导数及其应用-2023年高考数学考试（解析版）（全国通用）

易错点04导数及其应用

易错分析

易错点1：导数与函数的单调性

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点,

对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(I)考查导数的几何意义，往往与解析几何、

微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；己知单调性，求参数.(3)

利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.

易错点2:导数与函数的极(最)值

求函数处0在m，切上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在3,加内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值Λ⅛);

(3)将函数yu)的各极值与式公，式份比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

易错点3:对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚

r(x)>0ox∈41^11...0/(幻增区间为4,8和...

/,(x)<0<≠>x∈C∪Z)U...<≠>/(x)增区间为C,。和…

X∈。时［(X)>0=>/(x)在区间。上为增函数

%∈m∕'(x)<0=>/(X)在区间Dh为减函数

X∈。时［(X)=On/(X)在区间。上为常函数

讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论.

易错点4:导数与函数的零点

研究函数图像的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值

等。用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判断；另

一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。

错题纠正

1.对任意的占,We0,3］,当占<为时，玉一%—>0恒成立，则实数”的取值范围是

()

A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.[9,+∞)D.(9,+∞)

【答案】C

【详解】依题意，Xl-X2-：ln+>0=X|-?lnX|-(X2-?lnx2)>。，令/(x)=X-=Inx,

3x2333

Xe(l,3］,

则对任意的历,46(1，3］，当玉时，/(内)>./"(当)，即有函数，(X)在(1,3］上单调递减，

,

因此，∀χ∈(1,3］,∕(x)=l-≤0<i≠>α≥3x,而(3χ)nκ*=9,则4≥9,

5X

所以实数。的取值范围是［9,+∞).

故选：C

2.若函数"x)=χ2+0xe'-ae2%4eR)有三个不同的零点，则实数«的取值范围是()

【答案】D

【详解】由χ2+0ve'-ae2∖O得自∙j+α(∕)-"O,令g(x)=£,

由/(X)=M=0,得尸1,因此函数g(x)在(F,1)上单调递增，在(1,物)上单调递减，且

g(0)=0,当χ>0时，g(x)=j>0,则g(x)=(■的图像如图所示：

由二次函数的图像可知，二次方程的一根％必在(0。内，另一根=；或G=0或Ge(-8,0)

上，

当G=J时，”=，一，则另一根G=TL，不满足题意，

ee-e1-e

当^2=0时，a=0,则另一根％=0,不满足题意,

02+a0-a<0

当％∈(-oo,0)时，由二次函数〃⑺=r+αr-α=O的图像可知,f1Y1z

-+〃---a>0

e

解得0VQV^—,

e-e

则实数。的取值范围是(0,J-

Ie~-e

故选：D.

3.已知函数/(x)=%2+cosx,f'(x)是函数F(X)的导函数，则,f'(x)的图像大致是()

【详解】f(x)=^x2+cosx,则f'(x)=；x—sinx,则函数/'(x)为奇函数，排除BD；

:(])=?一1<0,排除A；

故选：C.

4.已知函数/(x)=-3(lnx)2+αr,若xe[l,e[时，/*)在x=l处取得最大值，则实数”的

取值范围是()

ʌ-(^00'⅜]B.y,0]C.(oQ)D∙(*甘

【答案】B

[详解】根据题意得f(x)≤∕(1)当Xe[l,e2]时恒成立

则一3(InX)2+or≤α,即β(x-l)≤3(lnx)2

.∙.当xe[l,e[时，y="(x7)在g(x)=3(lnx)2图像的下方

g'(x)=岁，则g'(l)=O,贝IJaVO

故选：B.

fF•3(∣K<>>,

∖U

卜；・、*

5.已知r(x)是定义在R上的函数/(x)的导数，且"x)-r(x)<0,则下列不等式一定成

立的是()

A.e-7(-2)>∕(l)B.y(-2)<e'7(l)

C.eA(l)<∕(2)D./(l)<e<(2)

【答案】C

【详解】设g(x)=半ɪ,则g,(x)=∕'(x)]∕(X).

因为“x)-r(x)<0,所以g'(x)>O,则g(x)在R上单调递增.

因为-2<1,所以g(-2)<g(l),即生/<血，

ee

所以则A错误：

因为〃-2),41)的大小不能确定，所以〃-2),T"l)的大小不能确定，则B错误；

因为1<2,所以g⑴<g(2),则以。</身，所以y(l)<∕(2),则C正确；

ee~

因为"1)，“2)的大小不能确定，所以/(1),炉(2)不能确定，则D错误.

故选：C

举一反三

I.若直线/与曲线产√7和χ2+V=(都相切，则/的方程为(

)

A.y=2x+↑B.>'=2x+yC.)=gx+∣d∙y=^x+ι

【答案】D

【详解】设直线/在曲线y=4上的切点为(不,"1)，则%>0,

函数y=√∑的导数为>'=嘉，则直线/的斜率A=会,

设直线/的方程为丫一后=£上(犬一々)，即x—2后丫+%=0,

IVI

由于直线/与圆/+V==相切，¢10I.°,=~∕τ,

5√l+4x0√5

两边平方并整理得5x；-4x0-l=0,解得％=1,x0=-∣(舍),

则直线/的方程为x-2y+l=O,即y=∕χ+g.

故选：D.

2.设“wθ,若X=。为函数〃》)=4(*一。)2(犬-。)的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a1D.ab>cr

【答案】D

【详解】若a=b,则F(X)=a(x-ɑ)'为单调函数，无极值点，不符合题意，故氏

.∙j(x)有x="和x=b两个不同零点，且在x=α左右附近是不变号，在x=b左右附近是变

号的.依题意，X=。为函数/(x)="(κMIX-/>)的极大值点，，在X”左右附近都是

小于零的.

当"0时，由x>。，f(x)≤O.画出〃x)的图象如下图所示：

由图可知b<α,“<0,故而>/.

当4>O时,由x>b时，/(x)>O,画出F(X)的图象如下图所示:

由图可知人“，o>0,故外>〃.

综上所述，4。>/成立.

故选：D

3.设/U)是函数/S)的导函数，将y=∕(χ)和y=∕'(χ)的图象画在同一个直角坐标系中,

不可能正确的是()

【答案】D

【详解】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定

义域内，不具有单调性，但y=f(X)和y=F(X)在整个定义域内具有完全相同的走势，不

具有这样的函数，故选D.

4.已知α∈R,设函数/。)=卜-一；*+2。，％，:若关于X的不等式/(χ)..0在R上恒成立,

[x-alnx,x>1,

则。的取值范围为

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[ɪ,e]

【答案】C

【详解】V∕(0)≥0,BPα≥O,

(1)当O≤α≤l时，f{x}=X1-2ax+2a={x-d)2+2a-a1≥2a-a2=a(2-a)>0,

当。>1时，/(D=1>O,

故当“≥0时，f-2ax+2"≥O在(-∞J］上恒成立：

若x-αlnx20在。,小»)上，恒成立，即。4区在(1,*®)上恒成立，

Inx

ʌXi，/、Inx-I

令g(χ)=贝Ug(X)=而m’

当x>e,函数单增，当0<x<e,函数单减，

2

故g(x)m⅛,=g(e)=e,所以α≤e.当a≥0时,√-2ar+24≥0在(-∞,1]上恒成立；

综上可知，”的取值范围是[0,e],

故选C.

5.已知正四棱锥的侧棱长为I,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且3≤/≤3g,

则该正四棱锥体积的取值范围是()

^811「2781]「27641

A.18,—B.—C.—D.[18,27J

.4JL44JL43_

【答案】C

【详解】,.∙球的体积为36万，所以球的半径R=3.

设正四棱锥的底面边长为2”,高为

贝∣J/2=2〃+肥，32=2Λ2+(3-Λ)2,

所以6〃=/，2a2=l2-h2

I12/4/21//6、

所以正四棱锥的体积V=gS∕z=gX4∕χ∕ι=x#_)χ丁=/4--

33ɔ3669136J

所以叫廿-讣畀平)

当3≤∕≤2"时，V,>0,当2"<∕≤3百时，V,<0,

所以当/=2指L时，正四棱锥的体积y取最大值，最大值为三64,

27Q1

又/=3时，V=一，/=3后时，V=",

44

所以正四棱锥的体积V的最小值为2一7，

所以该正四棱锥体积的取值范围是V-V.

_43.

故选：C.

1.曲线y=xe"+2x-2在X=O处的切线方程是()

A.3x+y+2=0B,2x+y+2=O

C.2x-y-2=0D.3x-y-2=0

【答案】D

【详解】y≈xQx+2x-2,则y'=(x+l)e*+2,

当X=O时，y=-2,y¢=3,

所以切线方程为y-(-2)=3x,即3x-y-2=0.

故选：D.

2.已知/(x)=加+3X2+2,且/'(7)=4,则实数〃的值为()

ʌ19ŋ16C13

A.—B.—C.—

333

【答案】D

【详解】V∕(%)=0x3+3x2+2,

.*.f,(x)=3ax2+6x,

∕,(-l)=4,

3tz-6=4,

10

..Cl——.

3

故选：D.

3.设函数/(X)在定义域内可导，/(X)的图象如图所示，则其导函数/'(X)的图象可能是

()

【答案】A

【详解】解：由/O)的图象可知，当X«-。。,0)时函数单调递增，则/'(x)≥O,故排除C、

D；

当X«0,-)时/(x)先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于O,再大于O,

最后小于0,故排除B；

故选：A

1Q

3

4.已知函数f(x)=5x-3χ2+8x-5,g(x)=x-lnx,若Vχ,Λ⅛∈(0,3),g(x1)+⅛≥∕(x2)

恒成立，则实数Z的取值范围是()

A.[2+ln2,+∞)B.[-3,+8)

C.-,+∞jD.[3,+∞)

【答案】D

【详解】∕,(X)=X2-6X+8=(X-2)(X-4),

当X«0,2)时，∕,(x)>0,/(力单调递增,当x∈(2,3)时,∕,(x)<0,F(X)单调递减,

所以/(x)在(0,3)上的最大值是"2)=4.

g,(x)=l-^=-~

XX

当x∈(0,l)时，g,(x)<O,g(x)单调递减，当Xe(1,3)时，√(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(x)在(0,3)上的最小值是g⑴=1,

若心,x2e(0,3),g(x∣)+々≥∕(x2)恒成立,则［g(x)+打“血N∕(x)maχ,即l+∕≥4,

所以Z23,所以实数k的取值范围是［3,+∞).

故选:D.

5.已知函数f(x)=-3(lnx)2+"x,若xe［l,e2］时，/(x)在x=l处取得最大值，则实数。的

取值范围是()

A.^-∞,4-B.(→≈,O］C.(。D.(K)

【答案】B

【详解】根据题意得/U)≤/(D当Xe口1］时恒成立

则一3(InX)2+0x≤α,即^(x-l)≤3(lnx)2

.∙.当Xe［1,e2］时，y=。(x-1)在g(x)=3(lnK图像的下方

g'(x)=∙^^,则g'(l)=0,贝IJaMO

故选：B.

6.已知函数/(x)=τln2-x3,则不等式/(3-χ2)>f(2χ-5)的解集为()

A.(T,2)B.(-2,2)

C.(-αo,-2)u(2,+∞)D.(→o,-4)(2,+∞)

【答案】D

【详解】F(X)的定义域为(γo,y),

因为f(x)=-ln2-3χ2<o,所以/(X)在(y≈,+∞)上单调递减，

所以不等式;"(3-f)>〃2》一5)等价于3-/<2》—5,解得x<T或x>2,

所以不等式/(3-χ2)>“2x-5)的解集为(y),T)(2,户).

故选：D

7.如图所示为某“胶囊”形组合体，由中间是底面半径为1,高为2的圆柱，两端是半径为1

的半球组成，现欲加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则当圆

柱的体积最大时，圆柱的底面半径为()

【详解】设该几何体的内接圆柱的底面半径为x(O<*≤l),则其高为2+2√iZJ,

该内接圆柱的体积为HX)="2∙2(1+√Γ7),

令Ya)=0,则有2√i≡7+2-3f=0,解得X=半,

所以当X=当时体积有最大值;

故选：A.

8.不等式InX-履40恒成立，则实数k的取值范围是()

A.[0,e)B.(→Λ,e]C.θ,ɪ

D.~,+∞

【答案】D

【详解】由题可得上≥处在区间(0,+∞)匕恒成立，

X

1r

令〃X)=乎(χ>o)，则∕,(-y)=JΓ^(∙y>Q)，

当Xw(0,e)时，∕,(x)>0,当xe(e,+∞)时，∕,(x)<0,

所以〃x)的单调增区间为(O,e),单调减区间为(e,+8)；

所以®="e)j

所以

e

故选：D.

9.已知函数f(x)≈e',函数g(χ)与fω的图象关于直线y=X对称,若Kx)=g(x)-kx无零点,

则实数Z的取值范围是()

A.ge]B.g，e)C.(e,+∞)D.fɪ,+∞J

【答案】D

I

【详解】由题知g(x)=lnx,∕ι(x)=g(x)-点=OnA:=皿，设F(X)=叱=>F'(x)Jy”,当

XXx~

F(X)<O时，xe(e,+»),此时尸(X)单调递减，当F'(x)>O时，Xe(0,e),此时F(X)单调递增,

所以尸(x)n∞=/(e)=LF(X)的图象如下，由图可知，当忆>,时∙，y=F(x)与，=%无交点,

e