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文档简介
一、选择题
1.(2016高考数学浙江理科•第6题)如图,点列{4},{纥}分别在某锐角的两边上,且
|AA+J=|4+A+2|,AJ4+2,〃eN*,同纥/=|纥+也』,纥(P—Q表示点尸与。不重
合).若4,=|4闻,S1为AA,且纥M的面积,则()
A.电}是等差数列B.代}是等差数列C.{4}是等差数列D.{力}是等差数列
【答案】A
【命题意图】本题考查等差数列的概念、平行线的性质等基础知识,意在考查学生分析问题和解决问
题的能力.
解析:不妨设14AM=鼠4+2卜3,同纥/=园+也j=4,过点AM,A,,A,As,分别作直线4纥”
的垂线,高线分别记为々,/%也,,hn,hn+1,,根据平行线的性质,所以人,区,4,,hn,hn+1,成等差数列,
又S.=;x|纥纥/x/i"=;x4x用=24,所以{SJ是等差数列.故选A.
2.(2019•浙江•第10题)已知。,beR,数列{%}满足%=a,an+l=a~,+b,weN*,则
()
A.当6=g时,aw>10B.当6时,a10>10
C.当人=一2时,&o>1。D.当6=T时,40>10
【答案】A
【解析】解法一:对于B,由--尤+;=。,得x=g.取4=g,则%=;<10,所以生。<10,不合
题意;
对于C,由f一^一2=0,得%=2或%=-1.取4=2,则%=2<10,所以6o<lO,不合题意;
对于D,由/一彳一4=0,得了=生叵.取q=1±姮,则可=2<10,所以旬<10,不合题意.
22
221.24
“工A11z13z23.191171八
对于A,a=a/=(。+-)+->-,。4=(。+a+:)+o=7Z>1,。〃+1一%〉°,
2222244216216
他“}递增,当心4时,4±L=q+2>i+L。,迭乘法得中>§)6,
4a”乙乙
>--->10,A正确.故选A.
解法二:借助图形
其中选项5C,。中均含有不动点,由于。的不确定性,故都不能说明为)>10.故选A.
3.(2017年高考数学新课标I卷理科•第12题)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为
激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面
数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是2°,接下来的两项是2°,
21,再接下来的三项是2°,2122,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N
项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是()
A.440B.330C.220D.110
【答案】A
【解析】解法一:本题考查了等比数列的求和,不等式以及逻辑推理能力.
不妨设1+(1+2)+(1+2+4)++(1+2++2”T)+(1+2++2')=2"(其中
则有N——^+%+1,因为N>100,所以〃213
2
由等比数列的前〃项和公式可得2"+i—〃-2+—1=2"'
因为"213,所以2">〃+2
所以2"+i>2"+〃+2即r+1-n-2>2tt,因为—1>0
所以2">2"+1—〃—2>2”,故加之〃+1
所以加=〃+1,从而有“=2'+】—3,因为〃213,所以/»3,当/=3时,N=95,不合题意
当/=4时,〃=440,故满足题意的N的最小值为440.
解题关键:本题关键在于利用不等式的知识得出加=〃+1.
解法二:将数列的前N项按照2°,2°,21,2°,21,22,…分组,不妨设这样的分组共有n组不满足此特点的
n(n+l)++2)
单独为一组,则△—L<N<-一人——2,从而数列的前N项的和为
22
'n(n+l)、n(n+l)
(2!-1)+(22-1)++(2n-l)+2°+2〔+=2•一”一3+2”丁
I7
所以若使数列的前N项和为2的整数幕,则必存在正整数人使得2,=〃+3,即“=2'-3
(n+l)(n+2]
又N>100,所以——△——100,所以〃213,所以〃=2'-3213,所以年4
2
当/=4时,〃=13,此时100<NW105,所以N的可能值为101,102,103,104,105,经验证均不符合题
意,当负结合选项也可知道/=4不合题意,直接排除掉101,102,103,104,105的可能性
当r=5时,〃=29,此时435WNW465,结合选项特点可知:N=440,故选A.
”=29n=29n=29n=29n=29n=29
事实上验证:《或V~或<或<或<-或V
N=435N=436N=437N=438N=439N=440
n=29
只有4成立.
N=440
点评:此题就是分组和以及和与结论中隐藏的整除性问题,通过构建『的不等式限定九的可能值,进而求
出N最小值,还好选项提供的数据减少,很好验证操作.
解法三:检验法
由于这是选择题,为求最小值,从最小的开始检验
13x(13+1)
选项口:若"=110,由一-----^=91<口0,知第no项排在第14行,第19个
2
141914191015
SN=(2-13-2)+(2-1)=2+2-16=16X(2+2-1)
10
由2+2卜-1是奇数知SN不能写成2整数暴;
选项C:若N=220,由2°.(20+1)=210<220知,第220项排在第21行,第10个
2
21102110
SN=(2-20-2)+(2-1)=2+2—23是大于1的奇数,不能写成2整数基;
25x(25+1)
选项B,若N=330,由——-----L=325<330知第330项排在第26行,第5个
2
2652624
S7V=(2-25-2)+(2-1)=2+4=4X(2+1),同理,不能写成2整数塞;
n(n+l)++
选项A时,当N=440时,由」——<440<-^——△------可解出〃=29
22
所以这前440和为:(吸—1)+(2?—1)++(229-1)+(20+2,+22+23+24)=230,符合题意,故选A.
解法四:直接法
,!+1A+1k
由SN=(2-«-2)+(2--1)=2"+2-n-3能写成2的整数哥可知,2人—n―3=0,
左=log2e+3)eZ,且由N>100知〃>13,故满足条件的九的最小值为29,得左=5,此时
NJ9X(29+1)+5=440.
2
解法五:二进制转化法
按照上面形式重新排列后,第九层:1,2,4,•,2'T的和为=11⑵
把每一层的和的二时制数重新排列(低位对齐)
第1层:1
第2层:11
第3层:111
第〃层:1111
由于2的数累的二进制数为:2"=10000⑵,前〃层的和再加多少可以写成2的整数哥?
为方便相加,首先,每层都加1,则总共加了〃,得:
第1层:10
第2层:100
第3层:1000
第〃层:1000
此时〃层总的和为:11110,仍然不是2的整数累,再加上2即可!
〃个1
所以在前九层总和的基础上,再加上〃+2可使和成为2的整数幕
设第"+1层的前左个数的和为〃+2,即2上—〃—3=0
后面的方法同“解法四”.
【考点】等差数列、等比数列的求和.
【点评】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观
察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和.另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个
数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断.
4.(2016高考数学课标III卷理科•第12题)定义“规范01数列”{4}如下:{4}共有2机项,其中加项为
0,小项为1,且对任意kW2m,a、%、中。的个数不少于1的个数.若机=4,则不同的“规范01
数列”共有()
A.18个B.16个C.14个D.12个
【答案】C
【解析】由题意,得必有4=0,6=1,则具体的排法列表如图所示,共14个,故选C.
0111
011
0
101
1
00101
011
1001
1
10
01
10
10
011
001
1
1010
01
10
10
5.(2021年高考浙江卷•第10题)已知数列{%}满足%=1,。用=■一L("GN*).记数列{%}的前n项和
为S”,则)
199c「
A.5<Si。。<3B.3<5100<4C.4<S100<—D.—<S100<5
【答案】A
解析:因为4=l,%=d^("£N*),所以4>0,5100>1.
11
一麻二
1rn-\n+\
根据累加法可得,『《1+一厂=一二,当且仅当〃=1时取等号,
也22
、4an</n+1
二册N-----------T4+i=——-a
5+1)21+一1+二〃+3n
n+1
n+16
<----na„<当且仅当”=1时取等号,
ann+3"(n+1)(〃+2)
所以c/°46/匕11-1一1丁11<3,即3<几。<3.
故选A.
二、填空题
1.(2022高考北京卷•第15题)己知数列{4}各项均为正数,其前。项和S“满足
a〃-S〃=9("=l,2,).给出下列四个结论:
①{%}的第2项小于3;②{4}为等比数列;
③{4}为递减数列;④{4}中存在小于言的项.
其中所有正确结论的序号是.
【答案】①③④
解析:由题意可知,V/eN*,。〃〉0,
当〃=1时,=9,可得q=3:
9999
当”22时,由E,=一可得s“一1,两式作差可得4=------------
anan-lan%
999
:
所以,---=----。“,则----生=3,整理可得a;+3G2—9=0,
an-\ana2
因为凡〉0,解得%=3--3<3,①对;
2
假设数列{/}为等比数列,设其公比为q,则片=44,即二=4,
)$5
所以,S;=SR,可得a;(l+4)2=d(l+q+/),解得4=0,不合乎题意,
故数列{%,}不等比数列,②错;
999(〃一
当〃上2时,an=------------=-^~">0,可得为<4」所以,数列{/}为递减数列,③对;
anan-l
假设对任意〃eN*,42+,则品1000021000c10义击=1000,
9,91
所以,«100000=--------^7Z7-<—,与假设矛盾,假设不成立,④对.
3iooooo1UUU1UU
故答案为:①③④.
2.(2015高考数学新课标2理科•第16题)设S”是数列{%}的前〃项和,且4=-1,4+i=S〃S,+i,则
【答案】---
n
1111
解析:由已知得为+1=Sm—S〃=S〃+1・S〃两边同时除以S'+1・S〃,得---------=—1,故数列〈一卜是以
〃十1〃十JI11〃十•!flMT1“GOG
—1为首项,—1为公差的等差数列,则二-=—1—(〃—1)=—〃,所以s.=—工.
S”n
考点:等差数列和递推关系.
3.(2017年高考数学上海(文理科)•第14题)已知数列{4}和{2},其中4=后,/eN*,{4}的项是
互不相等的正整数,若对于任意“eN*,也}的第a„项等于{%}的第bn项,则3S也分篇)=________.
坨(岭2b3b4)
【答案】2
【解析】%=%=>的=b:n她她6=(他贴)n吗*=2.
坨3他2b3b6J,
4.(2016高考数学浙江理科•第13题)设数列{%}的前〃项和为S".若S2=4“M=2S“+l,"eN*,则
Q]-,.
【答案】1121
【命题意图】本题主要考查等比数列的概念、通项公式,通项应与前〃项和S,之间的关系等知识,意在考
查学生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.
解析:由于J],解得q=1,由%=。一S,=2S,+1得S„+1=3S„+1,所以S„+1+卜30+:),
所以{5“+;}是以|为首项,以3为公比的等比数列,所以S“+g=|x3"T,即S.=U,所以$5=121.
题型二:等差数列
一、选择题
1.(2020北京高考•第8题)在等差数列{。“}中,aA=-9,生=T.记北=01a2…%(〃=L2,…),则数列{1}
().
A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知,等差数列的公差1=之二/==4=2,
5—15—1
a=a
则其通项公式为:n\+(〃-l)d=-9+(〃-l)x2=2〃-11,
注意到4<。2<。4<。5<。<。6=1<%<,且由4<0可知z<0(iN6,i£N),
由;=4>1g7,ieN)可知数列闻不存在最小项,
由于%=—9,%=—7,%=—5,包=-3,.=-1,4=1,
故数列{1}中的正项只有有限项:1=63,7;=63x15=945.故数列{1}中存在最大项,且最大项为
小
故选:B.
2.(2019•全国I•理•第9题)记S〃为等差数列{4}的前〃项和.已知S,:。,%=5,则
2
A.an=2n-5B.an=3M-10C.Sn=2n-8nD.S——/I?—2n
n2
【答案】A
54=4q+6d=0q=—3
解析:--7^V
%=6+4d=5d=2
2
所以a”=ax+{n-V)d=-3+2("-1)=2zi-5,Sn=⑷=n-4n,故选A.
3.(2018年高考数学课标卷I(理)•第4题)记S“为等差数列{%}的前〃项和,3s3=52+邑9=2.则
%一()
A.-12B.-10C.10D.12
【答案】B
解析:;S“为等差数列{4}的前几项和,3S3=S2+S4,q=2,
(
3x13%H3—x2——d=q+q+d+4%4H—x3——d।1,把%=2,代入得d——3a$=2+4x(—3)=—10,
故选B.
4.设{4}是等差数列,%+%+%=9,&=9,则这个数列的前6项和等于
()
A.12B.24C.36D.48
【答案】B
解:{%,}是等差数列,。1+%+。5=3a3=9,。3=3,。6=9.〃=2,。1=一1,则这个数列的前6项
和等于6(q+%)=24,选B.
2
5.(2016高考数学课标I卷理科•第3题)已知等差数列{a“}前9项的和为27,a10=8,则%°o=
A100B99C98D97
【答案】C【解析】由等差数列性质可知:Sg=9""9)=*幺=9%=27,故%=3,而4。=8,
因此公差d=:?=I;.40c=+90d=98.故选C.
6.(2014高考数学福建理科•第3题)等差数列{4}的前n项和为S“,若4=2,邑=12,则1等于
()
A.8B.10C.12D.14
【答案】解析:由题意可得S3=q+%+/=3%=12,解得%=4,・,・公差d=4—q=4—2=2,
.•.々6=4+51=2+5x2=12,故选:C.
7.(2015高考数学重庆理科•第2题)在等差数列{4}中,若%=4,4=2,则,=
()
A.-1B.0C.1D.6
【答案】B
解析:由等差数列的性质得&=24—4=2x2—4=0,选B.
8.(2015高考数学北京理科•第6题)设{an}是等差数列.下列结论中正确的是
()
A.若则生+生〉。B.若。1+。3<0,则。1+%<0
C.若则〃2>口.若%<0,贝lj(〃2—卬)(%—生)>0
【答案】c
解析:先分析四个答案支,A举一反例q=2,4=一1,。3=-4,%+2>0而。2+。3<0,A错误,B
举同样反例。]=2,=一1,。3=—4,Q]+。3<。,而。]+%>0,B错误,下面针对C进行研究,{%}
是等差数列,若则q>0,设公差为d,贝Ud>o,数列各项均为正,由于
—4。5=(G+〃)2+2d)+2%1+〃2一%2一2%〃=[2>。,则>a{a3
nq>,故选c.
9.(2017年高考数学新课标I卷理科•第4题)记S“为等差数列{4}的前〃项和.若%+%=24,A=48,
则{4}的公差为)
A.1B.2C.4D.8
【答案】c
【解析】设公差为d,%=。1+3d+%+4d=26+7d=24,
6x52tz,+7d=24
S6=6q+±Ad=6q+15d=48,联立《1,解得d=4,故选C.
2[66+15d=48
秒杀解析:因为$6=6(一+"6)=3(%+%)=48,即4+%=16,则
(4+%)—(%+/)=24—16=8,即4―%=2d=8,解得d=4,故选C.
【考点】等差数列的基本量求解
【点评】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如{an}为等差数列,若
m+n=p+q,贝!Iam+an=ap+aq.
10.(2014高考数学辽宁理科•第8题)设等差数列{4}的公差为d,若数列{2%%}为递减数列,则
()
A.d<0B.d>0C.axd<0D.axd>0
【答案】c
解析:根据题意可得
•/数列{2*}为递减数列,,2的"〉2叫+|,亍石7=2"=2初>1=2°,:.axd<Q.
解析2:由数列{2%%}为递减数歹U,根据指数函数y=a"的性质,知qa”<0,得囚〉0,4<0,或
ax<0,an>0,当%〉0,an<0时,d<0,所以axd<0,,当囚<0,a”〉0时,d>0,所以<0,
综上:axd<0.
二、填空题
1.(2019•全国III•理•第14题)记S“为等差数列{3}的前见项和,qWO,%=3%,贝
【答案】4.
S1OqH--------d]Qz-j
【解析】因所以=即2q=d,所以詈=-------------=:"=4.
一个25%
【点评】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算.渗透了数学运算素养.使用转化思想得出答案.
2.(2019•江苏•第8题)已知数列{%}(“©N*)是等差数列,S"是其前n项和若02a§+4=。,§9=27,则
5g的值是.
【答案】16
【解析】由59=9%=27,得%=3,从而32+a=0,即3(生-34)+(%+34)=0,解得d=2,所以
Ss=S9—a9=S9—(a5+4d)=27-11=16.
3.(2019•北京•理•第10题)设等差数列{。"}的前"w项和为S“若。?=-3宵=-3,&=-10,则
"5=,S,的最小值为.
【答案】⑴0;(2)-10.
【解析】等差数列{2}中,85=5%=-1。,得。3=—2,。2=—3,则公差d=。3—。2=1,
%=。3+2d=0,
由等差数列{&}的性质得〃W5时,。“<0,当”之6时,4大于0,所以S.的最小值为S4或S5,
值为—10.
4.(2018年高考数学上海•第6题)记等差数列{4}的前几项和为S”.若。3=0,&+%=14,则
57=.
【答案】14
解析:气+%=2%+1Id=14,%=+2d=0,:.d=2,a4=a3d=2,57=7tz4=14.
5.(2018年高考数学北京(理)•第9题)设{4}是等差数列,且q=3,2+。5=36,则{%}的通项
公式为.
【答案】an=6n-3
解析:a2+a5=(G+d)+(G+4d)=2G+5d=6+5d=36,:・d=6,
an=ax+(n-l)J=3+6(〃-1)=6〃一3.
6.(2014高考数学北京理科•第12题)若等差数列{q}满足%+为+%〉0,a7+«io<O,则当〃=
时,{%}的前〃项和最大.
【答案】8
解析:1。7+。8+。9=3。8>。,%+。10=。8+。9〈。,••«8>0,fl9<0,
,〃=8时,数列{%}的前n项和最大.
7.(2015高考数学陕西理科•第13题)中位数1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的
首项为-
【答案】5
解析:设数列的首项为生,贝U%+2015=2义1010=2020,所以q=5,故该数列的首项为5,所以答案
应填:5.
8.(2015高考数学广东理科•第10题)在等差数列{4"}中,若。3+。4+。5+。6+%=25,则
【答案】10
解析:因为{a〃}{。g}是等差数列,所以。3+“7=4+&=。2+“8=2%,
%+。4+%+“6+%=5%=25,即“5=5,4+“8=2%=10,故应填入10
9.(2016高考数学江苏文理科•第8题)已知{%}是等差数列,S,,是其前几项和.若为+蜡=-3,&=10,
则a9的值是-
【答案】20.
解析:设公差为2,则由题意可得6+(%+4)2=—3,5q+10d=10,解得q=—4,d=3,则
。9——4+8x3=20.
10.(2016高考数学北京理科•第12题)已知{4}为等差数列,5〃为其前〃项和,若%=6,/+%=。,
贝凡二.
【答案】6
6x(6-l)
解析:*/%+%=2%;•%=0,;q=6,%=%+3dd=—2,S6=6。1H-------<7=6.
题型三:等比数列
一、选择题
1.(2023年天津卷•第6题)已知{为}为等比数列,5“为数列{4}的前九项和,4+1=250+2,则%的
值为()
A.3B.18C.54D.152
【答案】C
解析:由题意可得:当〃=1时,%=24+2,即QM=2q+2,①
当〃=2时,%=2(卬+%)+2,即%片=2(q+aq)+2,②
联立①②可得q=2应=3,则〃4=qq3=54.
故选:C.
2.(2023年新课标全国H卷•第8题)记用为等比数列{4}的前"项和,若'=-5,§6=2152,贝”8=
().
A.120B.85C.-85D.-120
【答案】C
解析:方法一:设等比数列{4}的公比为心首项为6,
若q=l,则臬=6%=3*26=352,与题意不符,所以qwl;
由S4=—5,$6=21邑可得,4。一力=—5,业4=21x4二£)①,
1-ql~q1-q
由①可得,l+q2+q4=21,解得:42=4,
所以所="I’—q)=q,—彳)义(]+/)=_5义。+:16)=_85・
故选:C.
方法二:设等比数列{4}的公比为4,
因为§4=一5,S6=21S2,所以q/-l,否则64=0,
从而,邑,邑—S2,S6—S^Sg—S6成等比数列,
95
所以有,(一5—S2y=S?(21S2+5),解得:52=-1BJ<52=-,
当邑=-1时,S2,S4-S2,S6—S4,S&—S6,即为-1,一4,-16,$8+21,
易知,58+21=—64,即既=一85;
当S2=:时,S4=q+g+%+%=(。1+02乂1+[2)=(1+/)$2>0,
与$4=-5矛盾,舍去.
故选:C.
3.(2023年全国甲卷理科•第5题)设等比数列{«„}的各项均为正数,前。项和S“,若4=1,工=5§3-4,
贝”4=()
1565
A.——B.——C.15D.40
88
【答案】C
解析:由题知l+q+q2+/+/=5(1+“+/)-4,
即/+/=4g+4/,即/+/_4q_4=0,即(q-2)(q+l)(q+2)=0.
由题知q>0,所以4=2.
所以S4=1+2+4+8=15.
故选:C.
4.(2022年高考全国乙卷数学(理)•第8题)已知等比数列{4}的前3项和为168,%-4=42,则&=
A.14B.12C.6D.3
【答案】D
解析:设等比数列{%}的公比为4MW。,
若q=l,则。2-。5=0,与题意矛盾,
所以,
q(i-/)
ax—96
4+4+%=--------=168〜曰
则1231-q,解得<1
q=—
4
a2-a5=axq-a{q=422
所以06=%/=3.故选:D.
5.(2019•全国m•理•第5题)已知各项均为正数的等比数列{4}的前4项和为15,且%=3%+4弓,
则。3=()
A.16B.8C.4D.2
【答案】C
、\CL+aq+a,q2+a^3=15,fa=1
【解析】设正数的等比数列{r4}的公比为9,则广4y;,解得4c
(,[4/=3%才+4%[夕=2
/=ad=4,故选c.
另解:数感好的话由邑二15,立即会想到数列:1,2,4,8,16,,检验是否满足。5=3%+4%,可以迅
速得出。3=4.
【点评】在数列相关问题中,用基本量的通性通法是最重要的,当然适当积累一些常见数列,对解题
大有裨益.
6.(2018年高考数学浙江卷•第10题)已知%,生,43,。4成等比数列,且%+。2+。3+〃4=ln(%+〃2+。3),
若%>1,则)
A.ar<a3,a2<a4B.ax>a3,a2<a4
C.ax<a3,a2>a4D.al>a3,a2>a4
【答案】B
解析:由q+%+/+%=ln(%+2+q)的结构,想到对数放缩最常用公式InxWx-l,
所以q+%+%+。4=ln(,i+"2+。3)&"i+"2+%—L得至!J%W—1,于是公比g<0.
若qW—1,则a[+出+。3+%=勾(1+q)(i+/)/o,
而q+〃2+〃3=。1(1+4+')2%>1,即ln(%+。2+13)>°,矛盾,
所以一IvqvO,于是q—4=%(1—/)>0,4—%=—/)<0,故选B.
7.(2014高考数学重庆理科•第2题)对任意等比数列{为},下列说法一定正确的是
()
A.%,。3,。9成等比数列B.%,%,4成等比数列
C.02,。4,。8成等比数列D.%,。6,。9成等比数列
【答案】D
解析:根据等比数列中等比中项的性质可得,如果数列为等比数列,即若2〃=/+左则有。2“=。厂为
8.(2015高考数学新课标2理科•第4题)已知等比数列{4}满足%=3,%+%+%=21,则
+%+%=()
A.21B.42C.63D.84
【答案】B
解析:设等比数列公比为q,则q+M+=21,又因为q=3,所以/一6=0,解得/=2,
所以。3+%+%=(q+%+%)/=42,故选B.
9.(2015高考数学湖北理科•第5题)设生,织,M.WR,n-3■若p:q,外,•,4成等比数列;q:
(a;+a;++ag++a;)=(q%+a,43++。〃-1%)-,贝U()
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是4的充分条件
C.p是4的充分必要条件
D.2既不是4的充分条件,也不是“的必要条件
【答案】A
解析:对命题p:4,%,,%成等比数列,则公比q='("»3)且4a0;
«n-l
对命题q,①当q=0时,(。;+用++a)i)(〃;+〃;++a;)=(q〃2+。2。3++a〃一I。.)?成立;
②当qW0时,根据柯西不等式,等式伍;+用++++〃;)=(%/+〃2%++凤一。)2成
立,
则色=91=…=也,所以4,出,,4成等比数列,
Cl?CI3d〃
所以X是4的充分条件,但不是q的必要条件.
二、填空题
1.(2023年全国乙卷理科•第15题)已知{%}为等比数列,g%%=a3a6,a9aw=-8,则%=.
【答案】-2
解析:设{%}的公比为q(qwO),则a2%%=。3a6,显然。“彳0,
则氏=/,即则44=1,因为a9al()=-8,则.囚,=一8,
则/=(/)=-8=(-2/,则q3=—2,则%-a\Q-Q5=q,=—2,
故答案为:-2.
2.(2019•全国I•理•第14题)记S”为等比数列{a〃}的前〃项和.若囚=!,壮=牝,则
…i121
【答案】一
3
|(l-35)
解析:由4:=%,,得a%6=qq5,所以。逐=1,又因为q=g,所以q=3,S5=121
1-33
3.(2014高考数学广东理科•第13题)若等比数列{%}的各项均为正数,且为+的42=2e5,则
In«]+Ina2++lna20=
【答案】50.
解析:由等比数列的性质得依题意有%0・61=/,运用对数的运算可得所求等式左边
50
=ln(a10/1)1°=Ine-50
4.(2014高考数学江苏•第7题)在各项均为正数的等比数列{氏}中,%=1,%=4+2%,则。6的值
是.
【答案】4
解析:设公比为q,因为〃2=1,则由%=4+2〃4得q'=q,+2q?,q4—q2—2=0,解得相=2或/=—1(舍),
所以。6=a?q—4.
5.(2015高考数学安徽理科•第14题)已知数列{2}是递增的等比数列,%+%=9,%%=8,则数列{g}
的前几项和等于―—
【答案】2〃-1
a.+a=9
解析:由题意,Pd4C,解得%=1,%=8或者。1=8,。4=1,而数列{%}是递增的等比数列,
%=%•%=8
所以q=l,%=8,即^="=8,所以q=2,因而数列{%}的前几项和
S/(IT
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