二项式定理-2023年高考数学一轮复习（全国通用）（解析版）

考向40二项式定理

『经典其由

1.(2022年北京卷T8)若(2x-1)"=%χ4+%丁+W-+α∣x+%，则/+%+%=

(A)40(B)41(C)-4()(D)-41

【答案】B

【解析】当X=I时，I=4+%+生+q+旬①；当时，X=T时，81=4-%+%-0+αo②；Φ+②得原

式=41

2.(2022∙新高考1卷Tl3)(1-^)(χ+y)8的展开式中/,6的系数为(用数字作答).

X

【答案】-28

【解析】原式等于(x+y)8—f(x+y)8,由二项式定理，其展开式中χ2y6的系数为C；-C；=-28

X

3.(2022•天津卷TIl)(«+之)5展开式中的常数项为

X

【答案】15

[解析】TM=G'(4尸3'(尸ynI-1=O,r=1,%=c；X3=15

4.(2022•浙江卷T12)己知多项式(x+2)(x-l)4=%+α∕+02χ2+为/+%/+生工5,则％=

4+。2+。3+。4+。5=.

【答案】8,-2

【解析】由题α2=lxC>(-l)+2xC](-l)2=8.

令X=1,则/+q+&+/+g+%=O.

又4=2,所以α∣+&+%+%+%=-2.

Wi------------------------------------------

J方法技巧)

1.求二项展开式中的特定项的方法:

①求通项，利用(α+6)"的展开式的通项公式「+I=CJJ〃7∕(r=0,1,2,…，〃)求通项.

②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组).

③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项.

2.求解形如(α+力"(c+。"的展开式问题的思路

(1)若"，加中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(α+8)2(c+J)w=(α2+2c⅛+⅛2)(c+6∕y",然后展开分

别求解.

(2)观察(α+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)"l—∙χ)7=Kl+x)(l—x)]5(l—∙χ)2=(]—/)5(]—x)2.

(3)分别得到3+与"，(c+√r的通项公式，综合考虑.

3.求三项展开式中某些特定项的系数的方法

(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解.

(2)两次利用二项式定理的通项公式求解.

(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到

特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.

4.系数和问题常用“赋值法”求解

赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法.求解有关系数和题的

关键点如下：

①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：等.

②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值.

③求值，根据题意，得出指定项的系数和.

5.二项式系数和：5+份"的展开式中二项式系数的和为C9+α+…+C；；=2".

6.二项展开式系数最大项的求法

如求3+法)"3,6右!1)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为4,44..,

Af>Ak-1,

A-ι,且第4项系数最大，应用从而解出人来，即得.

nlIA2At+1，

用结雪)

(α+*)^'的展开式形式上的特点

(1)项数为〃+1.

(2)各项的次数都等于二项式的基指数n,即。与方的指数的和为n.

(3)字母”按降暴排列，从第一项开始，次数由〃逐项减1直到零；字母。按升暴排列，从第一项起，次数

由零逐项增1直到

(4)二项式系数从C9,Cl,,一直到C厂,C；；.

1.混淆通项公式刀”一°"“b与展开式中的第r项

2.混淆二项式展开式中a,b排列顺序设置陷阱

3.混淆二项式系数和项的系数

4.混淆二项式最大项与展开式系数最大项

一、单选题

1.。-2x)5的展开式中，/的系数为()

A.-160B.-80C.80D.160

【答案】B

【解析】(1-2x)5的展开式的通项是C；尸(-2x)*=(-2)*Cw,*=O,l,2,3,4,5.)

由题意，k=3,因此，V的系数是(_2)七；=-80.

故选：B.

2.已知(x+2)"的二项展开式中，第三项与第〃-2项的二项式系数和为84,则第四项的系数为(

A.280B.448C.692D.960

【答案】B

kkk

【解析】由题，T^=Cπ×∖-×2,

因为第三项与第"-2项的二项式系数和为84,所以C"Cr=84,即C"C=84,

所以&ΞD+"("7)("2)=84,解得〃=8,

23x2

所以第四项的系数为Cjxl"3χ23=448,

故选：B

3.-4J的展开式中，/的系数等于（）

A.-45B.-10C.10D.45

【答案】D

【解析】L-G的通项为τ;M=Gfl（与r-√7）'∙=（-I）COXL”,

∖X）X

令;-10=2,解得r=8,所以一项的系数为：（-1）8喘,=45.

故选：D

4"已知"-点）

（。为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常

数项为（）

A.-90B.-10C.10D.90

【答案】A

“4一京）（”为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，

【解析】因为

5

所以（4-1）、=2>,得。=3,所以ayfx—

则其展开式的通项公式为J=图34广'(_玄］=Ci∙35-r∙(-l)rx^,

令*15-5r=°,得r=3,

6

所以该展开式中的常数项为C；∙3∙J∙(T>=_90,

故选：A

526

5.^(l+2x)(l-2x)=an+alx+a2x++a6x,x∈R,则％的值为()

A.-20B.20C.40D.60

【答案】B

【解析】Y(1+2x)(1—2x)5=(1—2x)5+2x(1-2x)5,

故展开式中F的系数%=C(-2)2+2xC(-2)∣=40-20=20.

故选：B.

6.+的展开式中，一次项的系数与常数项之和为()

A.33B.34C.35D.36

【答案】D

【解析】因为a+D5的通项公式为&尸q√-rιr=cy-r,

所以(X+1)5(：+1)的展开式中，一次项的系数为2C；+C^=25,

常数项为C；+2C；=11,

所以一次项的系数与常数项之和为25+11=36,

故选：D

7.在(1-VJ的展开式中，常数项为()

A.-60B.60C.-240D.240

【答案】D

【解析】由题知，展开式中第r+1项a=C仔尸(-J)，=(-1),26飞彳-6,

X

令3—6=0,得r=2,所以展开式中常数项为(=2*C=240.

故选：D

6

8.若(2—x)6=%+α∣(l+x)+4(l+x)~H---FΛ6(1+X),∣i∣ljα4=()

A.270B.135C.-135D.~270

【答案】B

66

【解析】(2—x)=α0+α∣(l+x)+α2(l+x)^H----F&(1+x),

h

以X-1代替X,得(3—X)'=4+”∣x+a2x^H----1-aβx,

所以其通项公式为4M=c[36--(-xy=c/j(-ιy/,

令r=4,所以q=C*i(T)4=i35,

故选：B

9.卜一卜一的展开式中的常数项为，)

A.40B.60C.80D.120

【答案】A

【解析】U:的展开式的通项公式为7；M=(TyGx=(_2)'禺产2’,

(X√VX)(X)X∖X)

令5-2r+3=0,得r=4,令5—2厂一1=0,得厂=2,

所以卜-lJχ-∣Y的展开式中的常数项为(—2)4C；-(-2)2C∕=40.

故选：A.

52345

10.⅛(2x-1)=α0+aλx+a2x+α3x+a4x+a5x,则同+同+㈤+㈤+㈤=()

A.244B.243

C.242D.241

【答案】C

【解析】显然(2%+i)5=闻+∣q∣x+∣/χ+同d+kX+kM，闯=1，

令X=I得∣α0∣+∣011+∖a2∖+∖a3∖+∖a4∖+∖a5∖=243,

故同+同+同+EI+同=242.

故选：C.

3x-%)的展开式中各二项式系数之和为64,则展开式中的常数项为(

)

A.-540B.135C.18D.1215

【答案】B

9)展开式的通项

【解析】由题意得2"=64,所以〃6,所以3x-

心=晨(3X)6[-%)=(-ι)r∙q∙36-r∙∕÷,

3

令6-y=0,得厂=4,

所以展开式中的常数项为(-I)，∙C>32=135.

故选：B.

12.卜-1+1)的展开式中常数项为()

A.-61B.-59C.-57D.-55

【答案】B

【解析】将原式看成6个相同的因子相乘，按X的选取个数分类，

得展开式中常数项为Cθ+CjCjt(-2)+C：C；(-2)2=-59.

故选：B.

二、填空题

13.意+3)+勺展开式中/丁的系数为__________(用数字作答).

2x~

【答案】7

【解析】二项式(x+六)"的通项公式为：T=Cixs-r=y,

r+tΞ7

令r=2,所以的系数为c>[gj=7,

故答案为：7

14.已知二项式1+5)(n∈N*)展开式中含有常数项，则n的最小值为

【答案】6

【解析】二项式(x+Jj("wN∙)展开式的通项为:

加="∈N,)

二项式卜+}](〃eN*)展开式中含有常数项，

.∙."-6A=θ("∖&eN*)有解，

.∙.n=6k(n,壮叶)则当我=1时，〃最小，且最小值为6.

故答案为：6.

15.(l-x)(l+2x)6展开式中/的系数为.

【答案】48

【解析】因为(I-X)(I+2x)6=(1+2X)6-X(1+2X)2

且(1+2x)6展开式的通项公式为&=C：(2x)'=2P彳

故犬的系数为2y-2g=48

故答案为:48.

232345

16.(x+1)(2x-3)=aa+axx+a1x+a3x+a4x+a5x,则氏=.

【答案】-20

【解析】由(X+1)2(2X-3)3=(∕+2X+1)(2X-3)3,要得贝IJ

de；(-3)'(2x)2+2xC↑(-3)°(2x)3=-36√+16x4=-20x4,所以%=-20,

故答案为：-20

J提开菊

一、单选题

1.(2021•浙江省杭州第二中学模拟预测)小猫在一个物理问题计算过程中遇到了对数据1.002∣2的处理，经

过思考，小猫决定采用精确到0.001的近似值，则这个近似值是()

A.1.000B.1.024C.1.025D.1.023

【答案】B

12212

【解析】Loo产=(1+0.002)=C；+C1'2X0.002+C-2×0.002+...+C；］X0.002≈1+12×0.002≈1.024

故选：B.

2.(2022.山东•德州市教育科学研究院三模)d-2y)(2x-y)5的展开式中/寸的系数为()

X

A.80B.24C.-12D.-48

【答案】A

【解析】依题意，d-2y)(2x-y)5=L(2x-y)5-2y(2x-y)5,显然,(2x-"展开式中没有项，

XXX

-2y(2x-y)5展开式的χ2y"项为-2)V(2"»=80χ2y*,

所以(1-2y)(2x-y)5的展开式中x2/的系数为80.

X

故选：A

3.(2022,山东聊城•三模)(x+2y)S(x-3y)的展开式中χ∙R项的系数为()

A.-120B.MOC.80D.200

【答案】B

【解析】(x+2y)S的展开式通项为小=C-√-*∙(2j)*=C*∙2<√V,

Sj⅛(Λ+2γ)5(x-3γ)=x(x+2γ)r,-3y(x+2γ)5,

在MM=G2∙产y中，令6-r=3可得r=3,

在MM=C•2"∙x5't∕+'中，令5-4=3可得Z=2,

因此，展开式中/V项的系数为c；.2'-3C；•2?=-40.

故选：B.

4.(2022•黑龙江・大庆实验中学模拟预测(理))已知(2x-3)7=α°+4(x-1)+生(*-1)2++Ω7(X-1)∖

则％=()

A.280B.35C.-35D.-280

【答案】A

727

［解析］(2x-3)=Λ0+αl(Λ-l)+α2(x-l)+∙+Λ7(Λ-1),

令x—1=，，则4f+1

••(2/—1)=CIQ+6f∣Z+出厂++，

(2—1)7展开式的通项为：T小=C；⑵产(T)Q

令r=4,可得C；(2f)3=280p,所以%=280.

故选：A.

5.(2022.江苏.常州高级中学模拟预测)(Y-χ+l)(χ-l)5的展开式中/的系数为()

A.-25B.25C.-5D.5

【答案】A

【解析】V(x2-x+l)(x-D5=x2(x-l)5-Xx-I)5+(x-l)5

(X-I)5的展开式为几I=C>5-*(-1/=(-1/C√^*,1=0,1,2,...,5,

令k=3,得(一1)七江2=—I。/,则χ2(-10χ2)=-l()χ4,

令Z=2,得(-IyGx3=IOY,贝IJ-X(IOX3)=-I。/,

令k=l,得(T)C*4=-5d,

.∙.(√-X+1)(X-D5的展开式中一的系数为㈠O)+(TO)+(-5)=-25.

故选：A.

6.(2022.安徽•合肥市第五中学模拟预测(理))杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.他在《详解

九章算法》一书中，画了一个由二项式(α+b)"5=l,2,3,…)展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作

法本源”，这就是著名的“杨辉三角在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它

上面的两个数值之和，每一行第MA≤"MWN*)个数组成的数列称为第k斜列.该三角形数阵前5行如图所

示，则该三角形数阵前2022行第左斜列与第左+1斜列各项之和最大时，k的值为()

第1行I1

第2行12I

第3行1331

第4行1464

第5行15IO105

A.1009B.1010C.IOllD.1012

【答案】C

【解析】当上≥2时，第4斜列各项之和为c3+cr+C+∙∙∙+C媒=C+Cr+C3+∙→C鼠=CN,

同理，第Jt+1斜列各项之和为C姬,所以C；023+C温=C姬，

所以第％斜列与第&+1斜列各项之和最大时，⅛+l=1012,wu=lθll.

故选：C.

7.(2022.福建省福州格致中学模拟预测)已知。"=2"+1,则关于"-4)(》-%)(“%)(》-4)(万一“5)(万一4)

的展开式，以下命题错误的是()

A.展开式中系数为负数的项共有3项

B.展开式中系数为正数的项共有4项

C.含/的项的系数是726

D.各项的系数之和为221

【答案】C

【解析】原式=(X-3)(X-5)(X-9)(X-17)(A33)(X-65),所以析的系数为1,是正数；」的系数为

-3-5-9-17-33-65=-132<0,χ4的系数为3χ5+3χ9+3χl7+3χ33+3χ65+5χ9++33×65>O,V的系数

⅛(-3)(-5)(-9)+(-3)(-5)(-17)++(-17)(-33)(-65)<0,/的系数为3x5x9x17++9×17×33×65>O,X

的系数为(-3)(-5)(-9)(-17)(-33)++(-5)(-9)(-17)(-33)(-65)<0,常数项为3X5X9X17X33X65>0,所以

展开式中系数为负数的项共有3项，展开式中系数为负数的项共有4项，所以选项AB正确，选项C错误.

设/(x)=(x-3)(x-5)(x-9)(x-17)(x-33)(x-65),所以/⑴=2∙2?"∙24m3=2?，所以各项的系数之

和为2?1所以选项D正确.

故选：C

8.(2022•吉林市教育学院模拟预测(理))对于J的展开式，下列说法不正确的是()

A.有理项共5项B.二项式系数和为512

C.二项式系数最大的项是第4项和第5项D.各项系数和为7

【答案】C

【解析】11-2«丫的展开式的通项公式为

z［、9—r3r

&=C；；(2√^)r=2rC^∖

当r=0,2,4,6,8时，展开式的项为有理项，

所以有理项有5项，A正确；

所有项的二项式系数和为2,=512,B正确；

因为二项式的展开式共有10项，

所以二项式系数最大的项为第5项和第6项，C错误;

令x=l,所有项的系数和为(1-2)9=-1,D正确.

故选：C

9.(2022.江西.上高二中模拟预测(理))(丁―的展开式中各项系数的和为T,则该展开式中

的常数项为()

A.-32B.32C.-64D.64

【答案】A

【解析】对于(X-2］的展开式通项为7；M=CXT(-2y=(_2)，CJJ,

IX)x

所以原式的常数项为*∙(-2)'C%-2=_32.

故选：A

10.(2022.北京・人大附中模拟预测)［m-x］展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为()

A.-375B.-15C.15D.375

【答案】D

【解析】2"=64,〃=6,展开式的通项为加=G(5/厂(_4=(TyCQ6∖3i2

由3rT2=0得r=4,则展开式的常数项为(-l)4Cβ2=375

故选：D

11.(2022.全国•模拟预测(理))已知函数/(x)=C!+C5+2c"3+k*r5++JcH++-C'；,x"(⅛,

35Kn

〃为正奇数)，r(x)是f(χ)的导函数，则/'(ι)+"o)=()

A.2"B.2,,^'

C.2"+1D.2π^'+1

【答案】D

s

【解析】因为"x)=C+C%+kk+!c5++-j-cy++-C'∙x",

3ɔκn

所以〃O)=C!=ι,

所以r(x)=C+cχ+cy++cyτ++qχ-∙,

则/'⑴=c；+c：+c：++c+,+c：,

其中cj,+c+c++c++a=2一

所以r⑴=2"τ,

所以r⑴+/(o)=2"τ+i;

故选：D

12.(2022・山西吕梁•模拟预测(理))伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级

ςinY

数''难题.当〃eN*时，-,又根据泰勒展开式可以得到

Xn2π2)

,2n

(-1)''x^',根据以上两式可求得＜+5+*■+

X=X

sin------1------F+(2n-l)!++-τ+=()

3!5!

π1

dC.d

3T∙T

【答案】A

√√(TYIX2,1

+

【解析】由sin、*升力÷⅛1Γ,两边同时除以X,

行SinXX2Y(-ɪr,炉Z

^^7^-1^5T+7Γ++⑵)1!+

又啖卜才

sinɪ1-l-ɪ

X⅛n~π

展开式中一的系数为T1111

÷~÷

F+F+7+YV

所以《1111

+++++

FF7-√,3!

所以:+*+"+1π2

H—y÷=----

n"6

故选：A.

二、填空题

13.(2022•内蒙古呼和浩特•一模(理))下面四个命题：

①已知函数/(x)的定义域为R,若己x+2)为偶函数,/(2x+l)为奇函数，则/(3)=0；

②存在负数上使得/(x)=∣lgX-履-2恰有3个零点；

4432

③已知多项式(X-I)3+(X+O=X+alx+a2x+a3x+a4,则4=5；

④设一组样本数据%,马，，N,的方差为0.(”，则数据10410生，10x,,的方差为0」

其中真命题的序号为.

【答案】①③

【解析】对于①：因为“x+2)为偶函数,BP∕(x+2)=∕(-x+2),令χ=l,所以43)="1),

又因为/(2x+l)为奇函数，所以/(2x+l)=—"-2x+l),令χ=0,

所以八1)=0,所以/⑶=0,故①正确；

对于②：存在负数3使得/(x)=∣lgx∣-依-2恰有3个零点等价于y=∣∣gx∣和y=履+2,

有三个不同交点，且y=H+2恒过点(0,2),

画出图像如下所示：根据图像判断至多有两个交点，故②不正确;

对于③：(XT)3=Cθ√+C>2+C；x+1=χ3+3f+3x+1,

(x+l)4=Cb4+C>3+C>2+C>+l=x4+4x3+Gx2+4x+l,

所以/的系数为：5,故③正确；

对于④：设占，々，「，x,,的平均数为"

22x+

则其方差为：5=ɪ∣^(xl-x)+(¾-)^+(x,,-x)[=0∙01,

则10x∣,l(h⅛,,S,,的平均数为10；，

2222

则其方差为：5=ɪ[(lOxl-1Ox)+(1Ox2-1Ox)++lθ(x,,-lθx)=IOOXo.01=1,

故④不正确.

故答案为：①③.

・湖北湖北•模拟预测)代数式与的展开式的常数项是

14.(2021(V+2)(-Ip.(用数字作答)

厂

【答案】3

【解析】(d+2U-I)=XCl

-⅛-ij的展开式通项为a3∙(-ι)f=q∙(-ι),∙x2r^l°,

所以，(丁+2)(5-1)的展开式通项为

t2t10rrl28r2r

τk+κr+i=√C<(-l)∙x-+2C;∙(-l).√-°=C*∙(-l∕∙x*-+2q∙(-l)∙x-'°,

2k-8=0上=4

由21。=。'可得

r=5

因此，(丁+2旺一1j的展开式的常数项为C；∙(7)4+2C∙(-l)5≈3.

故答案为：3.

15.(2022•安徽・芜湖一中模拟预测)在的展开式中只有第5项二项式系数最大，则常数项为

【答案】1120

【解析】由的展开式中只有第5项二项式系数最大得〃=8,

(2L=C(T)*2f

所以展开式通项为Tw=C

当&=4时常数项为为Cl)W=1120.

故答案为：1120

16.(2023•全国♦模拟预测)若(χ2+α)[x+l]的展开式中f的系数为9,则“的值为

【答案】1

【解析】(J+")(x+['=Y卜+J+。｛x+Jj,且卜+Jj展开式的通项。U=G•f&j=C，-”,

当8-2r=6时，r=l,此时-的系数为C；.

当8-2r=8时，r=0,此时XIt的系数为C；.

展开式中f的系数为C；+oC；=8+a=9,∖a=l.

故答案为：1

Y真题练）

L（2018全国HI理）（f+2）5的展开式中/的系数为（）

X

A.10B.20C.40D.80

【答案】C

2

【解析】（+]=G（f）5τ（W>=G2F°-3"由10-3r=4,得r=2,所以/的系数为C；x2?=40.故

X

选C.

2

2.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I））（χ+二）（χ+>）5的展开式中。3的系数为（）

A.5B.IOC.15D.20

【答案】C

【解析】（χ+y）5展开式的通项公式为（+∣=C*5fy'（reN且r≤5）

所以的各项与（χ+y）5展开式的通项的乘积可表示为:

xJ

2