小学奥数几何体系-折纸问题、将军饮马

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对称指物体或图形在某种变换条件下，其相同部分间有规律重复=的现=象，S也就=是在S一定

变换条件下的不变现象.对称是几何形状、系统、方程及其他实际上或概念上之客体的一种

特征.

轴对称：如果一个平面图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这

个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

轴对称图形的特点：

♦对称轴是对应点的连线的垂直平分线；

♦对称轴左右两边的图形全等（对应边和对应角都相等）

例题：下列图形中对称轴最多的是_________.

ΔA□BCODX

解析：图A是一个等边三角形，有三条对称轴；图B是一个正方形，有四条对称轴；

图C是一个正五边形，有五条对称轴，图力有三条对称轴.

总结：先观察图形中相等的边，对称轴是一条直线.

如图，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是

（）.

将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角

形.将纸片展开，得到的图形是（）.

一位将军要从A城堡去B军营，但战马已经很疲惫了，现在需要战马先去河边饮水，饮水

后到达B军营，应该怎样走路程才最短？（两点之间，线段最短）

a

缸∙B

A

小河

iff练一练

如下图，在直线4、，2上分别求点N,使得APMN的周长最小.

请用两种方法分别在下图方格内再涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形.

能练一练

>-I

由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑，请你用八种不

同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形.

*4吧

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点在格点上，请

按要求完成下列各题：

（1）先将三角形48C绕点C顺时针旋转90。，再向右平移2个单位长度，得到三角形AB右

（点A、2、C经过旋转，平移后的点分别为A、B、O.请在网格中画出三角形ARe

（2）若图中点A的位置记作（3,5）,点B的位置记作（1,2）,那么点B的位置记作.

（3）连接Afi',AB＞求四边形AfiA'8.的面积.

A

2

f

B1C

的练一练

如图，将三角形ABC绕点。逆时针旋转90。，画出旋转后的图形.

城）［）模块二折叠问题二:■

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图形的折叠实际就是反射变换或者说是对称变换，或者说是翻折.这类问题大都联系实

际，内容丰富，解法灵活，具有开放性，有利于考查解题者的动手能力，空间观念和几何变

换的思想.

对于折叠问题，有以下几点：

♦折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换；

♦折叠前后的图形形状和大小不变，位置不变，对应边和对应角相等；

♦在长方形（纸片）折叠问题中，重合部分是一个以折痕为底边的等腰三角形.

例如：将一张长5厘米，宽3厘米的长方形纸沿对角线对折后如图所示的图形，图中阴

影部分的周长是多少？

解析：阴影部分，

CE+EF=BC（折叠前后两线段重合），

AE+ED^AD,AF=AB;

贝IJ阴影部分的周长AE+ED+CE+EF+AF+CD

=AD+BC+AB+CD

=2x(5+3)

=16(厘米)

答：阴影部分的周长是16厘米.

总结：折叠是一种对称变换，它属于轴对称.对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折

叠前后图形的大小不，对应边和对应角相等.

Λ∖例5

小熊猫最近迷上了图形的折叠，它将一张面积为42平方厘米的三角形折成了如图所示的图

3

形，已知图中阴影部分的面积是原来三角形面积的亍，那么四边形ABC。的面积是多少？

如果原三角形的周长是45厘米，那么阴影部分的周长是多少？

的练一练

将如图所示的三角形沿虚线折叠，得到如图所示的多边形，这个多边形的面积是原三角形的

已知图中重叠的面积和为6平方厘米，求原来三角形的面积.

7

空

如图，在7x7的方格中，找到一点C使得三角形ABC成为一个等腰三角形，满足条件的

点C有多少个？请在图中标出各点.

B

Λ

iff练一练

如图，在7x7方格中，找到一点C,使得三角形ABC成为一个直角三角形，满足条件的点

C有多少个？请在图中标出各点.

」、例7

'一

将一个长为5厘米，宽为2厘米的长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角

形ABC,则这个三角形ABC面积的最小值是多少？最大值是多少？

伊练一练

将一个宽为8厘米的长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形A5G则这

个三角形ABC面积的最小值是多少？

BA

随堂练习

练习1.农民叔叔阿根想用20米长的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝（如图）.要使所建的

鸡窝面积最大，BC的长应是多少米?

练习2.将.4BC沿DE、HG、所翻折，三个顶点均落在点。处.若Zl=129°,则Z2

的度数为（）.

练习3.在下列图中，将三角形A8C绕点C按顺时针方向旋转90。后，再向右平移4个格,

请作出最后得到的图案.

练习4.将一正方形纸片依次按下图中前两幅图的方式对折后，再沿第三幅图中的虚线裁剪,

然后将第四幅图中的纸片打开铺平，所得的图案应该是下面图案中的（)

TR一"」

D-I□□

练习5.小学五年级我们学习了《轴对称》，折叠是研究《轴对称》的重要方法之一.请用你

学过的知识帮助小明解决下列问题：

(1)如图1,在长方形A8C。中，点E是边BC上任意一点，连接AE、DE,若长

方形ABCQ的面积为8,则三角形AEZ)的面积为.

(2)如图2,是一张面积为8的三角形纸片ABC,AO是BC边上的高，。为垂足，

小明将三角形纸片折叠，使得点A与点。重合，折痕为EE将点B与点。重合，

折痕为E”，点C与点。重合，折痕为尸G.如图3,此时，小明发现四边形EFG”

是一个长方形，那么图3中阴影部分的面积为.

(3)如图4,有一张三角形纸片ABC,小明将这张纸片沿CE折叠，点A落在三角

形ABC的外部A处，折叠后得到多边形A8G4FCE,它的面积与原来三角形A3C的

面积之比为2:3,已知阴影部分的面积为5平方厘米，请帮助小明求出原三角形ABC

的面积.

图4

思维提升

提升1.有一张等腰直角三角形的纸（如图1），AB=20厘米.把它的两个角向斜边的中点。折

叠，使A、B两点都与O点重合（如图2）,再以Co为对称轴将图2对折，得到一个

梯形（如图3）.求这个梯形的面积.

提升2.如图，一张长方形纸片经过折叠，恰好得到一个三角形ABC,这个三角形的面积与

原长方形纸片面积之比为，ZBAC=

提升3.如图，直角梯形ABeD中，AD∕∕