的直

71

⑵98

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理可求得c,根据同角三角函数关系求得nnC,代入三角形面积公式即可求得

结果；

(2)利用二倍角公式可求得外11，、"")。，利用两角和差正弦公式可求得结果.

【小问1详解】

1+6,-2abcosC=49+9-42x—=t25

由余弦定理得：14，解得：c=5；

„11「50.01i一17v25J515群

.co$C=讶c/on).灿0=廿••＞、"dsinC--x7*3x—=

2144.

【小问2详解】

55G

sin2C=2smCcosC=­―-cos2C=2co^0-y=—

由⑴得:98,98,

sin[2C-A=sin2Ccos--cos2Can-=23171

---x-=--

L6)6698298298.

17.如图，FQ垂直于梯形/BCD所在平面，N4DC=N£AD=90",户为H4的中点，PD=6,

AB=AD=—CD=1

,四边形五为矩形.

P._______________NE

AB

(1)求证：＜0〃平面口E尸；

(2)求平面-430D与平面£。？的夹角的大小；

(3)求点尸到平面3仁户的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵45'

(3)4

【解析】

【分析】(1)设CPPlDEuG,由三角形中位线性质可得由线面平行判定定理可得结论;

(2)以D为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果；

(3)利用点到平面距离的向量求法可求得结果.

【小问1详解】

设。户口09=7,连接网3,

♦.•四边形PDCP为矩形，：G为尸0中点，又尸为R4中点，;

又Ru平面DM,dCu平面平面DM.

【小问2详解】

以D为坐标原点，DA。匚匚尸正方向为工卜二轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

M5(1,1,0)C(0,2,0)尸(0。右)而=(-l,L0)诙=(0.-2.©

设平面3CP的法向量

BC5=一升,=0

‘不强Tv+后叫令『1,解得：X=l,一3,

1•二轴,平面48,平面.08的一个法向量E=（60/I,

--IP^lM

HH-,则平面•西CD与平面3cp的夹角为45二

【小问3详解】

尸"kp（ooV21PF~

由⑵知：<--人口VMV-J,<--）,

由平面3CP的法向量”=（LL01,

八%LL

,点尸到平面BCP的距离H4.

18.已知数列值7是递增口等比数列，g=5且a「a尸26.

（1）求数列1°J的通项公式；

（2）求数列।的前“项和I.

【答案］（i）&=y+i

^=（n-l|2-*l+i-+^+2

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意列出方程求出;4-D公比可得;

（2）根据错位相减法及分组求和即可得解.

【小问1详解】

设数列A7的公比为q,4,4T则％=2+1.

由g=5得4=4,由%+a.=二6得U+"=24,

所以"”/）=?4,解得《=?或q=_3（舍去），

所以。融2=八"=?

所以数列［4；的通项公式为4=y+L

【小问2详解】

由条件知肛="丁+〃，设4=】x"2xy+3xp+…+足・

则？4.=k2'+：^：!3+3）（丁++5-1）*丁+力乂2“】

将以上两式相减得一儿=二上：+丫++2,-nx2*1=2(2*-l)-nx尸=(1-«)出

所以4=(”7)尸+?

5=1+2+3++”」-----i

设2

一..n3n

2=4+3=57)尸+“i'v+

则222

19.已知椭圆萨川点吨右）,且离心率’邛，歹为椭圆c的左焦点.

（1）求椭圆c的方程；

（2）设点7'-'巾1,过点尸的直线/交椭圆C于P,。两点，TF连接OT与PQ交于点

①若求I&L

四

②求四QI的值.

+=1

【答案】（1）6

6.

（2）①5；②1

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求0上1,即可得椭圆方程；（2）①求直线）的方程，联立方程结合弦长公

式运算求解；②求直线；的方程，联立方程运算韦达定理说明点》为线段改'的中点，注意分类讨论

m=0和桁=0

【小问1详解】

6=7?

c=2

b=W

t3+?

由题意可得,解得a-布

xy.

椭圆c的方程为6

【小问2详解】

①当m・Q时，即7（-3,灼,尸T.0）,直线7F的斜率为-3-（-2）

•••直线，的斜率为2,则直线，的方程.

,m-0

-&7=----：*=一切

②尸(-2.0),则直线厅的斜率为

网_l

当力=0时，则直线/与x轴垂直，点X即为点R则尸口；

,1