2023年四川省泸州市高考理科数学二诊试卷及答案解析

2023年四川省泸州市高考理科数学二诊试卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）设集合A={x∣∣x∣<2},B=Ulx2-3x<0},则AUB=（）

A.（-2,3）B.（-2,0）C.（0,2）D.（2,3）

2.（5分）若复数Z=（x2-l）+（x+l）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数X的值为（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

3.（5分）某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，

整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（）

B.估计这批产品该项质量指标的众数为45

C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60

D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在［50,70）的概率约为0.5

TTTTTTTT

4.（5分）已知非零向量a、b满足向量Q+b与向量Q-b的夹角为5，那么下列结论中一定

成立的是（）

A∙a=bB.IQI=IblC.al.bD.a//b

5.（5分）己知函数/（无）=沼，则（）

A.7（x）在（-1,+∞）上单调递增

B.f（x）的图象关于点（-1,1）对称

C./（x）为奇函数

D.f（x）的图象关于直线y=x对称

6.（5分）（l+x）2+（l+x）3+∙∙∙+（l+x）9的展开式中W的系数是（）

A.60B.80C.84D.120

7.（5分）已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，出_L平面ABC,PA=2AB,则下列

命题中错误的是（）

A.AELL平面

B.直线尸。与平面ABC所成角为45°

C.平面PBC与平面PE尸的交线与直线4。不平行

D.直线CO与PB所成的角的余弦值为三√5；

8.（5分）已知点P（α,b）是曲线C：y=上3一#+1上的点，曲线C在点P处的切线

平行于直线6x-3y-7=0,则实数”的值为（）

A.-1B.2C.-1或2D.1或-2

9.（5分）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：t=-42n∕*C为时间，单位

k力一气

分钟，。0为环境温度，b为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设一杯开水温度θl=

100℃,环境温度。。=20℃,常数Z=O.2,大约经过多少分钟水温降为40℃?（结果保

留整数，参考数据：历2-0.7）（）

A.9B.8C.7D.6

10.（5分）已知在RtZ∖4BC中，斜边A3=2,BC=I,若将RtZ∖ΛBC沿斜边45上的中线

CQ折起，使平面ACQ_L平面BCQ,则三棱锥A-8CQ的外接球的表面积为（）

1320107

A.—itB.—TiC・—TrD.-Ti

3333

X2V2

11.（5分）已知双曲线"一三=1（α>0,⅛>0）的右焦点为尸2,点M,N在双曲线的同

αzb2

一条渐近线上,O为坐标原点.若直线乃M平行于双曲线的另一条渐近线,且OF2，尸加，

IM=李乃川，则该双曲线的渐近线方程为（）

11√2

A.y=±-χB.y=+-XC.y=±-XD.y=±2r

422

12.（5分）已知点A（l,-1）,B（4,O）,C（2,2）,平面区域C是由所有满足G=λ½⅛+μ∕∏?

（其中入∈[1,a],μ∈[l,b]）的点P（x,y）组成的区域，若区域。的面积为8,贝∣J4。+6

的最小值为（）

A.4√2B.5+4√2C.5D.9

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）计算84+第一/。。23的值为.

14.（5分）已知等差数列伍〃｝满足。2+〃5+。8=15,则Q3+"7=.

15.（5分）函数/（x）满足：①定义域为R,（2y（-%）+∕ω=o,③色上上口>（）.请

%1一%2

写出满足上述条件的一个函数f（x）,于（X）=.

16.（5分）如图，正方体ABen-Al中，点E,尸是BC上的两个三等分点，点G,

H是Agl上的两个三等分点，点“，N,P分别为A8,CIfh和CQ的中点，点。是AlM

上的一个动点，下面结论中正确的是.

①F”与ACI异面且垂直；

②FG与ACl相交且垂直；

③£>iQ〃平面EFN；

④Bi,H,F,P四点共面.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（12分）为配合创建文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机

动车不礼让行人的行为.经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的

车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如下的频率分布直方图，数据中

凡违章车次超过40次的路口设为“重点关注路口”.

（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的平均数；

（2）现从支队派遣3位交警去违章车次在（30,50］的路口执勤，每人选择一个路口，

每个路口至多1人，设去“重点关注路口”的交警人数为X,求X的分布列及数学期望.

18.(12分)如图，在三棱锥尸-ABe中，Z∖A8C为直角三角形，ZACB=90°,Z∖B4C是

边长为4的等边三角形，BC=2√3,二面角P-AC-B的大小为60°,点M为胆的中

点.

(1)请你判断平面Λ4B垂直于平面ABC吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；

(2)求CM与平面PBC所成角的正弦值.

19.(12分)在aABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b+WC)CoSA+小IaCOSC=0.

(1)求角A的大小；

(2)若α=2,求b+Mc的取值范围.

20.(12分)⑦如图，Pi,Pi,P3为椭圆上的三点，尸3为椭圆的上顶点，Pl与P2关于)，轴

对称，椭圆的左焦点Fl(-1,0),且「1F∣+P2P1+P3F1=6.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的右焦点Fi且与X轴不重合的直线交椭圆于A,B两点,M为椭圆的右顶点，

连接MA,MB分别交直线x=4于P,Q两点.试判断AQ,BP的交点是否为定点？若是，

请求出该定点；若不是，请说明理由.

1

21.g(x)=2x——f其中tz∈R.

(1)若方程F(X)=g(x)在［1,e］(e为自然对数的底数)上存在唯一实数解，求实数

”的取值范围;

(2)若在［1,e］上存在一点fo,使得关于X的不等式(x)>/+以誓+2x成立，求

实数〃的取值范围.

四、(二)选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做

的第一题记分.

22.(10分)在直角坐标系Xoy中，曲线CI的参数方程为(φ为参数)，以

原点0为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=4sinθ∙

(I)求曲线Ci的普通方程和C2的直角坐标方程；

(∏)已知曲线C3的极坐标方程为9=α,O<a<ττ,p∈R,点A是曲线Cy与Ci的交点，

点B是曲线C3与C2的交点，且A,B均异于原点O,且∣A8∣=4√L求实数a的值.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=JlX+2∣+∣x-4|一Tn的定义域为R.

(1)求实数，〃的范围；

41

(2)若团的最大值为〃，当正数a,b满足—•+Tr=〃时，求4o+7∕?的最小值.

a+5b3a+2b

2023年四川省泸州市高考理科数学二诊试卷

参考答案与试题解析

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)设集合A={x∣∣x∣<2},B={x∖x1-3x<0},贝∣J4UB=()

A.(-2,3)B.(-2,0)C.(0,2)D.(2,3)

【解答】解：集合A={x∣W<2}={x∣-2<x<2},B={Λ∣Λ2-3x<O}={x∣O<x<3},

则AUB={x∣-2<x<3}.

故选：A.

2.(5分)若复数Z=(x2-l)+(x+l)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数X的值为()

A.-1B.0C.1D.-1或1

【解答】解：Y复数Z=(x2-I)+(x+l)i为纯虚数(i为虚数单位)，

»M。，解得X=L

故选：C.

3.(5分)某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，

整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是()

频率

B.估计这批产品该项质量指标的众数为45

C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60

D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在［50,70)的概率约为0.5

【解答】解：对于A,由频率分布直方图得：(α+0.035+0.030+0.020+0.010)×10=l,解

得α=0.005,故A正确；

40+50

对于B,频率最大的一组为第二组，中间值为------=45,.∙.众数为45,故B正确；

2

对于C质量指标大于等于60的有两组,频率之和为(0.020+0.010)×1O=O.3<O.5,

.∙.60不是中位数，故C错误;

对于£>,由于质量指标在［50,70)之间的频率之和为(0.03+0.02)XIo=O.5,

可以近似认为从这批产品中随机选取一个零件，其质量指标在［50,70)的概率约为0.5,

故。正确.

故选：C.

TT—>TTTTT

4.(5分)已知非零向量a、b满足向量Q+b与向量Q-b的夹角为那么下列结论中一定

成立的是()

TTTTTTTT

A.α=6B.∖a∖=∖b∖C.α±hD.a//b

【解答】解：由题意可得(Z+b)±(a—&),.*.(α+ð)∙(α—b)=a2—b2=0,

.,∙∣α∣=l⅛b

故选：B.

5.(5分)已知函数f(x)=沼，则()

A.7(x)在(-1,+8)上单调递增

B.f(x)的图象关于点(-1,1)对称

C./(Λ)为奇函数

D./(x)的图象关于直线y=x对称

【解答】解：∙.∙f(x)=∣g=7+g,

.V(x)在(-L+co)上单调递减，

故选项A错误；

I-X2

.•"⑶=市=τ+ιτr

：.f(X)的图象关于点(-1,-1)对称,

故选项B、C错误；

∙∙∙y=∕(χ)=l⅛.∙.X=ι-y

W

故/Cr)的图象关于直线y=x对称,

故选项。正确；

故选：D.

6.（5分）（l+x）2+（l+x）3+∙∙∙+（1+x）9的展开式中了的系数是（）

A.60B.80C.84D.120

【解答】解：（1+X）2+（1+X）3+…+（l+χ）9的展开式中/的系数为4+弓+…+弓=

Cf+Cf+-+Cl=Cf0=120.

故选：D.

7.（5分）已知六棱锥尸-ABCDEf的底面是正六边形，％_L平面ABC,PA=2AB,则下列

命题中错误的是（）

A.AE_L平面

B.直线PO与平面ABC所成角为45°

C.平面PBC与平面PE尸的交线与直线AD不平行

√5

D.直线C0与PB所成的角的余弦值为J

10

【解答】解：对于A,V∕¾±5p[gjABC,AEU平面ABC,.".AE1PA,

：六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，.∙.AELA8,

：勿CAB=A,PA,ABU平面∕¾B,.•.尸£1.平面以8,故A正确；

对于8,；六棱锥P-ABa>EF的底面是正六边形，以，平面ABC,PA=2AB,

：.PALAD,PA=AD,ΛZPDA=45°是直线PO与平面ABC所成角，故B正确；

对于C,'：EF//AD/∕BC,EFU平面PERBCU平面P8C,

平面PBC与平面PE尸的交线与直线AO平行，故C错误；

对于力，设AB=1,则%=2,AE=√12+I2-2×1×1×cosl20o=√3,

PE=√4+^3=√7,BE=2,PB=√4∏=√5,

•.♦CC〃8E,.∙.∕P8E是直线CQ与PB所成的角（或所成角的补角），

.∙.直线C。与尸B所成的角的余弦值为：

coszpbe=⅛⅛⅛=故。正确.

故选：C.

8.（5分）已知点P（α,人）是曲线C：y=∣x3-∣x2+1±W⅛,曲线C在点P处的切线

平行于直线6x-3y-7=0,则实数a的值为（）

A.-1B.2C.-1或2D.1或-2

［解答］解：:尸上3・聂2+ι,

2

.∙.y'=x-χf

,2

结合题意得：y∖x^a=a-a=2f

解得：a=2或a=-1,

经检验。=2时，切线为直线6χ-3y-7=0,不合题意，舍，

故选：A.

9.（5分）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：t=上柒C为时间，单位

分钟，00为环境温度，θl为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设一■杯开水温度θl=

100βC,环境温度θo=2O°C,常数R=0.2,大约经过多少分钟水温降为40℃?（结果保

留整数，参考数据：/∏2^O.7）（）

A.9B.8C.7D.6

【解答】解：由题意可知t=-春仇=-5lrr-=IO∕∏2^7,

u.z黑IuU-半ZU4

故选：C

10.（5分）已知在RtZ∖A8C中，斜边48=2,BC=I,若将RIZ∖A8C沿斜边AB上的中线

CQ折起，使平面ACDJ_平面BCQ,则三棱锥A-BC。的外接球的表面积为（）

1320107

A.—TrB.—TrC.—TiD.-Ti

3333

【解答】解：如图，设点E为ABCO外接圆的圆心，则三棱锥A-BC。外接球的球心一

定在过点E且与平面BC。垂直的直线上，

不妨设点O为外接圆的圆心，则OE_L平面BCD,且OA=OB=OC=OD=R,

过点。作OM_L平面ACD,则点M为XNCD外接圆的圆心，在AACO中，由余弦定理

AD2+CD2-AC2=1+1-3_1

有，cosZ-ADC

-2ADCD-=2xlxl=^2,

.'.sin∆ADC=ɪ,

.∙.4M=弃

1,

2X竽

延长BE交CQ于F,连接MF,

；BC=CD=BD=I,

...△BCD为边长为1的正三角形，F为CO中点,

._1√3_；3

"'ef~3x~2~^6^,

由于平面ACO，平面BCZZ故四边形OMFE为矩形，贝IJOM=EF=噂,

在RtZ∖40M中，AM2WM2=-OA2,即1+(ɪ)2=R2,解得R=息,

.∙.三棱锥A-BCD的外接球的表面积为4τrX盘入等

故选：A.

11.(q>0,⅛>0)的右焦点为尸2,点M,N在双曲线的同

一条渐近线上,。为坐标原点.若直线平行于双曲线的另一条渐近线,且。放，JFW,

尸2M=苧尸22，则该双曲线的渐近线方程为()

11√2

A.y=±-χB.y=±-χC.v=±-xD.y=±2x

’4'2'2'

【解答】解：如图，设渐近线y=∖x的倾斜角为O,Θ∈(0,J),

则NNMF2=2θ,ZONFi=8,

NFSjTI20

在AMNF2中,由正弦定理可得T=--TF-T-

MF2sιn(--θ)

可得sinθ=-i,tanθ=⅛,即可得

√52a2

12.(5分)已知点A(l,-1),B(4,O),C(2,2),平面区域。是由所有满足眉=λAB+μAC

(其中入6[1,a],μ∈[l,b])的点P(X,y)组成的区域，若区域。的面积为8,则4α+匕

的最小值为()

A.4√2B.5+4√2C.5D.9

【解答】解：如图所示，以AB,AC为邻边作平行四边形ABCD

分别作C⅛=入(⅛=λ½⅛,BF=μBD=μAC,

则由所有满足G=λ4⅛+μ易(λ∈[l,a],μ∈[l,⅛])表示的平面区域D为平行四边形

DEQF.

DE=(λ-∖)AB,DF=(1-μ)AC)(λ∈ll,a],μ∈[l,⅛]),

'：AB=(3,1),AC=(I,3),BC=(-2,2),

→

.".∖AB∖=√10,∖AC∖=√Tθ,∣BC∣=2√2.

i4C∙4B_6_3.___________4

，COSNCAB=则SinNCAB=Vl-cos2Z-CAB=耳.

∖AC∖∖AB∖同Xm耳

Y区域。的面积为8,

TT4

・•・四边形OEQ/的面积S=IDElIDFIsinNCAB=(〃-1)(⅛-1)×√10×√10×

=8(。-1)(Z?-1)=8,

m11

.,.(«-1)(⅛-1)=1,即一÷-=1.

ab

."Λa+b=(40+⅛)(ɪ+ɪ)=5+^+⅞≥5+2^∣∙ɪ=9,当且仅当b=2a=3时取等号.

.∙.4a+6的最小值为9.

故选：D.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)计算84+黑一，0&3的值为

Ig乙2

【解答】解：8-3+鬻—log23=i+log26-IOg23=i÷log22=i÷1=

故答案为：

14.(5分)已知等差数列｛板｝满足。2+。5+〃8=15,则43+R=10.

【解答】解：・・・等差数列｛劭｝满足42+05+48=15,

：.〃2+。5+〃8=3〃5=15,解得615=5,

••〃3+〃7=2〃5=10.

故答案为：10.

15.(5分)函数f(x)满足：①定义域为R,②M-X)4∕(x)=0,③止1)一""">0∙请

%］一%2

写出满足上述条件的一个函数/(x),/(x)=」

【解答】解：因为函数/(x)满足：①定义域为R,@f(-χ)+f(x)=0,③"ι)-/3)

工1一％2

>0,

所以函数/ω是定义在实数集上的奇函数，且在R上为增函数,

比如，f(x)=X.

故答案为：X.(答案不唯一)

16.(5分)如图，正方体48C。-AIBIC中，点E,尸是BC上的两个三等分点，点G,

“是AiDi上的两个三等分点，点M,N,P分别为AB,CIDl和CO的中点，点。是AlM

上的一个动点，下面结论中正确的是①③④.

①尸H与4。异面且垂直；

②FG与ACl相交且垂直；

③Z)IQ〃平面EFN；

④Bl,H,F,P四点共面.

【解答】解：正方体ABCZ)-AIBICIG中，

：点E,F是BC上的两个三等分点，点G,，是4。上的两个三等分点，

.∙.AG"FCι,四边形AFClG是平行四边形，.∙.FH与AeI异面，FG与ACl相交,

以。为原点，D4为X轴，DC为y轴，为Z轴，建立空间直角坐标系，

ZA

设正方体ABCD-A∖B∖C∖D∖中棱长为3,

对于①，F(1,3,0),H(1,0,3),A(3,0,0),Ci(0,3,3),

FH=(0,-3,3),AG=(-3,3,3),

FHSC1=0,,FH与ACl异面且垂直，故①正确;

对于②，G(2,0,3),FG=(1,-3,3),

FG-AC1=-3-9+9=-3,

.∙.FG与ACl相交但不垂直，故②错误；

对于③，'：A\D\//EF,A∖M∕∕CN,AιDι∩AιM=Aι,EFCCN=C,

.∙.平面4。IM〃平面EFN,

YOiQu平面AIOIM,.∙.OιQ〃平面EFM故③正确；

3TTq

对于④，BI(3,3,3),P(0,-,0),B1H=(-2,-3,0),FP=(-1,0),

=2FP,：.B\H//FP,：.B\,H,F,P四点共面，故④正确.

故答案为：①③④.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.(12分)为配合创建文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机

动车不礼让行人的行为.经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的

车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如下的频率分布直方图，数据中

凡违章车次超过40次的路口设为“重点关注路口”.

(1)根据直方图估计这10个路口的违章车次的平均数；

(2)现从支队派遣3位交警去违章车次在(30,50］的路口执勤，每人选择一个路口，

每个路口至多1人，设去“重点关注路口”的交警人数为X,求X的分布列及数学期望.

A频率/组距

0.04---------------------->--------

0.02----ι------------------------------

0.01-----------------------

°^^1020304050~~

【解答】解：(1)由平均数计算公式可得：0.01×10×5+0.02×10×15+0.01×10X25+0.04

X10×35+0.02×10X45=29.

(2)(30,40］区间的路口有0.04XlOXIo=4个,(40,50］区间的路口有0.02X10XQ

=2个.

由题知随机变量X可取值0，1，2.

则P(X=O)=4=彦，P(X=I)=萼=1,P(X=2)=巽=

r∙ɔɔfɔɔɔ

c6c6G6

.∙.X的X的分布列为：

数学期望E（X）=0×∣+l×∣+2×∣=l.

18.（12分）如图，在三棱锥尸-42C中，Z∖A8C为直角三角形，NACB=90°,是

边长为4的等边三角形，BC=2√3,二面角P-AC-B的大小为60°,点M为∕¾的中

点.

（1）请你判断平面以B垂直于平面ABC吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；

（2）求CM与平面PBC所成角的正弦值.

【解答】解：（1）平面∕¾B，平面ABC理由如下：

设AB的中点为O,AC的中点为。，连结ODPD,PO,

因为AABC为直角三角形，NAC8=90°,BC=2√3,

所以0。为中位线，则。。=BBc=6，且0£>J_AC,

因为△%C为等边三角形，PA=AC=4,

所以PO_LAC,PD=2√3,

由二面角的定义可知，NP。。为二面角P-AC-B的平面角，

所以NPE>O=60°,由余弦定理可得，CoSNP。。=叫离声=劣

乙IL/LxC/乙

所以PO=3,又PO2+DO2PD2,

所以尸O_LO0,因为AC=4,BC=2√3,∕ACB=90°,

所以AB=2√7,AO=2√7,

又Aθ2+Pθ2=∕¾2,所以PO_LA。，

又AorWo=。，AO,。0U平面ABC,

所以P0_L平面A8C,又PoU平面方8,

所以平面B48_L平面ABC；

(2)设BC的中点为E,连结。E,

S⅛OE//AC,ACLBC,

所以OE_LBC,因为0£>〃BC,所以0E_L。。，由(1)可知，^。，平面他。，则有Po

LOE,POLOD,

以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则B(√5,2,0),C(-√3,2,0),P(0,0,3),½(-√3,-2,0),M(一，,-1,|),

故C⅛=除-3,|),PB=(√3,2,-3),BC=(-2√3,0,0),

设平面PBC的法向量为£=(x,y,z),

则有g∙pf=°,g∣j(75x+2y-3z=0

Vn∙FC=0l-2√3x=0

令y=3,则z=2,故3=(0,3,2),

I昂后|_6√39

所以ICOSVCM,n>∖=

l⅛∣n∣号+9+/-13^

√39

故CM与平面PBC所成角的正弦值为行

19.(12分)在AABC中，内角A,5,C的对边分别为a,b,c,且(2Z?+√3c)cos½÷√3αcosC=0.

(1)求角A的大小;

(2)若〃=2,求b+√^c的取值范围.

【解答】解：(1)由(2b+酷C)CoS4+√5αcosC=0,

根据正弦定理有QSinB+FSinC)COSA+遮SinACoSC=0.

所以2s讥BCOSa+WSinCCOSA+MsinAcosC=0,

所以2s讥BCOS4+√3sin(C+Λ)=0,

即2siπBcosA+WSinB=0.

因为0VB<π,

所以SinBWO,

所以CoS4=-ɪ,

因为0VAVπ,

所以A=猾.

(2)由(1)知Z=等,

所以B+C=J

6

则C=合B(OVB〈卷)，

abc2bc

由正弦定理：-：^^^=T^~^Σ=.得.5τr=~~Σ=^7^^7π^^77»

SinAStnBsιnCsin—smBsm(--B)

66

所以⅛=4sinB,c=4sin(^一B)=2cosB—2∖∣3sinB.

所以b+√3c=4sinB+y∕3(2cosB—2√3sinβ)=2WCoSB—2sinB=4(孚COSB—

*sinB)=4cos∕+B).

因为0<BV也

o

“J兀√3

所以一<cos(-+B)V—,

262

所以b+Hc的取值范围为(2,2√3).

20.(12分)⑦如图，Pi,P2,P3为椭圆上的三点，P3为椭圆的上顶点，Pl与尸2关于y轴

对称，椭圆的左焦点FI(-1,0),且Pι∕ι+P2F1+P3尸1=6.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的右焦点尸2且与X轴不重合的直线交椭圆于A,8两点,M为椭圆的右顶点,

连接MA,MB分别交直线x=4于P,Q两点.试判断AQ,BP的交点是否为定点？若是,

请求出该定点；若不是，请说明理由.

【解答】解：(1)因为P3为椭圆的上顶点，P与尸2关于y轴对称，

则尸3尸ι=α,PIFl=P2F2,

所以PIFI+P2FI+P3FI=6,可得P2F2+P2F1+P3F1=6,

即2α+α=6,可得α=2,

再由椭圆的左焦点(-1,0),可得C=1,

所以b2=a2-C2=4-1=3,

X2V2

所以椭圆的方程为：丁+J=I;

43

(2)由(1)知：F2(1,0),M(2,0),不妨设A在X轴上方，

当直线AB斜率不存在时，AB：x=l,.∙.A(1,≡),8(1,—分

直线AM；y=-≡(x-2),直线BM：y=^(x-2),：.P(4,-3),Q<4,3),

善3

13-1

-2

P=---41-

feR2-2

直线8P：y+3=-∣(x-4),即x+2y+2=0,

直线AQ；y-3=±(x-4),即X-2y+2=O,

.(x+2y+2=0俎(x=-2

由及—2y+2=0得Ty=O，

.∙.直线8P与AQ交点为(-2,0),

若直线BP与AQ交点为定点，则该定点必为(-2,0),

假设当直线AB斜率存在时，直线8P与AQ交点为(-2,0),

设A(xι,yι),B(X2,”),

直线M4：y=⅛ɑ-2),直线M8：y

令x=4,则yp=3¾,%=翁,

11

整理可得:[ɜʊzʊɪ-6V+2?两式作和得：种2+砂=4(yι+y2),

ljx2Λl—Xly2—Oyl+zZ2

Vχiy2+%2J1=(tyl+l)>2+(Zy2+1)yι=2tylJ2+yi+j2,

.,.2ryιj2=3(yi+”)，

设A3：x=)+1(∕≠0),

(x=ty+1

由卜2y2得：(3r2+4)>,2+6∕>,-9=0,

⅛+τ=1

(ɪ6t

.…=-薪

∙∙J9，

此时2t%y2=3(¾+丫2)=---------2,满足题意，

4+3£

综上所述：直线BP与AQ交点为定点(-2,0).

21.(12分)已知函数/(x)=当竺+χ,g(X)="［，其中α6R.

(1)若方程/(x)=g(X)在［1,e］(e为自然对数的底数)上存在唯一实数解，求实数

”的取值范围；

(2)若在［1,e］上存在一点《),使得关于X的不等式(x)>/+"誓+2Λ成立，求

实数”的取值范围.

%21

【解答】解：(1)由/(冗)=g(x),化为万一a^nx-^=0；

令尸(x)=^x1-alnx-^,由题意得只需函数y=P(x)在［1,e］上有唯一的零点；

F'(X)=X-W=虻井，其中xe［l,e］,

下面对α分类讨论：

①当αWl时，F(X)No恒成立，F(X)单调递增，

又F(I)=0,则函数F(X)在区间［1,e］上有唯一的零点；

②当时∙，F(X)<0恒成立，F(X)单调递减，

又F(I)=0,则函数F(X)在区间［1,e］上有唯一的零点；

③当IVaVe2时，当1≤%≤√∏时，F(X)<0,F(x)单调递减，

又尸(1)=0,ΛF(√α)<F(l)=0,则函数/G)在区间［L√H］上有唯一的零点；

当VHVr≤e时，F(X)>0,F(X)单调递增，则当F(e)<0时符合题意，

e21

即一-α--<0,

22

2［2--ɪ

.∙.α>j2,当丁二Vα<⅛2时，则函数F(X)在区间［1,府］上有唯一的零点；

42

g2_1

实数"的取值范围是(-8,-i］∪+∞).

(2)在［1,e］上存在一点∕o,使得关于X的不等式M(%)>玲2+半±12+2%成立=%+

Y—alntQ+口Vo在∕o∈［l,e］上有解，

roɛo

必须满足函数〃(X)=1+：+/-出〃工在［1，e］上的最小值小于零，

hfV)=T一“=虹吗曰,

XLXLXXL

下面对。分类讨论：

①当o+12e时，即o2e-l时，力(X)在［1,e］上单调递减，