2023年高考理科数学《三角函数》题型训练

2023年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式

例1(1)点P从(1,0)出发，沿单位圆χ2+y2=l逆时针方向运动竽弧长到达Q点，则Q点的坐标为()

Af-l0B-ΛCf-ɪ-AD(-亚'

c.[2'2Jo∙V2,2.JI2'2lz∙\2,2

τc

cos(-+a)sin(-π-a)

(2)已知角a的顶点与原点重合，始边与X轴的正半轴重合，终边上一点P(—4,3),则--2----------------------的值

∖∖π、.’9%、

cos(~——a)sɪn(ɪ+a)

为.

3

【答案】(1)A(2)—W

l-lll2π1.2π亚

【解析】(1)设Q点的坐标为(x，y)，则X=CoS∙y=-],y=sιny=2-

；・Q点的坐标为(一/坐).

—sina∙sina

(2)原式="=tana.

-sina∙cosa

根据三角函数的定义，得tana=1=甫3，.∙.原式=V3

【易错点】诱导公式和三角函数定义不熟练

【思维点拨】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解.应用

定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关.

(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切

化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.

题型二三角函数的图象及应用

例1已知曲线C∣:y=cosx,C2:y=sin∣2x+-,则下面结正确的是().

<3

A.把。上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移四个单位长度，得到曲线C

6^

B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移£个单位长度，得到曲线c,

12

TT

c.把G上各点的横坐标缩短到原来的L倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移;个单位长度，得到曲线G

2

π

D.把。上各点的横坐标缩短到原来的-倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移自个单位长度，得到曲线G

2

【答案】D

Cc2:y=sin2x+

【解析】⑴Gi=COSX,τ，首先曲线G、统一为一三角函数名，可将Gh=COSX用诱导

(ππA.(兀、

y=COsx=COSx+-------=sιnx+-

公式处理.122JI2人横坐标变换需将。=1变成0=2,即

.(π>q上各醐坐®SW沱原来:.(C,(π},<2π).Jπ∖

γ=sιnlX+—I--------------------------Tʃ=sinI2%+—I=sin21x+—I→y-sinI2x+-I=sm2lx÷-I

ππ兀兀

X-I----ɪ-j----X-I----χ-∖---

注意。的系数，在右平移需将啰=2提到括号外面，这时,4平移至3,根据，，左加右减,，原则，“4”到，，.3

ππ

需加上石，即再向左平移行.故选D.

【易错点】函数图像水平方向平移容易出错

【思维点拨】平移变换理论

(1)平移变换：

①沿X轴平移,按“左加右减”法则；

②沿y轴平移,按“上加下减”法则.

⑵伸缩变换：

①沿X轴伸缩时,横坐标X伸长(0<3<l)或缩短(3>1)为原来的倍(纵坐标y不变)；

②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A>l)或缩短(O<A<1)为原来的A倍(横坐标X不变).

2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.

例2函数y=■的部分图像大致为().

1一cosX

【答案】C

sin2xsin2

y=-------------y-------------

【解析】由题意知，函数"I-COSX为奇函数，故排除B；当X=兀时，y=°,排除D；当X=I时，"1一COS2

排除A.故选C.

【易错点】函数图形判断通过过排除法

例3函数f(x)=2sin(3x+q>)(3>0,一的部分图象如图所示，则3，φ的值分别是()

A.2,—B.2,—C.4,一1D.4,1

【答案】A

【解析】⑴因为六号一招，所以T=兀又τ∕(3>0),所以g=兀，所以3=2.

SjrTTTETrTr

又2x五+φ=∕+2kπ(keZ),且一2<φ<],故φ=—予

【易错点】求(P时，容易忽略讨论k

【思维点拨】

题型三三角函数性质

例1(1)已知函数取)=5皿(1«+9)+小(!05(3*+9)(0)>0,0<侬<彳)为奇函数，且函数丫=收)的图象的两相邻对称轴之

间的距离为今

⑴求吟)的值;

(2)将函数y=f(x)的图象向右平移聿个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间.

【答案】⑴f哈)=2s靖=小(2)[kπ-γ^>kπ+γ^](k∈Z).

ɪrɜ

【解析】(1)f(x)=sin(sx+φ)+小COS(3χ+φ)=25sin(cox+φ)+?cos(3x+φ)]=2sin(ωx+φ+g).

JT

因为f(x)为奇函数，所以f(0)=2sin(φ+g)=0,

又O<∣φ∣q,可得φ=-$

所以f(x)=2sinωx,由题意得知=2多所以ω=2.故f(x)=2sin2x.因此琮)=2sin,=小.

(2)将f(x)的图象向右平移袭个单位后，得到f(x—奇的图象，所以g(x)=f(x-ð)=2sin[2(x—∣)]=2sin(2x—1).

当2k兀一W≤2x一氏2kπ+:(k^Z),即k兀一盍WXWk兀+招(kWZ)时，g(x)单调递增，

因此g(x)的单调递增区间为[kπ-kπ+⅛(k∈Z).

【易错点】

【思维点拨】

题型四三角函数范围问题

例1函数〃X)=Sin2x+百CoSXx∈0弓)的最大值是.

【答案】1

【解析】/(x)=sin2%+>∕3cosx--∣=I-Cos2x+∖∕3cosx-0,：口，

1f/ɔ

令CoSX=f且f∈[0,ɪ],y=-t2+∖∣3t+~=-+1，

则当r=等时，/(x)取最大值1.

【易错点】换元之后转化为二次函数在定区间上的定义域及最值

【思维点拨】

例2函数/(x)=2COSX+Sinx的最大值为.

【答案】√5

【解析】/(X),,√22+l=√5.

【易错点】

【思维点拨】辅助角公式运用

例3【2023年W】函数/(x)=gsin(x+∙∣]+COSx—的最大值为().

6ɪ

A.B.1C.-D.

55

【答案】A

【解析】/(x)=WSin[x+]J+sin[x-∙^∙+])=gsin(x+∙∣J+sin[x+—sin^x+yj.⅛½A.

【易错点】本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公式的选择对

于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！

【思维点拨】

题型五三角函数求值问题

例1已知ae(θ,5),tanα=2,贝IJCoS[α—.

3√Γθ

【答案】寸

【解析】由tana=2得sin。=2cos2又Sin?a+CoS之a=1,

所以COS=L.因为a∈(θ,2],所以CoSa=@,2√5

sina=------

5I2555

..π

因为CoSa--=cosacos兀+sinasin—,

I44

所以CoSa--豆也+述X亚=亚

I4525210

【易错点】

【思维点拨】

3。

例2(1)右tana=—,则cos2a+2sin2a=()

sin20coslO-cos160sin10二

【答案】(1)A(2)L

2

SjnOc334

【解析】(1)由tan<z=2------=—,cos26r÷sin2a-∖,得Sina=—,cosa=—或Sina=一

COSa455

164864

COSa=——，所以sin2a=2SinfZCOSa=——，则CoS2a+2sin2a=-----1-----=一>故选A

525252525

(2)原式=Sin20coslO+cos20sin10=sin(20+10)=Sin30=g

【易错点】

【思维点拨】

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在偿，用上的单调性.

【答案】(1)f(x)的最小正周期为π,最大值为唱更，(2)f(x)在惊，招］上单调递增；在［招，用上单调递减

【解析】⑴f(x)=sin0XJsinχ-^∖∕3COS2X

=Cosxsinχ-2(ɪ+cos2x)=]Sin2χ-ɔcos2χ-

因此f(x)的最小正周期为π,最大值为用亚.

(2)当x∈［*,引时，0<2χ-∣<π,从而当0≤2χ-弼，即专WX篇时,

f(x)单调递增，

当冬2x一氏兀，即驾Vx≤争时，

f(χ)单调递减.

综上可知，f(x)在总，哥上单调递增；在［招，用上单调递减.

【易错点】

【思维点拨】解答技巧，方法策略等

题型六简单的三角恒等变换

CoSlo。(1+Ktan300)

例1(2023•新疆第二次适应性检测)的值是,

cos50°

【答案】2

..,QnK在∕∕os10ol+√3tan10ocos10o+√3sin10°

r【i解π4析r】依题意得-------------------=一号一2sinl0°+30°2sin40°

cos50°Sin40。=2∙

【易错点】

【思维点拨】解答技巧，方法策略等

例2已知tanα=2.

⑴求lan(a+：)的值；

c∖TX__________Sin2a__________,,.

(2)求•。∙ʌ~的ιt值j

Snra十Slnacosa-cos2a—1

【答案】(1)-3(2)I

,π

/、tana+tan7ɔ∣ι

■&TJXr(.πλ42十1ς3

【解析】(l)tan"+R=^=1-2×1=-∙

1-tanαtanW

---------------≡2α---------------

'7sin2α+sinacosa-cos2a-1

________2sinacosa______

sin2a÷sinacosa_2cos2a

______2tana________2×2

tan2a+tana_24+2-2-

【易错点】

【思维点拨】

解三角函数的给值求值问题的基本步骤

(1)先化简所求式子或所给条件；

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系；

(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.

例3若sin2a=坐，Sin(β-a)=∣%,且aw［；,兀］,β∈∣^π,当］,则a+°的值是()

T7π

或彳

【答案】A

【解析】选A*.'a∈》，πj,Λ2ae冬2πJ,Vsin2a=5,Λ2a∈去π

π(]且2√5又∙.∙sin(p-a)=[^,β∈π,yΛβ-a∈[^用,3√T5

ecos2a=cos(β-a)=

••«4'5'10'

：•cos(a÷β)=cos[(β—a)÷2a]=cos(β—a)cos2a—sin(β-a)sin2a=

又a+pj尊2π］,所以a+p=竽

【易错点】

【思维点拨】

对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：

(1)已知正切函数值，选正切函数.

⑵已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.

若角的范围是(0,9,选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0,π),选余弦函数较好；若角的范围为(一去9,选正

弦函数较好.

【巩固训练】

题型一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式

2Æ

1.已知角。的顶点为坐标原点，始边为X轴的正半轴，若P(4,y)是角。终边上一点，且Sine=-年，则

J=__________i

【答案】-8.

1

-

■&力5・ɪ/兀八1tanθ1zmλ1..八λsinθcosθtanθ33m出3

【解析】由tangf尸在氤=2,1⅛tanθ=?•⑹做。So=而而氤=嬴讦T=T而故填而

9+1

2.(1)已知tanα=2,求值：

^2sina-3CoSa

Q√T7-------n------;(⅛)4sin-α-3sinacosa—5cos7a.

4sma_9cosa

(2)已知θW(0,π),且sinθ+COSe=；,求sin。一CoSO的值.

【答案】⑴①-1②1(2)誓

r碗如-c2si∏a-3CoSa2tana-32x2-3

⑴14Sin(X—9CoSa4tana—94x2—9L

@4sin*2a_3sinacosa_5cos2a

4si/a-3Sinacosa—5cos'4tar⅛-3tana—5

sin2a+cos2atan2a+1

4×4-3×2-5

=------------------=1

4+1L

(2)Vsinθ+cosθ=^,Λ(sinθ+cosθ)2=1÷2sinθcosθ=^,

ΛsinOcosO=*•*θ≡(0,π),Oee

/.sinθ>0>cosθ,sinθ~cosθ>0.

⅛(sinθ-cosθ)2=1—2sinθcosθ=l+∣=∙77,得sinθ-cos

yyJ

3.若COS(π-a)=坐且兀)，则sin(π+a)=()

.√5

A.b

3∙-3

ɪD.4

C.

3

【答案】B

【解析】cos(π-a)=—cosα=坐，,eosɑ=

Λsin(π÷α)=-sina=—ɜ,故选B.

题型二三角函数图像

1.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=也CoS3x的图象(A)

A.向右平移它个单位B.向右平移;个单位

C.向左平移合个单位D.向左平移打单位

【答案】A

【解析】因为y=sin3x+cos3x=啦CoS(3x-"所以将y=也CoS3x的图象向右平移合个单位后可得到y=也

COS(3x—§的图象.

2.函数f(x)=Asin(a>x+(p)(A>0,ω>0,胡<彳)的部分图象如图所示，若xi，X2∈^-g)，且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)

=()

A.1B.BC.孚D.当

【答案】D

【解析】观察图象可知，A=l,T=π,.,.ω=2,f(x)=sin(2x+φ).

将(*，0)代入上式得sin(-1+φ)=0.

由|(p|《，得φ=?则f(x)=sin(2x+§.

函数图象的对称轴为X=F-=I⅛

又X1，X2金(γ,§，且f(Xl)=f(X2),Λxi^x2=γ^,

∙∖xι+x2=*1.f(xi+x2)=sin(2x聿+§=坐，故选D.

3.已知函数f(x)=2sin(23x+：)(3>0)的最小正周期为π.

⑴求3的值；

⑵讨论f(x)在区间[θ,目上的单调性.

【答案】⑴3=1(2)口)在区间[(),如上单调递增，

在区间低，T上单调递减.

【解析】⑴因为f(x)=2sin(2(ox+；)的最小正周期为π,且3>O.从而有/=W,故ω=l.

⑵因为f(x)=2sin(2x+£)

若0金埒，则,2x+君尊

当a2x+今当即OWX以时，f(x)单调递增；

当:<2x+^≤季BP∣<x<^H't.f(x)单调递减.

综上可知，f(x)在区间[θ,百上单调递增，在区间(会,上单调递减.

题型三三角函数性质

1.已知3>0,函数f(x)=sin((ox+£)在仔兀)上单调递减，则3的取值范围是()

A.IB.C.[θ,J]D.[0,2]

【答案】A

ωπ,ππ

T+4¾1

【解析】由1<x<π,ω>0得，号+今〈0«+$3兀+£.又y=sinX在图要)上递减，所以

.π3π

ωπ+^<-,

解得故选A.

2.设函数f(x)=cos(x+g,则下列结论错误的是()

A.f(x)的一个周期为一2πB∙y=f(x)的图象关于直线X=号对称

C.f(x+π)的一个零点为X=5D.f(x)在6，π)单调递减

【答案】D

【解析】根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2兀，所以函数一个周期为一2n,A项正确；当X=当时，x+与=

3π,所以CoS(X+§=-1,所以B项正确；f(x+π)=cos(x+兀+,)=COS(X+华)，当X=热，x+牛=4，所以f(x+π)

=0,所以C项正确；函数f(x)=cos(x+∣)在停豺上单调递减，在序，兀)上单调递增，故D项不正确，故选D.

3.已知函数①y=sinx+cosX,②y=2<^sinxcosx,则下列结论正确的是()

A.两个函数的图象均关于点(一；，0)中心对称B.两个函数的图象均关于直线x=—：对称

C.两个函数在区间(一去上都是单调递增函数D.将函数②的图象向左平移今个单位得到函数①的图象

【答案】C

【解析】函数①y=sinX+cosX=也Sin(X+：),②y=26∙sinxcosX=也Sin2x,由于①的图象关于点(一£，0)中心对称，

②的图象不关于点(一；，0)中心对称，故A项不正确；由于函数①的图象不可能关于直线x=一彳对称，故B项不正确；

由于这两个函数在区间(一去9上都是单调递增函数，故C项正确；将函数②的图象向左平移;个单位得到函数y=/

sin12(x+A)的图象，而y=/sin2(x+D√5sin(x+;),故D项不正确，故选C.

题型四三角函数范围问题

1.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.

【答案】竽

【解析】由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2Tr)上的值域.

1Tr5IT

由f(x)=2sinx+sin2x,得f(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2.令F(X)=O,可得CoSx=?或CoSx=-l,X£[0,2兀)时,解得X=W或x=-^-或

x=π.因为f(x)=2sinx+sin2x的最值只能在x=^,x=孚,x=兀或x=0时取至∣J,且f隽)=^^,f(孚卜考2f(π)=O,f(O)=O,所以函数f(x)

的最小值为-竽.

τι7兀

2.已知y=3—sinx—2cos2χ,χ∈不，求y的最大值与最小值之和.

【答案】普

【解析】y],Λsinx∈[-∣,1.

又y=3—sinx—2cos2x=3-sinx_2(1—sin2x)=2^sinχ-

17

:∙当sinX=W时，ymin=g;

当SinX=-T或SinX=I时，ymaχ-2.

故函数的最大值与最小值的和为2+1=号.

OO

3.已知函数f(x)=sin(3x+φ)(OV3Vl,O≤φ≤τr)是R上的偶函数，其图象关于点M律0)对称.

(1)求3,φ的值；

(2)求f(x)的单调递增区间；

⑶若χe[一华，手，求f(x)的最大值与最小值，

【答案】⑴3=,.(2)3kπ-y,3kπ],k∈Z(3)函数f(x)的最大值为1,最小值为0.

TrTr

【解析】(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)是R上的偶函数，所以φ=]+kπ,k∈Z,且Ogφgπ,则φ=/,即f(x；)=COSωx.

因为图象关于点M(%,0)对称，

UL,、137rl_~2,4m

所以ωχχ兀=]+m7t,m∈Z,ω=2+~,

2

XO<ω<l,所以ω=?

(2)由(1)得f(x)=cos∣x,由一π+2kπg汆W2kττ,且k£Z得，3kπ~^<x<3kπ,k∈Z,

所以函数的递增区间是[kL竽，3kπ],k∈Z.

E、r「3τUπ~∣LL…2「TITC

(3)因为χG[-N^,Z所以？£[一],ɜj,

当京=O时，即x=0,函数f(x)的最大值为1,

当年X=甘时，即X=一笔函数f(x)的最小值为0.

题型五三角函数求值问题

1.设α,β为钝角，且Sina=坐，cosB=-噜，则α+β的值为()

3πC5兀一7兀C5兀_47兀

A.彳B.yC.yD.彳或彳

【答案】C

【解析】「a,B为钝角，Sina=乎，cosβ=-,.,.cosa=-sin

∏2

Λcos(a÷β)=cosacosβ-sinasinB=牛>0.

又a+β∈(τc,2π),.∖a+βe(咨，2兀)，.∙.a+β=竽

2.已知函数f(x)=2cos2ωχ-1+2^∕3sinωxcosωx(0<ω<l),直线x=］是函数f(x)的图象的一条对称轴.

⑴求函数f(x)的单调递增区间；

2元

⑵已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移号个单位长度得到

的，若g(2a+§=,,a∈(^0,9，求Sina的值.

【答案】(1)f(x)的单调递增区间为|_2k兀一2TT亍2kτι+Twt∣(k∈Z)⑵

4小一3

【解析】(l)f(x)=cos2ωx+√3sin2ωx=2sinf2ωx,(2)

10

由于直线X=］是函数f(x)=2sin(23x+§的图象的一条对称轴，所以Sin停(θ+^)=±l,因此竽ω+聿=k7i+^(k∈Z),

解得3='k+T(kWZ),又0<ω<l,所以ω=^,

所以f(x)=2sin(x+*).由2k兀一在x