山东省菏泽市2023届高三下学期一模联考数学试题（解析版）

2023年高三一模考试

数学试题

2023.2

注意事项：

L本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.

3.考生作答时，请将K答案H答在答题卡上.选择题每小题选出《答案X后，用2B铅笔把答

题卡上对应题目的II答案Il标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡

上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的K答案Il无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合"={幻,-x-2<θ},则金A=()

A.{%∣-l<x<2}B.{x∣-l<x≤2}

C.{x∣X<—1或%>2}D.{x∣x≤-l或x≥2}

K答案HD

K解析H

K祥解11根据不等式的解法，求得A={x∣τ<x<2},结合补集的运算，即可求解.

K详析D由不等式ΛJ-X-2=(X-2)(X+1)<0,解得一1<X<2,即A={x∣T<x<2},

根据补集的概念及运算，可得。A={x∣X≤-1或x≥2}.

故选：D.

2.设i虚数单位，复数z=i(2-D,则I=()

A.1+2zB.1一2iC.-1+2zD.—1—2i

R答案UB

K解析》

K祥解》先化简复数，再根据共就复数概念得结果.

K详析DQz=z(2-z)=l+2z.∙.z=l-2z

故选：B

Kr点石成金D本题考查共辗复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天

体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，

若将一张厚度约为01毫米的纸对折几次其厚度就可以超过到达月球的距离,那么至少对折的次数“是()

(Ig2≈0.3,lg3.8≈0.6)

A.40B.41C.42D.43

K答案』C

K解析H

K祥解H

设对折〃次时，纸的厚度为则｛4｝是以q=0.1x2为首项，公比为2的等比数列，

求出｛%｝的通项，解不等式4,=().lx2"≥38xl()4χl()6即可求解

R详析》设对折〃次时，纸的厚度为％,每次对折厚度变为原来的2倍，

由题意知｛4｝是以q=0∙lx2为首项，公比为2的等比数列，

所以a,,=0.1×2×2π^l=0.1×2n,

令α,,=0.1×2,,≥38X104×106,

即2"≥3.8X10∣2,所以Ig2"≥lg3.8+12,即篦lg2≥0.6+12,

解得：«>—=42,

0.3

所以至少对折的次数〃是42,

故选：C

H点石成金D关键点『点石成金J：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，

转化为解不等式即可.

4.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且A8,C,。四个顶点在同一平面内，下列结论：①AE//平

面CDF；②平面AM//平面CPF;③A④平面ACE_L平面BZ印，正确命题的个数为()

E

A.1B.2C.3D.4

K答案UD

R解析』

R祥解2根据题意，以正八面体的中心。为原点，08,0CoE分别为％χz轴，建立如图所示空间直角

坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.

以正八面体的中心。为原点，08,0CoE分别为X,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

设正八面体的边长为2,则A仪,-夜,0)闾0,0,夜),。(0,0,0),力(—&,0,0),40,0,-夜)

所以，AE=(θ,√2,√2),CD=(-√2,-√2,θ),CF=(θ,-√2,-√2),

..fCD-n=-y/lx-V∑v=O∖x=z

设面CDF的法向量为〃=(工,丁*),则〈LL,解得＜,取X=I,即〃=(LTl)

[CF∙n=-√2y-√2z=01%=一＞

又AE∙/=-JΣ+我=O，所以AEj_〃，AEa面Cf＞尸，即AE//面CDE，①正确；

因为AE=-CF,所以AE//CT,

又ABHCD,ABU面CDE,Cr)U面CDb,则AB//面CoF,

由ABnAE=A,4£,48<=平面4?£,所以平面AEB//平面，②正确；

因为8(夜,O,θ),AB=(0,0,θ),AD=(-0,JΣ,θ),则.花=0，所以/1B_LA£),③正确;

ULU

易知平面ACE的一个法向量为“=(1,0,0)，平面3DF的一个法向量为々=(0,1,0),

因为〃∣∙n2=0,所以平面AcEJ■平面JBz)F,④正确;

故选：D

5.过抛物线C:y=4/焦点/作倾斜角为30的直线交抛物线于A6,则IAW=()

12

A.-B.-C.1D.16

33

K答案』A

K解析》

K祥解D点斜式设出直线/的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的定义，利用韦达定理来求解.

K详析》y=4/化为标准形式f=_Ly由此知2〃=]_,〃=_!_；

448

设直线，的方程沏TYAaM,配M，根据抛物线定义知围r+%+P;

将X=Ky一5)，代入f=2py,可得12尸一20py+3∕√=0,

20

乂+%—P~~

123

5881ɪ

由此代入IABl=yi+y2+P=—p+P=-p=-×-

33383

故选：A

6.为了迎接“第32届荷泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担

一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的

分工方法种数为()

A.9种B.11种C.15种D.30种

K答案HC

K解析H

R祥解》利用分类加法计数原理进行分析，考虑丙是否是美工，由此展开分析并计算出不同的分工方法种

数.

K详析Il解：若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，

然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有C；C：=12种分工方法；

若丙不是美工，则丙一定是总负责人,

此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有C；种分工方法;

综上，共有12+3=15种分工方法,

故选：C.

12%

7.设实数χ,y满足χ+>=ι,ʃ>O,x≠o,则厂［+—的最小值为（）

IxIy

A.2√2-lB.2√2+lC.√2-lD.√2+l

K答案】A

K解析》

K祥解Il分为X>O与x<O,去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解

得出K答案》.

12Ixlχ+y2xy2xΓy_2x.-

K详析》当χ>O时，∣-r+-----=-----+——=—H------Fl≥2---------F1=2∖∣r2+1»

HlyXyXy∖χy

当且仅当上=2x

—,即x=√2-by=2-√Σ时等号成立，此时有最小值20+1；

Xy

二+纲="+2=2+07≥2回凸—1=2艮1.

当XVO时,

国y-Xy-XyY-Xy

当且仅当上即

=2,x=_i_J5,y=2+0时等号成立，此时有最小值2√5-l

Ty

12XL

所以，'的最小值为20—1∙

Wy一

故选：A.

8.定义在实数集R上的函数y=∕（x）,如果3¾∈R,使得〃/）=/，则称与为函数“X）的不动点•

给定函数/(x)=CoSΛ,g(x)=sinr,已知函数/(x),/(g(x)),g(∕(x))在(0,1)上均存在唯一不

动点，分别记为国,々，七，则（）

A.x3>xi>X2B.x2>X3>XiC.X2>X1>X3D.x3>x2>X1

K答案2c

K解析X

K祥解Il由已知可得CoSXl=X1,贝I]CoSXl-Xl=0,Sin(CoSXI)-Sinχ=O.然后证明x>sinx在(0,1)上

恒成立.令∕7(x)=Sin(COSX)—sinX,根据复合函数的单调性可知尸(X)在((U)上单调递减，即可得出

刍<玉.令G(X)=CoSX—x,根据导函数可得G(X)在((U)上单调递减，即可推得∕>x∣∙

R详析11由已知可得，CoSXl=X一则COSXl-X]=0,

且Sin(COSXj=Sin玉，所以Sin(COSXJ—sin玉=0.

又COS(SinX2)=W，Sin(COSΛ3)=x3.

令〃(X)=X—sinx,Xe(0,1),则/2'(X)=I—cosx>0恒成立，

所以，MX)在(0,)上单调递增,所以MX)>∕ι(0)=0,所以x>sinχ.

所以，Sin(COSF)=X5>sinx3,即Sin(COSF)—SinF>0.

令∕7(x)=Sin(CoSX)-SinX,x∈(θ,l),

因为函数y=sinx在(0,1)上单调递增，y=cosx在(0,1)上单调递减，且O<cosx<l,

根据复合函数的单调性可知，函数y=sin(cosx)在(0,1)上单调递减，

所以E(x)在(0,1)上单调递减.

7

又∕(W)=O,F(X5)>0=F(XI),所以X3<%.

因为V=Cosx在(0,1)上单调递减，sinx2<x2,所以CoS(SinW)>COSΛ2.

又COS(SinX2)=W，所以々,cos/,BPCOS%2-Λ2<O.

令G(X)=CoSX—x,x∈(0,l),则G'(x)=-SinX—1<0恒成立，

所以，G(X)在(0,1)上单调递减.

又G(XI)=COS玉一百=O,G(X2)=CoSX2_W<0=G(XJ,

所以々>X.

综上可得，X2>x∣>X3.

故选：C.

Rr点石成金口关键点『点石成金』：证明X>sinx在(0,1)上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而

根据函数的单调性得出大小关系.

二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，有选错的得O分，部分选对的得2分.

9.为了解学生的身体状况，某校随机抽取了IOO名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位:

千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）

A.频率分布直方图中a的值为0.04

B.这100名学生中体重不低于60千克的人数为20

C.这100名学生体重的众数约为52.5

D.据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25

K答案，ACD

K解析，

分析》利用频率之和为1可判断选项A,利用频率与频数的关系即可判断选项B,利用频率分布直方图中

众数的计算方法求解众数，即可判断选项C,由百分位数的计算方法求解，即可判断选项D.

K详析2解：由（0∙01+0∙07+0∙06+α+0.02）χ5=l,解得α=0.（）4,故选项A正确；

体重不低于60千克的频率为（0.04+0.02）x5=0.3,

所以这100名学生中体重不低于60千克的人数为0.3x100=30人，故选项B错误；

100名学生体重的众数约为空至=52.5,故选项C正确；

因为体重不低于60千克的频率为0.3,而体重在[60,65）的频率为0.04x5=0.2,

所以计该校学生体重的75%分位数约为60+5χ,=61.25,故选项D正确.

4

故选：ACD.

10.已知圆O：f+y2=4,下列说法正确有（）

A.对于VmeR,直线（2m+1）、+（加+1）丫-7"[-4=。与圆0都有两个公共点

B,圆。与动圆C:(X-女尸+⑶一百幻2=4有四条公切线的充要条件是网>2

C.过直线x+y—4=。上任意一点尸作圆。的两条切线PAPB(AB为切点)，则四边形Q4Q3的面积

的最小值为4

D.圆。上存在三点到直线x+y-2=0距离均为1

K答案DBC

K解析》

R祥解11对于选项A,转化为判断直线恒过的定点与圆的位置关系即可；对于选项B,转化为两圆外离，

运用几何法求解即可；对于选项C,由SPAoB=2S3P=2JlOPI2-4，转化为求IoPl最小值即可；对于

选项D,设圆心到直线的距离为d,比较r―。与1的关系即可.

R详析D对于选项A,因为(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0,即：∕n(2x+y-7)+x+y—4=0,

2x+y-7=0CX=3

所以<∙,c=><,,所以直线恒过定点(3,1),

x+y-4=0[y=l

又因为32+『>4,所以定点(3,1)在圆。外，

所以直线(2根+l)x+(m+1)丁一7〃2-4=0与圆。可能相交、相切、相离，即交点个数可能为O个、1个、

2个.故选项A错误；

对于选项B,因为圆。与动圆C有4条公切线，所以圆。与圆C相离，

又因为圆。的圆心0(0,0),半径(=2,圆C的圆心C(k,Gk)，半径弓=2,

所以即：2解得：故选项正确；

∣OC∣>∕5+G,λ∕F+(√3Z:)>4,lZl>2.B

21

对于选项C,SPAOB=2SΔOAP=2×^×∖0A∖×∖PA∖=2×^×∖0A∖×y∣∖0P∖-∖0A[=2y∕[0Pf~A,

号=

又因为。到P的距离的最小值为。到直线x+y-4=O的距离，即:IoPImin=20,

所以四边形PAOB的面积的最小值为2)(2&)2-4=4∙故选项C正确;

2

对于选项D,因为圆O的圆心。(0,0),半径4=2,则圆心O到直线x+y-2=Q的距离为d正√2,

所以八-d=2-0<l,所以圆。上存在两点到直线x+y-2=0的距离为L故选项D错误.

故选：BC.

11.已知函数力(X)=Sin"x+cos"x(〃eN)下列命题正确的有()

A.f(2x)在区间［0,π］上有3个零点

B.要得到工(2x)的图象，可将函数y=技os2x图象上的所有点向右平移!个单位长度

O

C.力(X)的周期为T，最大值为1

D.力(力的值域为［-2,2］

K答案HBC

K解析，

R祥解2/；(2x)=J^sin(2x+：),根据X的范围得出工(2x)的零点，即可判断A项；根据已知得出平

13

移后的函数K解析Il式，即可判断B项；由已知化简可得K(X)=WCoS4x+1,即可判断C项；由己知

3

可得，^(%)=^cosfx--l-72cosfx--y换元根据导函数求解g(f)=2gf-衣3在卜J］上

的值域，即可判断D项.

K详析D对于A项，由已知可得，/(2x)=sin2x+cos2x=0sin(2x+?).

JT7ΓQτr

因为()≤X≤7l,所以一≤2x+-≤-,

444

当2%+3=π或2x+?=2π时,即X=型或X=女时，有＜(2x)=0,

所以工(2x)在区间［(),兀］匕有2个零点，故A项错误；

对于B项，将函数y=√∑cos2x图象上的所有点向右平移弓个单位长度得到函数

y-V2cos2^x-^=&cos(2x—：J=V∑sin［2x+∙^),故B项正确；

4422222

对于C项，由己知可得，f4(x)=sinx+cosX=(sinx+cosxj-2sinxcosx

1.2c,1l-cos4x,1.3

=——sin2x+ι-——X-----------ɪ-l=—cos4%+-,

22244

ɔJFJT1Q

所以，Zla)的周期τ='=2,最大值为±+±=1,故C项正确；

4244

对于D项，力(X)=Sin3x+cos∙,X=(SinX+cosX)(I-SinXCoSX)

λ13正∖∖

兀ππ

+1H

一

--一--J

47224√4√

令E=COS卜一：，—l≤f≤Lg(f)=孚/一万3,

则g<。=亭-3√^2=-3√Σ

tf—√η

2J

解g'W=O,可得t=±等

解g'(f)>O,可得—乎<r<#Xf√2√2Λ∣

,所以g(z/ɔ在1—2~''~2~上单调递增;

解g'（r）＜O,可得-14f＜一当或等＜fWl,所以g（r）在一1,一

上单调递减，在,1上单调

2J

递减.

口7ʌ3>∕2∕T∙^2⑸3√2

且g(-l)=——+√2=，g—×-y∕2×

2

/7

叵I=述X变一后历1，g（i）=哈血当

g

2J222J

当『=—孝时，g。）有最小值T；当f=孝时,

所以,g（。有最大值1.

所以,力（X）的值域为［-1,1］,故D项错误.

故选:BC.

/、

3√2π3π.令/=x

K『点石成金』X思路『点石成金』：求出力（外=---------COSX—-∖∣2cos%——cos(~~

24J

-l≤r≤l,g⑺=差√一.然后借助导函数求出g⑺=差√_√2r3在［-1,1］上的最值，即可得出

函数的值域.

12.已知双曲线£；:炉一21=1的左、右焦点分别为耳、£,过点C（l,立）的直线/与双曲线E的左、右两支

32

分别交于P、。两点，下列命题正确的有（）

A.当点C为线段P。的中点时，直线/的斜率为G

B.若A（-1,O）,则NQgA=2NQAK

C.∖PFl∖↑PF2∖>∖Pθf

D.若直线/的斜率为手,且3（0,√i）,K∣J∣P^∣+∣Qξ∣=∣PB∣+∣QB∣

K答案DBCD

R解析H

R祥解》对于八选项，设「（司,门,。（々，当），代入双曲线，用点差法即可判断；对于B选项，设Q（Xo,片），

表示出tanZQFA=一一三)'o

1^lltan2ZQAF2--得出tanNQgA=tan2NQA鸟，再结合

⅞-2XO-2

NQ玛A,NQA玛∈（0,兀）即可得出结论；对于C选项，设P（XP,%），其中％≤T,由双曲线方程，得出

疗=3（片-1）,利用两点之间距离公式，分别表示出|以讣归图和IPOl2,通过做差即可得出结论；对于

D选项，根据双曲线的定义，得出IWI+∣Q6∣=∣P周+依周，再证出点B与点K关于直线/对称，则

即可得出结论.

∖PB∖+∖QB∖^∖PF2∖+∖QF2∖,

K详析》选项A：

设Pa,y）,Q（χ2,%）,代入双曲线得，

2

2>3=1

2

,两式相减得，

.y一2

3=1

(Xl-%2)(%l+⅞)-∣(y,-y2)(yl+y2)=0.

•••点C为线段P。的中点，

.∙r∣+x2_iy+%M

••—i,=,

222

即玉+%=2,y+%=ʌ/ɜ，

.,.(xl—Λ2)∙2-Ʒ(JI-y2)∙>∕3=O,

.∙.k=入二&=26，故A错误:

尤1一元2

选项B：

设Q（Xo,y（）），

tanZQFA=-%tanZQAF=

2/一22

2人

+)'o

.∙.tan2ZQAF2=——⅛∖ɪ-

]_(_2Q_)2⅞-2

⅞+l

.∙.tanZQF2A=tan2ZQAF2,

又∙.∙NQ每A,N0A玛∈(0,π),

.∙.ZQF2A^2ΛQAF2,故B正确：

选项C：

设P(XP,%>),其中Xp≤-l,

则君—牛=1,即H=3(君—1),

IP用=J(∕+2)2+H=J(XP+2)2+3(")=∖2xp+1|，

IPKl=J(XP-2>+其=J(XP-2)2+3(H-I)=∣2XP—小

∙∙.IPKHPEI=∖(2xp+1)∙(2xr-l)∣=4x^-1,

.|P0『=ɪp+y；=Xp÷3(Xp—1)=4xp—3,

.∙.∣PO∣2-∣P^∣∙∣P∕ζ∣=4x^-3-(4xp-l)=-2<(),

：.\pof<∖PFl∖-∖PF2∖,故C正确；

选项D：

∖PF2∖-∖PF↑=2a,∖QFl∖-∖QF2∖=2a,

.∙.∖PFi∖=∖PF2∖-2a,∖QF∖=2a+∖QF↑,

∙∙∙∣P制+∣Q制=IP图—2α+2α+∣Q鸟I=IP用+∣Q闾,

•；直线/的斜率为毡即幻。=迪，且过点C(L

3PO3

.∙.直线/的方程为：2x-6y-g=0,

又，：B(O#)，月(2,0),

.k一一3

•∙%EF2—ɔ

即BF2±PQ9

0-√3x√3-ir

又•；点B到直线/的距离：,2√7,

4=------1-----------------=—

√4+32

2χ2-0-!r-

点五2到直线/的距离：.2√7,

ɑɔ=----/—=

即4=4，

・・・点8与点工关于直线/对称，

.∙.∖PB∖+∖QB∖^∖PF2∖+∖QF2∖,

.∙.∖PFi∖+∖QF↑=∖PB∖+∖QB∖,故D正确;

故选：BCD.

Kr点石成金口结论『点石成金］：本题涉及到双曲线中的有关结论：

221元

(I)若点M(XO,为)是双曲线「一马∙=1上一条弦PQ中点，则直线PQ的斜率M>o==∙」;

a~b^a^%

(2)若双曲线上有两点p、Q,且位于不同两支，贝IJIP周+∣QK∣=∣PE∣+∣QK∣.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知夹角为60的非零向量满足忖=2忖，(2a-tb)1b,则/=.

K答案》2

K解析，

R祥解》由(2。—仍)_L8得(2。-仍)为=0,化简代入结合数量积的定义即可得出K答案H.

K详析n因为的夹角为60,且W=2∣q,

而(2a—则(2d-町∙l=0,

所以(2之一仍)名=2ab-tb2=2∣tz∣∙∣⅛∣cos60o-∕∣⅛∣=0,

则2x2.,。；一巾『=0,解得：t=2.

故K答案H为：2.

14.定义在R上的函数/(x),g(x),满足/(2x+3)为偶函数，g(x+5)-l为奇函数,若/(l)+g(l)=3,

则”5)-g(9)=.

K答案D1

R解析H

"羊解力根据/(2x+3)为偶函数、g(x+5)-1为奇函数的性质，利用赋值法可得K答案》.

K详析》若/(2x+3)为偶函数，g(x+5)-1为奇函数，

则/(-2x+3)=∕(2x+3),g(τ+5)-1=-g(x+5)+l,

令x=l,则/(—2χl+3)=∕(2xl+3),即/(1)=∕(5),

令x=4,则g(-4+5)-1=-g(4+5)+l,即g(l)—1=—g(9)+l,

又因为F(I)+g(l)=3,所以/(5)-g(9)="l)+g(l)-2=1.

故R答案U为：1.

.ππ

xsιn÷ycos一ɑ

15.设乂旷均为非零实数，且满足——2-------&=tan二，则»=___________.

兀.兀

XCos——ysin—20X

5.5

R答案11

K解析H

πy

tan—I—Q

"羊解H先将原式化简得到一Lɪ=tan笠，再令2=tan。，

π

1--y-ltαη∏n—20%

X5

(兀、9兀

即可得至IJtane+《=tan而，从而求得结果.

πy

tan-+-9

K详析H由题意可得，一1-ɪɪtan-,

1—yt皿anJ—20

X5

π八

tan—+tanΘ

9π

令上=tan6,则5tan—,

X1-tan万tan—兀20

5

9兀

即tan16+彳=tan—,

20

Ti9兀π

所以。+―=E+即6=E+—∕eZ

5204

故2=tan。=tankπ+-=1

XI4)

故R答案Il为：1

16.正三棱锥P-ABC的高为PO,M为尸O中点，过4W作与棱BC平行的平面，将三棱锥分为上下两部

B

4

K答案』三

21

R解析W

2—.

K祥解》根据题意，做出截面，然后利用向量的线性表示及共线定理推论可得PF=WP。，进而可得

SPGH4V.

不生巨=天，从而可得才的值.

,HGBCZl丫2

K详析Il连接Ao并延长交BC于。，连接PO,则。为8C的中点，

延长A〃交PZ）于尸，过尸作6”//3。分别交2员/＞。于6,“，连接AG,AH,

因为GH//BC，3"1平面47”，BCZ平面AGH,

所以BC//平面AGH,又A"u平面AG”,故平面AG”即为过ΛM作与棱BC平行的平面,

I2“]—―2/------—1—2----

由题可知Ao=WAD,PO-PA=-IPD-PA],即Po=-PA+—PD,

33'’33

12

设∕√∙=∕IP∕),则Po=-PA+—PF,又M为P。中点，

332

111

所以PM=-P0=±B4+—PF,

2634

所以'+'=1,所以丸=2,即竺=2,

63/t5PD5

S.PGH44

q

QPBC2521

4

所以同匕-FG"

VyA-HGBC21,

4

故K答案』为：—".

21

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在平面四边形ABc。中，ABC=θφ<θ<π),AB=BC^CD=1,AC±CD.

(1)试用。表示BC)的长;

(2)求AC?+BI)?的最大值.

K答案U(I)ββ=2cos-

4

25

(2)——

4

K解析U

K祥解』(1)根据已知条件将N5CD用。表示,再在ABCD中利用余弦定理求解即可;

(2)在一ABC中先用余弦定理将AC2用。表示,再结合(D的结论,利用二次函数的性质求解最大值即可.

K小问1详析F

ZABC-θ(O<e<τι),AB=BC=CD=1,ACɪCD,

λNBCA柠4则的""+/B"A(K)=旧,

在∕∖BCD中,BD2=BC2+CD2-2BC-CDcosZBCD=2+2cos^=2∣1+2cos2^-1U4cos2*

0<^<π,

∩n

CoS->0,则BD=2cos-.

44

K小问2详析D

在_ABC中，AC?=从夕+BC2-2AB-BCcosZABC=2-2COSa

0QnC/91A25

∙,∙AC2÷BD2=2-2cos^÷2+2cos-=-4cos2—+2cos-+6=-4cos------+—,

222I24)4

0<6vπ,∙*∙O<cos-<1,

2

∩125

则当CoSt=L时,取到最大值一.

244

25

故AC2+3Z)2的最大值是一∙

4

18.为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植人民

C三种农作物(该试验田每次只能种植一种农作物)，为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种

12

植三次.在每次种植A后会有一的可能性种植8,—的可能性种植C；在每次种植B的前提下再种植A的概

33

1323

率为一，种植C的概率为一，在每次种植。的前提下再种植A的概率为一，种植8的概率为二.

4455

(1)在第一次种植B的前提下，求第三次种植A的概率；

(2)在第一次种植A的前提下，求种植A作物次数X的分布列及期望.

3

K答案》(1)—

10

27

(2)分布列见K解析为E(X)=—

20

R解析》

K祥解II(I)设A∣,Bi,G表示第i次种植作物A,B,。的事件，其中i=l,2,3,由全概率公式可

得P(A3)=P(G∣4)P(A3∣G),代入即可得出K答案L

(2)求出X的可能取值及每个变量X对应的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式求出X的期望.

K小问1详析工

设A,,Bi,G表示第i次种植作物A,B,。的事件，其中i=l,2,3.

在第一次种植B的情况下，第三次种植A的概率为：

323

P(A)=P(GIM)P(AjIG)=1X；=W；

4510

R小问2详析)

113

由己知条件，在第1次种植A的前提下：P(BD=M尸(414)=“P(C3IB2)=^,

223

P(C2)=-.P(AiIC2)=--P(B3IC2)=-,

因为第一次必种植A,则随机变量X可能取值为1,2,-

323113

P(X=D=P(CB3)+AB2C3)=P(B3∣C2)∙P(C2)+P(C3∣β2)∙P(β2)=-×-+≈×-=-J-,

22117

P(X=2)=P(C2A0+P(B2A3)=P(AJC2)∙P(C2)+P(AdB2).P(B2)=-×-+-×-=--,

JJIJN√l∕

所以X的分布列为:

X12

137

P

2020

19.如图，直四棱柱ABCD-A4GA中，ADVCD,ADHBC,AD=CD=2,BCAG与SQ交

于EG为棱BBl上一点,且ββl=3BG,点C到平面A1BD的距离为生叵.

(1)判断AG是否在平面AEA内，并说明理由；

(2)求平面A。E与平面A4f2所成角的余弦值.

K答案1(1)直线AG不在平面AER内，理由见R解析H

⑵也

17

K解析D

R祥解Il(I)以A为坐标原点，过A作与AO垂直的直线为X轴，AO,A&所在的直线分别为y轴，Z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，由Cl到平面A1BO的距离公式求出直四棱锥的高，求出平面A8∣2的一

个法向量〃2，由AG∙均HO可证明直线AG不在平面AEDl内.

(2)求出平面A4。的一个法向量，由二面角的向量公式代入即可得出K答案』.

R小问1详析H

以A为坐标原点，过A作与AO垂直的直线为X轴，A2A41所在的直线分别为，轴，Z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，设直四棱锥的高为加，则。(0,2,0),3(2,—1,0),

Cl(2,2,∕n),4(0,0,m),AiB=(2,-1,m),AG=(2,2,0),AD=(O，2,一机)，

设平面AB。的一个法向量为n,=(χ∣,y,zj,

n.`A1B=O12%fr叫=O

则即4

n,-AD=O2y-∕τtz=0

1111

l

所以点C到平面AtBD的距离为d="Cl=J6m+4m∣=」帆,令

∖n↑∖√9m2+4/??2+16J13M+16

芳仁=㈣7解得加=2

√13m2+16*

设平面ABlA的一个法向量为%=(%,%，22)，由ABl=(2,T,2),AD1=(0,2,2),

n∙Afi=O2X2—y2+2Z2=O

则21取巧=(―3,—2,2),

2y+2Z=O

n2-AD1=Q22

(2\__.一220

而AG=2,-1,—,所以AG∙n2=2x(-3)+(-1)x(-2)+—x2=-----≠0,

<3)33

又Aq与AE,AA共面，故直线AG不在平面AE。内.

K小问2详析』

依(1)知平面4石。的一个法向量为%=(-3,-2,2),

易知平面4AA的一个法向量为%二(1,0,0),

n∙n33√Γ7

设二面角E-AA-A的平面角为α,则cos。=x2

∣∕ι1∣∣π2∣>∕9+4+4×l17

故二面角E-AD1-Ai的余弦值主叵.

17

20.已知首项不为0的等差数列｛α,,｝,公差d≠0,%=0（/为给定常数），S,为数列｛α,J前〃项和，且

Sml=S也（町<?）,｛2｝为"为一"4所有可能取值由小到大组成的数歹U∙

(1)求4；

2π+l为数列｛｝的前〃项和，证明：；∣

设C,=(-l)π9ς,7,,≤-.

(2+1+1)(2+ι)'

K答案H(1)bll=2n-]

(2)证明见K解析》

K解析H

K祥解Il（I）根据题意，由等差数列的通项公式与求和公式得到关于4，”的方程，即可得到结果;

根据题意，得到数列｛c,,｝的通项公式，再由裂项相消法即可得到其前〃项和.

K小问1详析》

由题意得，4=4+Q-l)d=0,得4=(l-r)d,①

由S叫=S啊(叫</M),得町％+d=M+入(；1)”,②

2"-l)

由①②，可得町+优2=2,-L且2叫<町+/%=2/-1,则l≤m1≤f-l<∕-g,

由∕M2-肛=—2w1+2/—1,当叫在l≤∕n,≤f-1范围内取值时tn2—tni的所有取值为：2f—3,2f—5,,5,3,1∙

所以a=2"-l(l≤鹿≤f-l).

K小问2详析》

In+1

q,=(T)"=S'⅛⅛=(f”;1÷-L

(⅛÷ι+D(⅛+i)nn+1

IlllI111I1

所以T----------F----F-----....------------------------------F----------T，

12232n-l2n2n2n+l4k2n+1

由于n“=；^:Γ^τ](l<"≤^_l)是递减的，所以弓44=；(占_1]=_《

4∖2π+lJ412+lJ6

21.已知函数/(x)=me*-X2-x+2.

(1)若函数/(x)在R上单调递增，求〃?的取值范围；

(2)若加<0,且/(x)有两个零点χ∣,当，证明：∣x∣-引<3+/.

K答■(I)m>2e4

(2)证明见K解析》

K解析H

K