广东省清远市四校2023-2024学年高二年级上册期中联考数学试卷(含答案)

广东省清远市四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1、抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件4="点数为大于2小于5”,3="点数为偶数”，则

A8表示的事件为（）

A.“点数为4”B.“点数为3或4”

C.“点数为偶数”D.“点数为大于2小于5”

2、已知向量可=（—3,2,5）,Z—I=1）,则|』=（）

A.61B.V61C.13D.713

3、在四面体OABC中，点M,N分别为线段OA,BC的中点，若MN=xOA+yOB+zOC,则

x+y+z的值为（）

OjM

4、从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生

的概率为（）

5、若直线2mx+y-4加-1=0的斜率k<0,那么该直线不经过（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6、已知空间向量a=（-1,0,1）/=（羽1,1）,且。力=1,则向量。与匕的夹角为（）

A.—B.—C.-D.-

6336

7、《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描

述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图，在“阳

马”P—ABCD中，上4J_平面43。。,|4£）|=2|45|=|尸4|,则直线/3。与面P3D所成角的

正弦值为（）

p.

A[\\D

/I///

B：——乂

A.逅B乒C.BD亚

9933

8、已知直线/:（加+2）x+（ml）y-3止3=0,点M（4,3）,记M到2的距离为"，则d的取

值范围为（）

A.[0,8）B.[0,8]C.[0,2A/2）D.[0,272]

二、多项选择题

9、已知向量a=（—2,—3,l）,6=（2,0,4）,c=（—4,—6,2）则（）

A.a//cB.a.LbC.allbD.b.Lc

10、已知直线/:x+退>=1,则（）

A.直线/的斜率为-且

3

B.直线/的倾斜角为120。

C.直线/不经过第三象限

D.直线/与直线区+3y-2=0垂直

11、6个相同的分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.记

第一次取出球的数字为X「第二次取出球的数字为X?.设X='，其中[X]表示不超

_X?.

过X的最大整数，则（）

S2

A.P（X1>X2）=-B.P（X1+X2=5）=-

C.事件“X]=6”与“X=0”互斥D.事件“X?=1”与“X=0”对立

12、如图所示,正方体ABCD-AgG。中，筋=1，点尸在侧面BCC4及其边界上运动，

并且总是保持AP，BQ,则以下四个结论正确的是（）

A.BDt1PCB.AP1BC,

C.点P必在线段3c上D.AP〃平面AG。

三、填空题

13、设A,民C为三个随机事件，若A与3是互斥事件乃与C是相互对立事件，且

尸(A)=；,P(C)=3则P(A+B)=.

14、过点P(-1,4)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为.

15、已知向量2=(2,4,©)=(2,1,2),；=(—2,2,1)且，。共面，则

\a+b+c\=.

16、已知两条平行直线4:x-2y+l=0,4：MC-y+〃=0间的距离为石，则

|2m—2n|=.

四、解答题

17、如图所示，已知三角形的三个顶点为A(2,4),3(1,-2),C(-2,3)求：

(1)3c所在直线的方程；

(2)边上的高AD所在直线的方程;

(3)三角形A3C的面积.

18、从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛.

(1)将5名学生做适当编号,把选中2人的所有可能情况列举出来;

(2)求所选2人中恰有一名女生的概率；

(3)求所选2人中至少有一名男生的概率.

19、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，上4，底面ABCD,E,F分别是PC,PD

的中点,以=45=1,6。=2.

(1)求3尸两点间的距离；

(2)求证：所〃平面以3;

(3)求证：平面平面PDC

20、甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.8,0.7,且每次试跳成

功与否相互之间没有影响，求：

(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；

(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；

(3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.

21、已知直线/:Ax-y+2+4左=0(keR).

(1)求证：直线/经过一个定点；

(2)若直线I交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,0为坐标原点，设△AOB

的面积为S,求S的最小值及此时直线I的方程.

22、如图所示，在正四棱柱ABCD-A4GA中，54=4,AB=1"是。，的中点，

(1)求3到平面MAC的距离;

（2）在棱8月上是否存在一点P,使二面角M-AC-P为£?若存在，建立适当坐标系,

写出P点坐标，若不存在,请说明理由.

参考答案

1、答案：A

解析：A="点数为大于2小于5"={3,4},

3=“点数为偶数”={2,4,6},则A5={4},

故A8表示的事件为“点数为4”.

故选：A.

2、答案：B

解析：由a=(-3,2,5),a—人=(1,5,—1),得人=a—(a—加=(-4,-3,6),

16=加-4)2+(-3)2+62=病.

故选：B.

3、答案：C

解析：由政V=ON-=103+10。二。4

222

]_

%=-

2

1

又MN=xOA+yOB+zOC,则<y=2

1

z=一

2

所以x+y+z=g

故选：C.

4、答案：A

解析：设2名男同学为A，43名女同学为区,不,与

从以上5名同学中任选2人总共有

AA,44，■，4鸟，4耳,&耳,，耳鸟,百与，耳为共1。种可能,

选中的2人恰好是一男一女的情况共有共6种可能

则选中的2人恰好是一男一女的概率为0.6,

故选：A.

5、答案：C

解析：直线2mx+y-4m-1=0可化为m(2x-4)+(y-1)=0

则直线2根x+y—4%一1=0过定点（2,1）,

又直线2mx+y-4%-1=0斜率%<0,

故该直线不经过第三象限.

故选：C.

6、答案：C

解析：因为a・B=-％+o+1=1,所以％=o,即1=（0,1,1）,

则有|。|=行,|切=0,

所以cos〈a,。〉=.&b.=.J厂=，，又因为〈。/〉w[0,兀],

|a||&|V2-V22

所以向量。与b的夹角为4

3

故选：C.

7、答案：A

解析：因为Q4J_平面A3CD,A3,A£>u面A3CD,底面A3CD为矩形，

所以ABARAP两两垂直，

设A5=1,AO=AP=2,以AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图,

则5(1,0,0),C(l,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2)

所以3。=(―1,2,0),BP=(-l,0,2),PC=(1,2,-2)

设平面P3D的法向量为“=(%,%z),

"•BD=-x+2y=0.iTT

所以，令x=2,则y=l,z=l所以取〃=(2,1,1),

nBP=-x+2z=0

直线PC与面PBD所成角的正弦值为|cos5,PC)\=nPC=与与=逅.

|/7|.|PC|V6-V99

故选：A.

8、答案：C

解析：若直线I过点Af(4,3),则4(m+2)+3(m-l)-3m-3=4m+2=0,解得根=,

此时，点M到直线I的距离为d=0;

由直线I:(m+2)x+(m-1)y-3〃?-3=0,可得祖(x+y-3)+2x-y-3-0,

,fx+y-3=0r5/口fx=2

由ccc，可解得「

2x-y-3=Q[y=1

即直线/：O+2)x+O—l)y—3〃?—3=0过定点A(2,l),

则|M4|=J(4_2)2+(3-lU7m=1,

当直线/:(根+2)x+(m-l)y-3根一3=0与直线MA垂直时,d=20最大，

此时，直线/的斜率为k=-金=-1,m的值不存在,即这样的直线/不存在，

m—1

所以04d<2&.

故选：C.

9、答案：ABD

解析：A选项，因为c=2a,所以a//c,A正确；

B选项，因为a必=—2x2+(—3)x0+lx4=0,所以正确；

2=-2k

C选项，设匕=hz,则有<0=-3Z,方程组无解，故a力不平行,C错误;

4=k

D选项,6•<?=(2,0,4)•(―4,—6,2)=—8+0+8=0,故b，c,D正确.

故选：ABD

10、答案：AC

解析：由题设/:y=-+走,倾斜角0。48<180。，

-33

则tan6=—且n。=150°,A对,B错；

3

直线/斜率为负值,y轴截距为正值，

则直线/过第一，二,四象限，不过第三象限,C对；

由氐+3y—2=0，可得其斜率为

且"、」一

由—

3I3J3

可得直线/与6x+3y—2=0不垂直,D错.

故选：AC.

11、答案：AC

解析：由题意,6个相同的分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,

每次取1个球.

二共有36种可能的情况淇中&>X。的情况共有：浮=15,

;.P（X1＞乂2）="=9,故A正确

11273612

两次取球数字之和为5的情况有以下四种：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)

41

.•.P（X]+X2=5）=—=—,故B错误.

―27369

6

当X1=6时,X=HO,

X]

事件"X]=6”与“X=0”互斥，故C正确.

Y

当x2=i时,x=d=国卜0,

Y

当X。=2,X1=2时,X=」=1H0

事件“X2=1”与“X=0”不对立，故D错误.

故选：AC.

12、答案：ACD

解析：以。为原点,分别以D4,DC,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系如下图

所示，

则A(1,O,O),5(1,1,0),C(0,l,0),£>(0,0,0),A(1,0,1),(1,1,1),Q(0,1,1),D1(0,0,1)

设。(七,1，4),(石，4e[0,l])

则AP=(七一1,L4),BQ=(-1-1,1)

由AP，BDX,

可得AP.BQ=(玉_1,1，4>(_1,_1,1)=_%+1_1+4=4—芯=0,即/=z-

又CP=(玉,0,4),则CPBDX=(-l,-l,l).(x1,0,z1)=-%1+z]=0,

故CP，BD]，故选项A判断正确；

由5^=(—l,0,l),AP=(X]—l,LzJ

WBq-AP=(^1-l,l,z1).(-l,0,1)=1-^+21=1^0,

则两向量6G与AP不垂直，故AP与BC]不垂直，故选项B判断错误；

又B.C=(-1,0,-1),4P=(七一1,0,Z]—1)

令4P=X4C,Xe[0,l]则有I,.，解N得1,.

Z]—1=-%Z[=1—A

此时-X[+Z[=0,X],Z]e[0,1],2e[0,1]均成立.

故点P必在线段用C上,故选项C判断正确；

设平面4G。的一个法向量为冽=(x,y,z),

又A&=(-M,0),4。=(To,-D.

则1，令％=1,贝1J丁=1,2=—1贝!]m=(1,1,一1),

-x-z=0

由Tn,AP=(1,1,—!),(玉—1,1,Z])=,-[+]—Z]=%—Z]—0,

可得加又AP<Z平面AG。，

则AP〃平面,故选项D判断正确.

故选：ACD.

13、答案：-

6

57

解析：由3与C是对立事件，可得P(3)=l-P(C)=1-五=五

由A与3是互斥事件，可得

175

P(A+JB)=P(A)+P(B)=-+—=-.

故答案为：

6

14、答案：2x+y-2=0

解析：直线x—2y+3=0的斜率为:，

则过点P(-l,4)且垂直于直线x-2y+3=0的直线斜率为-2,

则所求直线方程为y-4=-2(x+1),

化为一般式为2x+y-2=0.

故答案为：2x+y-2=0.

15、答案：3岳

解析：若a,。，c共面，则存在非零实数％满足c=Xa+〃Z?,

则(—2,2,1)=2(2,4,x)+〃(2/,2)=(2X+2〃,42+〃,Xx+2〃),

24+2从=—22=1

即<44+〃=2，解得<〃=-2,

2%+2//=1x=5

所以。=(2,4,5),则a+b+c=(2,7,8),

所以|a+Z?+c|="+72+82=3而.

故答案为：3岳.

16、答案：5

解析：根据题意，两条直线4:x-2y+l=0,/2:+〃=0平行,

必有-1*(-1)=(-2)*机,解可得机=—

2

则/2：7加一丁+a=0即»X一,+〃=0,变形可得x—2y+2〃=0,

又由两条平行直线间的距离为6，则有空/U=75,

V1+4

故|2"-11=5,解之可得“=3或”=一2,

则〃=3时|2m—2〃|=|1—6|=5;〃=—2时|2一一2%|=|1+4|=5.

故答案为：5.

17、答案：(1)5x+3y+l=0;

(2)3x-5y+14=0;

23

(3)—

2

解析：(1)因为5(1,—2),C(—2,3)

所以直线3c的两点式方程为色=」，

3+2-2-1

化简得5x+3y+l=0;

0—35

(2)因为凝c=---------,又

1-(-2)3

则原c.Lw=一1，所以心O=5，

则直线AD的方程为y-4=：(x-2),

即3x—5y+14=0.

(3)点A(2,4)到直线BC:5x+3y+l=0的距离

,|5x2+3x4+l|2323取

AD=---/:---—------

V？TFV3434

又△ABC的底边|BC\=’(3+2)2+(-2-1)2=庖，

所以△ABC的面积为S=2xV^x竺叵=”.

2342

18、答案：（1）详见解析;

解析：（1）3名男生分别记为A,5,C,2名女生分别记为a,瓦

从中任选2人的所有情况为：ABACAaAb,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10种；

（2）所选2人中恰有一名女生的情况有：4"瓦加,班。,。0共6种，

所以所选2人中恰有一名女生的概率是P=^=j;

（3）所选2人中至少有一名男生的情况有：A5AGA""3aBa,M,Ca,C0共9种，所以

Q

选2人中至少有一名男生的概率P=—.

10

19、答案：（1）-

2

（2）证明见解析

（3）证明见解析

解析：（1）由题可知底面

以A为原点,A3所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),5(1,0,0),C(1,2,0),£>(0,2,0),P(0,0,l)

・・•石t小C=

即3尸两点间的距离为士.

2

(2)由(1)知,EP=1—g,O,o],AP=(O,O,l),

AD=(0,2,0),DC=(1,0,0),AS=(L0,0),

所以a=—』AB,即EF//AB,即EF//AB,

2

又ABu平面以瓦跖.平面PAB,

所以所〃平面PAB.

(3)由(2)知,AP=(0,0,l),AD=(0,2,0),£>C=(l,0,0)

所以AP•OC=(0,0,1)-(1,0,0)=0,

AD-DC=(0,2,0)-(1,0,0)=0

则AP,DC,A。，DC即APLDC.AD，。。

又AP4£>=4,且4。,^£)匚平面以。，

所以DC，平面以。，

又。C,平面PDC,

所以平面PAD_L平面PDC.

20、答案：(1)0.032

(2)0.94

(3)0.2976.

解析：(1)设“甲第i次试跳成功”为事件A，“乙第i次试跳成功”为事件及，

依题意得P(4)=0.8,P(4)=0.7且A,.,B,(i=1,2,3)相互独立.

“甲第三次试跳才成功”为事件4HA，且三次试跳相互独立，

,

P(AWA)=P(4)/(A)P(A3)=0.2X0,2X0,8=0.032.

即甲第三次试跳才成功的概率为0.032.

(2)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C,则e=4及，

P(C)=P(C)=1-P(^)P(^)=1-0.2X0,3=0.94.

即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.94.

(3)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件M,.(i=0,1,2),

“乙在两次试跳中成功i次”为事件N,.(i=0,1,2),

事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为必乂+“2乂,且

加囚0，加2乂为互斥事件，

所求的概率为P(M风+M2)=尸(必乂)+尸(%乂)

=P(M)P(O)+P(M)P(N)=C；*0.8X0.2X0.32+0.82义C；义0.7x0.3

=0.0288+0.2688=0.2976.

故甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.2976.

21、答案：(1)见解析

(2)S的最小值为16,直线/的方程为x-2y+8=0

解析：(1)直线/:依一y+2+4左=0(keR),

可化为丁=左(％+4)+2,故直线/过定点(-4,2).

(2)由(1)得直线/过定点(T,2),

又直线/交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,

则左>0,

令％=0,得y=2+4左，所以A(0,2+4Q,

令y=0得