八年级下册《17.1 勾股定理的应用》课件

17.1.3勾股定理应用

知识回忆

：☞cab勾股定理及其数学语言表达式:

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。CABcab在△ABC中，∠C=90°.(1)若b=8，c=10，则a=

;(2)若a=5，b=10，则c=

;(3)若a=2，∠A=30°

，则b=

;CAB611.23.5

知识回忆

：☞(2)、(3)两题结果精确到0.1

小试身手

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如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了________步路,却踩伤了花草。（假设1米为2步）

小试身手

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如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了________步路,却踩伤了花草。（假设1米为2步）34“路”ABC5几何画板演示4ACOBD分析:DB=OD-OB,求BD,可以先求OB,OD.

在Rt△AOB中,梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_______.在Rt△AOB中，在Rt△COD中，OD－OB=2.236－1.658≈0.580.58m如图，池塘边有两点A、B，无法直接测量AB之间的距离，请你运用所学过的知识设计一种方法，来测量AB间的距离。我来设计比一比，哪位同学的方法既多又好？要求：1、画出设计图2、若涉及到角度，请直接标在设计图中3、若涉及到长度，请用a、b、c等字母BA如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，现在测得CB=60m，AC=20m，请你求出A、B两点间的距离。(结果保留整数）BA我来算一算6020CDABC名题鉴赏E《九章算术》：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，请问这个水的深度与这根芦苇的长度各是多少？X252(X+1)2+=XX+151同学们,想一想,这节课你有什么收获?(2)运用勾股定理解决生活中的一 些实际问题.(1)将实际问题转化为数学问题, 建立数学模型.

某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3m，消防队员取来7.3m长的云梯，若梯子的底部离墙基的水平距离是4m，请问消防队员能否进入三楼灭火？

拓展提高6.5m要想与前一辆车一样的高度进入三楼灭火，应该怎么办？三楼一楼二楼AC13B再见作业：1、书本练习12、作业本（1）勾股定理（三）事实上，消防梯子的底部离地面约1m高。11思考：如图：正方体的棱长为５cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的顶点A沿正方体的表面到顶点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？ABCD′A′B′C′D16

小试身手

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如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，仅仅少走了________步路,却踩伤了花草。（假设1米为2步）勾股定理

课堂练习一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?ACOBD探究一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?探究ACOBD一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?探究ACOBD从题目和图形中，你能得到哪些信息？

某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3.5m，消防队员取来7.3m长的云梯，若梯子的底部离墙基的水平距离是4m，请问消防队员能否进入三楼灭火？

[注：消防梯子的底部离地面1m高]拓展提高6.5m应该如何才能进入三楼灭火？三楼一楼二楼17.1.2勾股定理——综合应用复习：（1）勾股定理的内容：（2）勾股定理的应用：①已知两边求第三边；②已知一边和一锐角（30°、60°、45°的特殊角），求其余边长；③已知一边和另外两边的数量关系，用方程.4845°830°2课前练习：（1）求出下列直角三角形中未知的边在解决上述问题时,每个直角三角形需已知几个条件?610（2）求AB的长例1、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°,CD=,求线段AB的长.变式训练：△ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线AD=8,求线段BC的长和△ABC的面积.ABC17108D861515621或9S△ABC=84或36

当题中没有给出图形时，应考虑图形的形状是否确定，如果不确定，就需要分类讨论。例2、在△ABC中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm，求BC的长.

D勾股定理在非直角三角形中的应用：见特殊角作高构造直角三角形.变式1、在△ABC中，∠B=120°，BC=4cm，AB=6cm，求AC的长.

D变式2、在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高.

两个直角三角形中，如果有一条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.变式3、已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，求△ABC的面积.方程思想：两个直角三角形中，如果有一条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.D例3、已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2.求四边形ABCD的面积.

ABCOxy变式训练：如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），∠B=90°，∠BCO=60°，AB=2，求点B的坐标.例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AC=6cm，BC=8cm，（1）求线段CD的长；（2）求△ABD的面积.xx8-x664方程思想：直角三角形中，已知一条边，以及另外两条边的数量关系时，可利用勾股定理建立方程求解.DCBAE810变式练习：如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点A为（0，6），B为（8，0），AD平分∠BAC交x轴于点D，DE⊥AB于E.（1）求△ABD的面积；（2）求点E的坐标.

如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？ECABDx10-x6S△ABC=84或36补充练习：1、在△ABC中，AD是BC边上的高，若AB=l0，AD=8，AC=17，求△ABC的面积.矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。ABCDFERtΔABC中,AB比BC多2,AC=6,如图折叠,使C落到AB上的E处,求CD的长度,ABCDE（2）三角形ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线AD=8,求BCABC

例5（1）已知直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为

.5或17108D861515621或9练习5（1）已知直角三角形两边的长分别是3cm和6cm，则第三边的长是

.（2）△ABC中，AB=AC=2，BD是AC边上的高，且BD与AB的夹角为300，求CD的长.规律

分类思想1.直角三角形中，已知两边长,求第三边时,应分类讨论。2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。例7（1）直角三角形中，斜边与一直角边相差8，另一直角边为12，求斜边的长.例7（2）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.xx8-x664方程思想：直角三角形中，已知一直角边，以及另一直角边和斜边的等量关系，可建立方程求解.变式2、已知：如图，△ABC中,AC=4,∠A=45°，∠B=60°，求AB.

勾股定理的使用添辅助线ABCOxy勾股定理的应用回顾与思考

-----------勾股定理1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？2、请你举一个生活中的实例，并应用勾股定理解决它。课堂练习：一判断题.1.

ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13()2.

ABC的a=6,b=8,则c=10()

二填空题1.在

ABC中,C=90°,(1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.(2)若a=9,b=40,则c=______.2.在

ABC中,C=90°,若AC=6,CB=8,则

ABC面积为_____,斜边为上的高为______.6841244.83．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为()A.12cmB.10cmC.8cmD.6cmD4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CDABCD证明：过A作AE⊥BC于EE∵AB=AC，∴BE=CE在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2∴AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(DE+BE)·(DE-BE)=(DE+CE)·(DE-BE)=BD·CD5、已知：数7和24，请你再写一个整数，使这些数恰好是一个直角三角形三边的长，则这个数可以是——6、一个直角三角形的三边长是不大于１０的三个连续偶数，则它的周长是————25247.观察下列表格：……列举猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+25……13、b、c132=b+c请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.即b=

，c=

84859、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BAABC解：台阶的展开图如图：连结AB在Rt△ABC中根据勾股定理AB2=BC2＋AC2

＝552＋482＝5329∴AB=73cm8、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？CABDE解：连结BE由已知可知：DE是AB的中垂线，∴AE=BE在Rt△ABC中，根据勾股定理：设AE=xcm，则EC=(10－x)cmBE2=BC2+EC2x2=62＋(10－x)2解得x=6.8∴EC=10－6.8=3.2cm例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？201015BCA分析根据题意分析蚂蚁爬行的路线有两种情况(如图①②),由勾股定理可求得图1中AB最短.①BA2010155AB=√202+152=√625

BAB=√102+252=√725

②A2010155例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析:根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.ABDCD1C1①421

AC1=√42+32=√25;②ABB1CA1C1412

AC1=√62+12=√37;AB1D1DA1C1③412

AC1=√52+22=√29.

四、长方体中的最值问题二、圆柱(锥)中的最值问题例2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC=6–1=5，BC=24×=12，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13(m).21BAC10、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。ABCDGFE解：由已知AF=FC设AF=x，则FB=9－x在Rt△ABC中，根据勾股定理FC2=FB2＋BC2则有x2=(9－x)2＋32解得x=5同理可得DE=4∴GF=1∴以EF为边的正方形的面积=EG2＋GF2=32＋12=1011、假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？AB82361C解：过B点向南作垂线，连结AB，可得Rt△ABC由题意可知：AC=6千米，BC=8千米根据勾股定理AB2=AC2＋BC2

＝62＋82＝100∴AB=10千米11、如图，已知：CD⊥AB于D，且有求证：△ACB为直角三角形ABDC9．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？10．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．8、如图,点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有B、C两个村庄,现要在B、C两村庄之间修一条长为1000

m的笔直公路将两村连通,经测得∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.ABC400100060°30°D6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,AB=1,则2CD2+AD2+BD2=＿＿＿＿;7.三角形的三边长a,b,c满足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,此三角形为＿＿＿＿＿三角形.5、如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。ABC341312D24平方米3．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．A．B．7，24，25C．4，7.5，8.5D．3.5，4.5，5.51．请完成以下未完成的勾股数：（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，

则最大边上的高是_______．

4.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC=

.ADC644917ABCACPAC探索与提高2：如图所示，在△ABC中，AB=AC=4，P为BC上的一点，(1)求证：1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．2、已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．提升“学力”∵AC⊥AB(已知)∴AC2+AB2=BC2(勾股定理)∵AB=3cm,BC=5cm又∵CD=2