初中数学 一次函数压轴题：一次函数与重叠部分(含解析)

一次函数压轴题之重叠部分

1.如图1,在直角坐标系中，过A(2,0),B(0,-4)两点的直线与直线y=-x+5交于点E,直线y=

-x+5分别交x轴、y轴于C,D两点，

(1)求直线AB的解析式和点E的坐标；

(2)在射线EB上有一点M,使得点M到直线DC的距离为3a，求点M的坐标；

(3)在(1)的基础上，过点0,A,P,Q(0,2)作正方形0APQ如图2,将正方形0APQ沿x轴正方向平

移，得到正方形0,A'P'Q；当点A与点C重合时停止移动.设点A'的坐标为(t,0),正方形O'A,P'

Q'与4ACE重叠部分的面积为S,直接写出S与t之间的函数关系式和相应t的取值范围.

图1图2

2.如图，点A(0,1)、B(2,0),点PM(4,0)出发，以每秒2个单位长度沿x轴向坐标原点0匀速运

动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度沿x轴向坐标原点。匀速运动，过点P作x轴的垂线1,

过点Q作AB的垂线12,它们的交点为M.设运动的时间为t(0<t<2)秒

(1)写出点M的坐标(用含t的代数式表示)；

(2)设AMPQ与AOAB重叠部分的面积为S,试求S关于t的函数关系式及t的取值范围.

3.将一个直角三角形纸片ABO,放置在平面直角坐标系中，点A0),点B(0,1),点0(0,0).过

边0A上的动点M(点M不与点0,A重合)作MNLAB于点N,沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A',

设0M=m,折叠后的AA'MN与四边形0MNB重叠部分的面积为S.

(I)如图①，当点A'与顶点B重合时，求点M的坐标；

(II)如图②，当点A',落在第二象限时，A'M与0B相交于点C,试用含m的式子表示S；

(III)当S=^■时，求点M的坐标(直接写出结果即可).

x

图①图②

4.如图①，矩形ABCD被对角线AC分为两个直角三角形，AB=3,BC=6.现将RtZiADC绕点C顺时针旋转

90°,点A旋转后的位置为点E,点D旋转后的位置为点F.以C为原点，以BC所在直线为x轴，以过点C

(1)求直线AE的解析式；

(2)将Rt^EFC沿x轴的负半轴平行移动，如图③.设0C=x(0<xW9),RtZkEFC与Rt^ABO的重叠部

分面积为s；求当x=l与x=8时，s的值；

(3)在(2)的条件下s是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时x的值；若不存在，请说明理

由.

5.如图(1)(2),直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点(A、B两点

除外)，过M分别作MCJ_OA于点C,MDL10B于D.

(1)若点M的横坐标是a,则点M的纵坐标是(用含a的代数式表示)

(2)当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；

(3)当点M运动到什么位置时，四边形0C血的面积有最大值？最大值是多少？

(4)当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为b(0<b<4),

正方形O'CMD与AAOB重叠部分的面积为S.试求S与b的函数关系式并画出该函数的图象.

4\xA

6.如图，直线AB与两坐标轴分别相交于A、B点，0A=0B=4,点M是线段AB上一动点(A、B两点除外),

过M分别作MC_LOA于点C,MD_LOB于点D.

(1)写出直线AB的函数解析式；

(2)设点M的横坐标为x,写出四边形OCMD的面积S与x的函数关系式，当点M运动到什么位置时，四边

形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

(3)探究：当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a(O<a

<4),正方形OCMD与AAOB重叠部分的面积为S,试求S与a的函数关系式，并画出该函数的图象.

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线lay=1>x与直线卜：y=-x+6相交于点M,直线1?与x

2

轴相交于点N.

(1)求M,N的坐标.

(2)矩形ABCD中，已知AB=1,BC=2,边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度

的速度移动，设矩形ABCD与AOMN的重叠部分的面积为S,移动的时间为t(从点B与点。重合时开始计时,

到点A与点N重合时计时开始结束).直接写出S与自变量t之间的函数关系式(不需要给出解答过程).

(3)在(2)的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值.

8.已知在平面直角坐标系中，直线y=-V§x+&\/§与X轴，y轴相交于A,B两点，直线y=«x与AB相交

于C点，点D从点0出发，以每秒1个单位的速度沿X轴向右运动到点A,过点D作X轴的垂线，分别交直

线yflx和直线y=-J§x+&n于P,Q两点（P点不与C点重合），以PQ为边向左作正△PQR,设正4PQR

与△OBC重叠部分的面积为S（平方单位），点D的运动时间为t（秒）

（1）求点A,B,C的坐标;

（2）若点M（2,3«）正好在APaR的某边上，求t的值；

（3）求S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围，求出D在整个运动过程中s的最大值.

9.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与

端点B、C不重合)，过点D作直线y=-^x+b交折线0AB于点E.记△(»£的面积为S.

2

(1)当点E在线段0A上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；

(2)当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；

(3)当点E在线段0A上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形0ABC”试探究OA】B6与矩形

OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

10.如图，直线L与坐标轴分别交于点A、B,经过原点的直线1,与AB交于点C,与过点A且平行于y轴的

直线交于点D,已知点C(3,工»),且0A=8.在直线AB上取点P,过点P作y轴的平行线，与CD交于点

4

Q,以PQ为边向右作正方形PQEF.设点P的横坐标为t.

(1)点求直线L的解析式；

(2)当点P在线段AC上时，试求正方形PQEF与4ACD重叠部分(阴影部分)的面积的最大值；

(3)设点M坐标为(4,5),在点P的运动过程中，点M能否在正方形PQEF内部？若能，求出t的取值

范围；若不能，试说明理由.

11.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3,0）,（0,1）,点D是线段BC上的动点

（与端点B、C不重合），过点D作直线y蒋x+b交折线OAB于点E.

（1）记的面积为S,求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，且tan/DEO^.若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形0ABQ,试

探究四边形0AB£与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，

请说明理由.

12.如图在RtZ^AOB中，ZBA0=90°,0为坐标原点，B在x轴正半轴上，A在第一象限.0A和AB的长是

方程x2-3代x+10=0两根，且OA<AB-

（1）求直线AB的解析式；

（2）将AAOB沿垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上），使点B

落在x轴上，对应点为E,设点C的坐标为（x,0）.

①是否存在这样的点C,使得4AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

②设4CDE与AAOB重叠部分的面积为S,直接写出S与点C的横坐标x之间的函数关系式（包括自变量x

的取值范围）.

13.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3,0）,（0,1）,点D是线段BC上的动点（与

端点B、C不重合），过点D作直线y=-Lx+b交折线0AB于点E.

2

（1）记AODE的面积为S,求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段0A上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形0AB£,试探究0/出1cl与矩形

OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

14.如图1,在RtZkA'OB'中，ZB'A'0=90°,A',B'两点的坐标分别为（2,-1）和（0,-5）,

将A'OB'绕点。逆时针方向旋转90°,使OB'落在x轴正半轴上，得△AOB,点A'的对应点是A,点B'

的对应点是B.

（1）写出A,B两点的坐标，并求直线AB的解析式；

（2）如图2,将AAOB沿垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上）,

使点B落在x轴上，对应点为点E,设点C的坐标为（x,0）.

①当x为何值时，线段DE平分AAOB的面积；

②是否存在这样的点使得4AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

③设4CDE与AAOB重叠部分的面积为S,直接写出S与点C的横坐标x之间的函数关系式（包括自变量x

的取值范围）.

图1图2

15.如图，已知直线L：y=2x+&与直线k：y=-2x+16相交于点C,1八12分别交x轴于A、B两点.矩

33

形DEFG的顶点D、E分别在直线L、12±,顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合.

(1)求Z\ABC的面积；

(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长；

(3)若矩形DEFG从原地出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(OWt

<12)秒，矩形DEFG与AABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范

围.

16.如图，在平面直角坐标系中，两个函数y1=x,丫2=4*+6的图象交于点A.动点P从点0开始沿0A

方向以每秒1个单位的速度运动，运动时间是t.作PQ〃X轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形

PQMN,设它与AOAB重叠部分的面积为S,如图1.

(1)求点A的坐标.

(2)当t为何值时，正方形PQMN的边MN恰好落在x轴上？如图2.

(3)当点P在线段0A上运动时，

①求出S与运动时间t(秒)的关系式.

②S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.

17.如图，在直角坐标系中，AAOB为直角三角形，NAB0=90°,点A在x轴的负半轴上，点B坐标为(-

1,2).将△AOB绕点0顺时针旋转90°得AA'OB'.

(1)求点A'的坐标；

(2)将AAOB以每秒1个单位的速度沿着x轴向右平移，问：几秒钟后，点B移动到直线A'B'上？；

(3)在第(2)小题的移动过程中，设移动x秒后，AAOB与OB'的重叠部分的面积为y,试求y关

于x的函数关系式.

晋x+2与

18.如图，直线y=x轴，y轴分别相交于点A,B.将AAOB绕点。按顺时针方向旋转a角（0。

<a<360°),可得△COD.

（1）求点A,B的坐标；

（2）当点D落在直线AB上时，直线CD与0A相交于点E,ZkCOD和△AOB的重叠部分为（图①）.求

证:AODE^AABO；

（3）除了（2）中的情况外，是否还存在和AAOB的重叠部分与AAOB相似，若存在，请指出旋转角

a的度数；若不存在，请说明理由；

（4）当a=30。时（图②），CD与OA,AB分别相交于点P,M,0D与AB相交于点N,试求△COD与AAOB

的重叠部分（即四边形OPMN）的面积.

19.如图，在平面直角坐标系中，两个函数丫=*,y=-工x+6的图象交于点A.动点P从点0开始沿0A方

2

向以每秒1个单位的速度运动，作PQ〃x轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形PQMN,设它与△

OAB重叠部分的面积为S.

(1)求点A的坐标.

(2)试求出点P在线段0A上运动时，S与运动时间t(秒)的关系式.

(3)在(2)的条件下，S是否有最大值若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请

说明理由.

(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与AOAB重叠部分面积最大时，运动时

间t满足的条件是.

20.在平面直角坐标系中，直线y=kx+b经过两点D(0,4),E(4,0),边长为2个单位长度的等边△ABC,

顶点A在该直线上滑动，在滑动过程中始终保持边BC〃x轴，且顶点A在BC的上方.

(1)求直线DE的函数解析式；

(2)在滑动过程中，当点C恰好落在坐标轴上时，求此时点B的坐标；

(3)在滑动过程中，当AABC与ADOE重叠部分的面积为AABC面积的工时，求此时点A到坐标轴的最大距

8

离.

1.【解答】解：(1)将点A、B坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得：1°=2k+b,解得:(k=2

lb=-4lb=-4

故直线AB的表达式为：y=2x-4,

直线CD的表达式为：y=-x+5…①，

则点C、D的表达式分别为：(5,0)、(0,5),

联立直线AB表达式与直线CD表达式：y=-x+5并解得：x=3,

故点E(3,2)；

图1

过点M作MNLCD交于点N,

贝11MN=3b，

VMN±CD,二直线MN表达式中的k值为-1,

设直线MN的表达式为：y=-x+b/,将点M坐标代入上式并解得:

直线MN的表达式为：y=x+(m-4)…②，

联立①②并解得：x=9二总，则点N(9二里，空L),

222

府=(m-殳&)2+(Wtl-2m+4)?=(3&)2,

22

解得：m=l或5(舍去)，

故点M(1,-2)；

(3)①如图2(左侧图),

V

当2WtW3时，图象到达(TQ，P,A，的位置，

0A=2,0B=4,VGA7//OB,则"_口_=2,则GA'=2AA'

AA'OA

贝I]S=LAA'XA'G=AAA,XAA'tana=(t-2)2；

22

②3<tW4时，如图3,设A'P，交直线CD于点H,

(t+t+2-3)X2-返(t+2-3)4-&+/后2

S-S梯形AA，P'Q'---------------1十---------------

222

③如图4,

4<tW5时，图象到达O''Q''PL的位置,

直线BE交0"Q"于点H'直线CD交A"P"于点G',

则AA"=t,AO"=t-2,A"C=3-t,

H'0"=2AO"=2(t-2),G'A"=A〃C=3-t,

2

SA40.ir=JLXA0"XO"H'=(t-2),

2

同理：S-.=—(3_t)2,

AACG2

22

2■1(3-t)=-At+7t-H

S—SAACE-SAAO"H(一S/^A”CG，—3-"(t-2)

222

(t-2)(2<t<3)

s=.tg4)

故:竽与《

|-t2+7t-^-(4<t<5)

2.【解答】解：(1)由题意得：P(4-2t,0),Q(2-t,0),

PQ=2-t,

•/△OAB^AQPM,

.MPOB2—D

PQOA1

/.PM=2PQ=4-2t,

.*.M(4-2t,4-2t)；

(2)设1,与AB的交点为C,L与AB的交点为D,易得直线AB对应的解析式为y=-Lx+l,

2

/.4-2t=(4-2t)+1,

2

解得：t=5；

3

(i)当0<tWl时，如图1所示，在RtZ\OAB中，AB=A/5-

^AOABV5

•■•S=SAC0B=-^-X-£xiX2=-^；

525

(ii)当l<t<»时，如图2所示，PD=2t-2,

由△0ABS/\PDB,得到PB=t-l,

2

-

••S=S四边形CQPD=S&QB一SMDB=SACQB—^~PD■PB=匚一］・(2t-2)•(t1)^一言t2+2t—1；

2

(iii)当立Wt<2时，S=SAPQH=ApQ.pM=i«(2-t)•(4-2t)=t-4t+4.

322

3.【解答】解：(I)在Rt^ABO中，点A(V3-0)，点B(0,1),点0(0,0),

.,.OA=J§,OB=1,

由0M=m,可得：AM=0A-0M=V3-m,

根据题意，由折叠可知△BMN之ZUMN,

BM=AM=A/3-m,

在RtZkMOB中，由勾股定理，BM2=OB2+OM2,

可得：(煦-m)2=l+m2,解得m=哼，

O

・••点M的坐标为(返，0)；

3

(II)在Rtz^ABO中，tanZ0AB=^-^^-=^.

OA/33

/.Z0AB=30o,

由MN_LAB,可得：NMNA=90°,

.,.在RSAMN中，MN=AM«sinZOAB=^(-5/3-10).

AN=AN«cosZOAB=-^_(第_a

2

SAAMN=^-MN-AN=^y-(V3-m)-

由折叠可知△A'MNgAAMN,则/A'=N0AB=30°,

?.ZA'M0=ZA'+Z0AB=60°,

RtACOM中，可得CO=OM・tan/A'MO=V§n,

1V?9

SACOMVM'C02m'

'S/kABO

,O_C_n_c/rz_、22

,,S-SAAB0-SAAMN-SAC0M_28W3m，

即养用中净率。〈Y争；

(III)①当点A'落在第二象限时，把S的值代入(2)中的函数关系式中，解方程求得m,根据m的取值

范围判断取舍，两个根都舍去了;

②当点A'落在第一象限时，则$=5现△廊，根据(2)中RtZXAMN的面积列方程求解，根据此时m的取值范

围，把$=四代入，可得点M的坐标为(工区，0).

243

4.【解答】解：(1)AB=3,BC=6,根据旋转的性质可知：A(-6,3),E(3,6),

设函数解析式为y=kx+b,

把A(-6,3),E(3,6)分别代入解析式得,

f-6k+b=3

l3k+b=6

解得，］3,

b=5

直线AE解析式为：y=A>x+5・

3

(2)①当x=l时，如图1,重叠部分为△POC,

可得：RtAPOC^RtABOA,

二^二（殁。

^AAOBAO

即:尹嘉）"

解得：S=l.

5

②当x=8时，如图2,重叠部分为梯形FQAB,

⑵

可得：0F=5,BF=1,FQ=2.5,

•'-s=y(FQ+AB)'BF-1(2.5+3)X1卷

（3）解法一：

①显然，画图分析，从图中可以看出：当0<xW3与7.5<xW9时，不会出现s的最大值.

②当3<xW6时，由图3可知：当x=6时，s最大.

此时，SA0BNSA0MF

•c369.99

・・^AOBN'△OMF54—2。°

2（_o、2

③当6<xW7.5时，如图4,嗫，S^OFM弋二5.6«一6）2,

•••S=S-S-$包==」守)

A0CNA0FM(x-6)2,

54

o_2122715321z45、236

202420'7,7

二当x=当时，S有最大值，S最大=平，

综合得：当x吟时，存在S的最大值，S最大=平.

解法二：

(2

令-(0<x43)

0

-^-X2+1-X-^(3<X<6)

同解法一③可得：s=

嗡(x手产号(6<x<7.5)

-^-x24yx+^-(7.5<x<9)

若0<xW3,则当x=3时，S最大，最大值为9；

5

若3VxW6,则当x=6时，S最大，最大值为典；

20

若6Vx<7.5,则当■时，S最大，最大值为旦2；

77

若7.5WxW9,则当x=7.5时，S最大，最大值为毁；

16

综合得：当x与时，存在S的最大值，S最大=9.

5.【解答】解：(1)当x=a时，代入直线的解析式得：y=-a+4.

故答案是：-a+4；

(2)设点M的横坐标为x,则点M的纵坐标为-x+4(0<x<4,x>0,-x+4>0)；

则：MC=|-x+41=-x+4,MD=|x|=x；

=

.,.CHWOCMD2(MC+MD)=2(-x+4+x)=8

二当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；

22

(3)根据题意得：SW»OCM»=MC«MD=(-x+4)«x=-X+4X=-(x-2)+4

四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x(0<x<4)的二次函数，并且当x=2,即当点M运动到线段

AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；

(4)如图(2),当0<bW2时，ZXMEF是等腰直角三角形，ME=b,.

则S=4-^-b2=-Ab2+4；

22

如图10(3),当2Wb<4时，△AGH是等腰直角三角形，AH=4-b,贝|S=^(4-b),；

2

••.S与b的函数的图象如下图所示：

6.【解答】解：(1)V0A=0B=4,

.,.点A(4,0)B(0,4),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

则(4k+b=0,

Ib=4

解得小”,

\b=4

所以，直线AB的函数解析式为y=-x+4；

(2)VMC±0A,MD10B,x轴J_y轴,

四边形OCMD是矩形，

.•.DM〃OA,

.BD=DM

"OB0AJ

即生2上=三，

44

解得0D=4-x,

二S=x(4-x)=-x，4x,

所以，S与x的函数关系式为：S=-x?+4x(0<x<4),

VS=-X2+4X=-(X2-4X+4)+4=-(x-2)2+4,

.,.当x=2时，S有最大值4,

此时M是AB的中点，

故，点M运动到AB的中点位置时，四边形OCMD的面积有最大值4；

(3)如图，...直线AB的解析式为y=-x+4,

...移动过程中正方形被分割出的三角形式等腰直角三角形,

由(2)可得，四边形OCMD为正方形时，4-x=x,

解得x=2,

所以，正方形的面积为：2?=4,

①当0<a<2时，重叠部分的面积=4-Aa12,

2

②当2Wa<4时，重叠部分的面积=工(4-a)(4-a)=—(4-a)2,

22

12

—^-a+4(0<a42)

所以，S与a的函数关系式为S=，

12

q(a-4)(24a<4)

函数图象如图.

解得：，

ly=2

则M的坐标是：（4,2）.

在解析式y=-x+6中，令y=0,解得：x=6,则N的坐标是：（6,0）.

（2）当OWtWl时，重合部分是一个三角形，OB=t,则高是Lt,则面积是1_Xt•工t=L/；

2224

当l<tW4时，重合部分是直角梯形，梯形的高是1,下底是：It,上底是：1（t-1）,根据梯形的面积

22

公式可以得到：s=A[At+l（t-1）]=1（t-A）；

22222

当4<tW5时，过M作x轴的垂线，则重合部分被垂线分成两个直角梯形，两个梯形的下底都是2,上底分

别是：-士+6和工（土-1）,根据梯形的面积公式即可求得

2

s=_3/+迫.至；

424

当5<tW6时，重合部分是直角梯形，与当l<tW4时，重合部分是直角梯形的计算方法相同，则S=A（13

2

_2t)；

当6<tW7时，重合部分是直角三角形，则与当OWtWl时，解法相同，可以求得$=工（7-t）2.

y(1<t<4)

李2号卷（《<5）

则：s=

y(13-2t)(5<t<6)

1(7-t)2(6<t<7)

(3)在OWtWl时，函数值y随t的增大而增大，则当t=l时，取得最大值是：1；

4

当l<tW4时，函数值y随t的增大而增大，则当t=4时，取得最大值是：—(4--)=—；

224

当4<tW5时，是二次函数，对称轴t=迫，则最大值是：-3x(-11)^+13XU--11=11；

3432346

当5<t<6时，函数值y随t的增大而减小，所以函数一定小于3；

2

同理，当6<tW7时，y随t的增大而减小，所以函数一定小于工.

2

所以函数的最大值是：H.

6

8.【解答】解：(1)令y=0,可求A点的横坐标为：6；

故A点坐标为；(6,0),

令x=0,可求B点的纵坐标为：(0,6日)；

直线y=-J3x+&«与直线联立可求c点坐标为：(3,3«)；

(2)当M在QP上或在RQ上以及RP上时，

分别求出：t.=-^-,匕以Bts=2；

1224

(3)

12+6«t(04)

s=3V3t2-18V3t+27V3(J<t<3)

<s=0(t=3)

9

12-6立(3<)

s=-^-t2+6V3t-18V3得<t<6)

因为S的最大值在g<t46范围内取到，a=△应<o,开口向下，对称轴直线X=9,函数的自变量

23

部分图象在对称轴的左侧，S随t的增大而增大

故当t=6时，s最大=

9.【解答】解：(1)...四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),

/.B(3,1),

若直线经过点A(3,0)时，则b=3

2

若直线经过点B(3,1)时，则b=^

2

若直线经过点C(0,1)时，则b=l

①若直线与折线OAB的交点在0A上时，即l<bw3,如图1,

2

此时E(2b,0)

.-.S=AoE«CO=-lx2bXl=b；

22

(2)若直线与折线0AB的交点在BA上时，即3Vb<$,如图2

22

此时E(3,b-旦)，D(2b-2,1),

2

--

,,S—S矩一(SAOCD*SAOAE+S△DBE)

=3-[A(2b-2)Xl+Ax(5-2b)•(5-b)+Ax3(b-3)]

22222

=1-2,

2

b(l<b<y)

.•.s=<.

fb-b2(l<b<l)

(3)如图3,设OA与CB相交于点M,OA与CB相交于点N,则矩形OABG与矩形OABC的重叠部分的面

积即为四边形DNEM的面积.

由题意知，DM//NE,DN〃ME,

/.四边形DNEM为平行四边形

根据轴对称知，ZMED=ZNED,

又/MDE=/NED,

.\ZMED=ZMDE,

；.MD=ME,

二平行四边形DNEM为菱形.

过点D作DHL0A,垂足为H,

由题易知，D(2b-2,1),

对于y=-Lx+b,令y=0,得x=2b,则E(2b,0),

2

.\DH=1,HE=2b-(2b-2)=2,

设菱形DNEM的边长为a,

则在RtADHN中,由勾股定理知：a2=(2-a)2+12,

•'•SNEM=NE.DH=—.

HWD4

二矩形OAB。与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为9.

10.【解答】解：(1)设直线L的解析式为y=kx+b,

...直线L与直线k交于点C,

又：0A=8,

.•.把c(3,西)A(8,0)代入上式得:

4

，0=8k+b

'¥=3k+b'

4

解得：b=6,k=-3,

4

二直线L的解析式为：y=—^-x+6;

(2)点P在线段AC上时，根据题意有：p(t,1+6)-Q(t,—1)-

44

53

…PQ二t-(―^t+6)=2t-&

当EF在AD上时，t+2t-6=8,有

3

当3<t(退时，S=(2t-6)2,

3

414#c_100

当tF时，s«*--7--

oy

当获WtW8时，s=(2t-6)(8-t)=-2(t£)2啜，

Jz_11rU-c25

当t-y时，s最大=彳；

所以，s的最大值为空；

2

't<4<6-t

(3)当t<3时，有5/9/3.

l4t<-2<'4t+6

解得：t<2,

当t>3时，有.

*6*在

解得：3.6<t<4,

点M能在正方形PQEF内部，此时t的取值范围是3.6<t<4或t<2.

11.【解答】解：(1):四边形0ABC是矩形，点A、C的坐标分别为(-3,0),(0,1),

.".B(-3,1),

若直线经过点A(-3,0)时，则b=3,

2

若直线经过点B(-3,1)时，则b=5,

2

若直线经过点C(0,1)时，则b=l,

①若直线与折线OAB的交点在0A上时，即l<bW且，如图1,

2

此时E(-2b,0),

.•.S=AoE«CO=A.X2bXl=b；

22

②若直线与折线0AB的交点在BA上时，即3cbe如图2

22

此时E(-3,b‘)，D(2-2b,1),

2

,,S——S矩一(S4OCD+S^OAE+SZ^DBE)

=3-[▲(2b-2)Xl+lx(5-2b)•($-b)+Ax3(b-3)]

22222

=$b-b>

2

(2)如图3,设OA与CB相交于点M,OA与CH相交于点N,则矩形0向B£与矩形OABC的重叠部分的面

积即为

四边形DNEM的面积.

由题意知，DM/7NE,DN〃ME,

/.四边形DNEM为平行四边形，

根据轴对称知，ZMED=ZNED,

又/加E=NNED,

/.ZMED=ZMDE,

；.MD=ME,

,平行四边形DNEM为菱形.

过点D作DHL0A,垂足为H,

由题易知，tan/DEO总，

DH=1,

HE2

.\HE=2,

设菱形DNEM的边长为a,

则在RtZ^DHN中，由勾股定理知：1=(2-a)2+12,

•'•SWNEM=NE.DH=—.

HD4

二矩形OABG与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为9.

因为0A和AB的长是方程x2-3疾x+10=0两根，且0A<AB

所以OAf/^，AB=2遥

而/BA0=90°，则0B=7G^)2+(2隗)2=5

作AF_Lx轴于F,如图

则研侬也正返=2

0B5

那么gQ彳，=]

/.A(1,2),B(5,0).

设直线AB的解析式为y=kx+b,则有k+b=2

5k+b=0

解得《

二直线AB的解析式为y=--x+—.

22

（2）①存在.

分两种情况讨论：

i）当Rt^AED以点A为直角顶点时，点E与原点0重合，如图.

：0C=BC=LB=$

22

：.CX（5,0）；

2

ii）当Rt^AED以点E为直角顶点时，如图，过点A作AFLx轴于F.0F=l.

,.,ZAED=90°,

?.ZAE0+ZDEC=90°.

,.,ZDEC=ZDBC,

?.ZAE0+ZDBC=90°.

又•.•/A0E+/DBC=90°,

ZA0E=ZAE0.

/.AAOE是等腰三角形，

.,.0E=20F=2,

.\BE=3.

；.EC=—,

2

/.OC=OE+EC=2+3=工.

22

/.C2（工，0）.

-2

综上所述，存在这样的点C,使得4AED为直角三角形，点C的坐标为：

ct&o）和c2（Lo）.

22

②当lWx＜反时，4CDE与AAOB重叠部分的面积即为4CDE的面积，由直角三角形的面积公式即可求解;

S与X之间的函数关系式如下:

13.【解答】解：(1)T四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),

；.B(3,1),

若直线经过点A(3,0)时，则b=3

2

若直线经过点B(3,1)时，则b=$

2

若直线经过点C(0,1)时，则b=l

①若直线与折线OAB的交点在0A上时，即l<bw3,如图1,

2

此时E(2b,0)

.,.S=^0E<0=—X2bXl=b；

22

②若直线与折线0AB的交点在BA上时，即旦<b<$,如图2

22

此时E(3,b3)，D(2b-2,1),

2

,,S——S矩一(S△OCD+SAOAE+S△DBE)

=3-[工(2b-2)Xl+ix3(b-3)+Ax(5-2b)•(互-b)]

22222

=-^-b-b2,

2

b(1<

.,.s=<；

yb-b2

(2)如图3,设OA与CB相交于点M,0A与CB相交于点N,则矩形0AB©与矩形OABC的重叠部分的面

积即为四边形DNEM的面积.

由题意知，DM/7NE,DN//ME,

/.四边形DNEM为平行四边形