2022年辽宁省营口市中考数学一模试题（含答案与解析）

2022年辽宁省营口市中考一模试卷

数学

（考试时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

L答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上。

2.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。

3.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。

4.考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）

I.下列图形中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

2.同步卫星在赤道上空大约36000000米处，将数据36000000用科学记数法表示为（）

A.0.36×IO8B.3.6×IO7C.36×IO6D.3.6×108

3.下列各数中比2大的无理数是（

A.√3D.√5

4.下列计算正确的是（

A.X+χ=χi

22

C.3x3y2÷3X2=xyD.(x-y)=x-y

5.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）

A.3χ2+4x+l=0B.2χ2-χ+l=0C.X2-2x+l=0D.χ2+χ+l=0

6.某校举办“诗词大会”，九年级某班准备从甲，乙，丙，丁四名同学中选择一名同学，代表班级参加比赛,

四名同学平时成绩平均数亍（单位：分）及方差式如表所示：

甲乙丙T

X92969596

S21.3111.5

如果要选择一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

7.如图，ABCD,E是CO上一点，且AEJ_AC,NC=2NEAB,则下列结论错误的是（）

C.ZC=60°D.AC^-AE

3

8.如图，DO中，祖B=*C，连接A3，AC,BC,OB,0C,若NACB=65°,则NBoC的度数

A.130°B.115°C.100°D.150°

9.如图，四边形ABa）是菱形，点E,尸分别在5C,OC边上，添加以下条件不能判定心至£.4）产

的是（）

ABE=DFB.ZBAE=ZDAFC.AE=ADD.ZAEB=ZAFD

k

10.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=-（Z>0,x>0）的图像与菱形QMC的边。C,AB分别

X

交于点M、M且OM=2MC,OA=6,NCO4=60。，则N的横坐标为（）

A.7B.6+√3C,3√BD.3+√13

二、填空题（每小题3分，共18分）

IL使式子J友行■有意义的X的取值范围是.

12.若NA=39°,则NA的余角是度.

13.在正比例函数y=履中，），的值随着X值的增大而增大，则点P（2,女）在第象限.

14.如图，。是二ABC的边AB上一点，CF//AB,OE交AC于E点，DE=EF.若AB=5,CF=4,

则BD=.

15.如图，将等边三角形ABC沿AC边上的高线5。平移到二EFG,阴影部分面积记为S,若——=—

FD3

SVABC=16，则S=

16.如图，平行四边形ABC。中，AC,BD交于前0,BD=2AB,以A为圆心，AO长为半径作弧,

交。B于点G,分别以0,G为圆心，大于一OC长为半径作弧，两弧交于点M,作射线AM交3。于

2

BG=I,则AC=

三、解答题（17小题10分，18小题10分，共20分）

17.先化简，再求值：（一!一一χ+l）+tW,其中χ=d）T-tan45°+

x-1x-12

18.为了解学生作业完成时间，加强作业管理，减轻学生负担，某中学随机抽查部分学生，对他们作业完成

时间进行问卷调查，并根据调查结果绘制如下两种统计图表(不完整)，请结合图中信息解答下列问题:

学生作业完成时间频数分布表

组别时间W分人数

A40≤x<50m

B50≤x<6016

C60≤x<70n

D70≤x≤802

学生作业完成时间扇形统计图

(1)表中的m值为，“值为；

(2)求扇形统计图中C部分所在扇形的圆心角度数；

(3)若该校有1500名学生，根据调查结果请估计作业完成时间小于60分钟的人数.

四、解答题(19小题10分，20小题10分，共20分)

19.为“弘扬雷锋精神，传承红色基因”某校开展了志愿者服务活动，安排了四个展馆引导员的工作岗

位：A.图书馆，B.博物馆，C.天文馆，D.科技馆.小丽和小颖同时报名参加了志愿者服务工作，学

校将报名的志愿者随机分配到四个岗位.

(1)小丽被分配到天文馆的概率是;

(2)请用列表法或画树状图的方法求小丽和小颖被分配到同一岗位的概率.

20.某单位计划选购甲，乙两种物品，已知甲物品单价比乙物品单价高20元，用240元单独购买甲物品的

数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍.

(1)求甲，乙两种物品的单价分别是多少元？

(2)如果该单位计划购买甲，乙两种物品共80件，且总费用不超过4060元，求最多能购买甲物品多少

件？

五、解答题(21小题10分，22小题12分，共22分)

21.如图，一渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁尸在北偏东6()。方向上，继续航

行半小时到达8处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁「正东方向的避风港。在B的北偏

东70.5°方向，为了能在台风到来之前用最短时间到达。处，渔船立刻以80海里/时的速度向避风港Q处驶

去，求渔船还需多长时间可到达避风港Q处.（精确到01小时）

（参考数据：cos70.5o≈∣,√2≈1.4.G≈L7）

22.如图，AB，CD是<。的直径，CM为一。的切线，C为切点,连接BC,过点。作。£_LAB于点

E，延长OE交BC于点交Oo于点G,交CM于点“，连接CG.

M

（2）若半径为5，CG=2,求”后的长.

六、解答题（本题满分12分）

23.小雨响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的

种植成本为14元/千克.设销售时间为x（天），通过一个月（30天）的试销，该种水果的售价P（元/千克）

与销售时间X（天）满足如图所示的函数关系（其中l<x<30,且X为整数）.已知该种水果第一天销量为36

千克，以后每天比前一天多售出4千克.

（1）直接写出售价P（元/千克）与销售时间X（天）的函数关系式;

（2）求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？

七、解答题（本题满分14分）

24.如图，一ABe中，D,E分别为AB,ACk点，DE//BC,将VADE绕点A逆时针旋转，连接8。,

且BD,E三点恰好在一条直线上.

(1)如图①，连接CE,求证：AABD=ACE；

(2)如图②，若-ABC为直角三角形，Nβ4C=90°,NABC=30。，延长AEBC交于点R若

AB后4BF

――=v2,求言:的值；

BDEF

(3)如图③，若.ABC为等腰三角形，AB=AC=6,点G为.ABC内一点，连接AG,BG,CG,

且N84G=NGBC,ZBGC=90。,BG=2GC,请直接写出AG的长.

八、解答题(本题满分14分)

25.如图，在平面直角坐标系XOy中，抛物线y=Jχ2+foχ+c与X轴交于点A(T,0),8(3,0),与y轴交

于点C,连接8C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点。(租,0)为线段OB上一动点(不与O,B重合)，过点。作平行于y轴的直线交BC于点交

抛物线于点M是否存在点。使点M为线段ON的三等分点，若存在求出点。坐标，若不存在请说明理

由；

（3）过点。作直线/〃BC,点P,Q为第一象限内的点，且Q在直线/上，P为/上方抛物线上的点,

是否存在这样的点P,Q,使APQBs^COB,若存在直接写出P,Q坐标，若不存在请说明理由.

参考答案

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）

1.下列图形中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

【解析】

【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可.

【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B.是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意：

C.是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后

两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后

的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键.

2.同步卫星在赤道上空大约36000000米处，将数据36000000用科学记数法表示为（）

A.0.36×10sB.3.6×IO7C.36×IO6D.3.6×10s

【答案】B

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为αχ10",其中1≤∖a∖<10,〃为整数，且〃比原来

的整数位数少1,据此计算即可.

【详解】解：；36000000=3.6×107.

•••数据36000000用科学记数法表示为3.6XO.

故选：B

【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为“xlθ",其中1≤H<10,确定。与〃

的值是解本题的关键.

3.下列各数中比2大的无理数是()

.5I-

A.√r3B.-C.2.4D.√5

【答案】D

【解析】

【分析】利用实数大小的比较法则和无理数的意义解答即可.

【详解】解百<2，•1和2.4是有理数，√5>2-

下列各数中比2大的无理数是石.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了实数大小的比较和无理数的定义，熟练掌握无理数的定义和实数大小的比较法则

是解题的关键.

4.下列计算正确的是()

A.X3+x=x4B,仕Yy]=LV

U)2

C.3xiy2÷3X2=xy2D.(χ-j)2=x2-y2

【答案】C

【解析】

【分析】根据整式的加减运算、乘除运算法则、积的乘方运算以及完全平方公式即可求出答案.

【详解】解：A、Y与X不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意.

B、flχ2y1=JX6>3,计算错误，不符合题意.

U)8

C、3∙√y2÷3χ2=孙2,计算正确，符合题意.

D、(x-y)2=χ2-2^+/,计算错误，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算法则、积的乘方运算以及

完全平方公式，本题属于基础题型.

5.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是()

2222

A.3X+4Λ+1=0B.2X-Λ+1=0C.X-2Λ+1=0D.χ+χ+l=O

【答案】A

【解析】

【分析】一元二次方程办2+Ac+c=O(αHθ)的根与A=)2-4QC有如下关系：当A>O时，方程有两个

不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程无实数根.分别计算方程的

根的判别式，然后根据判别式的意义对各选项进行判断.

【详解】解：A、∙.∙3f+4x+l=0,

ΛΔ=42-4×3X1=2>O-方程有两个不相等的实数根；

B、2X2-X+∖=0,

.•.△=（—1）2_4X2X1=—7<0,方程没有实数根：

C、∙.*-2χ+ι=o,

.∙.∆=（—2）2-4×l×l=0,方程有两个相等的实数根；

D、χ2+χ+l=0>

Λ∆=12-4×1×1=-3<O）方程没有实数根；

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关

键.

6.某校举办“诗词大会”，九年级某班准备从甲，乙，丙，丁四名同学中选择一名同学，代表班级参加比赛,

四名同学平时成绩的平均数无（单位：分）及方差相如表所示：

甲乙丙T

X92969596

S21.3111.5

如果要选择一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】

【分析】先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选

乙同学去参赛.

【详解】解：•••乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大，

.∙.应从乙和丁同学中选，

乙同学的方差比丁同学的小，

.∙.乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学.

故选：B.

【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.方

差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它

与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

7.如图，ABCD,E是Co上一点，且ZC=2ZEAB,则下列结论错误的是（）

A.CE=-AEB.ZBAE=30°C.NC=60°D.AC=-AE

23

【答案】A

【解析】

【分析】根据ABCD,得出NEW=NA£C，进而求出N54E=30。,ZC=60°,再根据三角函数值

解答即可.

【详解】解：∙∙∙ABCD,

：.NE4B=ZAEC,

VAEA.AC,AC=IAEAB,

.∙.ZC+Z4EC=90°,

.∙.ZAEC=30°,

ΛZBAE=30°,ZC=60°,故B,C选项正确;

.,∙CE—IAC,

由三角函数值可得,

tan300=-=—

AE3

：.AC=立AE，故D选项正确;

3

CE=2AC=2叵AE，故A选项错误;

3

故选:A.

【点睛】本题考查了平行线的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理等知识，掌握平行线的性质

是解题的关键.

8.如图，OO中，我B=我C，连接43，AC,BC,OB,OC,若NAC8=65。，则NBOC的度数

为（）

A

B.115oC.1(X)°D.150o

【答案】C

【解析】

【分析】利用等弧所对圆周角相等可得NAeB=NABC=65°,从而利用三角形的内角和定理可得

NA=50。，然后利用圆周角定理进行计算即可解答.

【详解】解势B=舛C，

.,.ZACB=ZABC=65°,

.,.ZA=180o-ZABC-ZACB=50°,

.∙.NBOC=2NA=100°,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，熟知一条弧所对圆周角等于

它所对圆心角的•半是解题的关键.

9.如图,四边形ABCO是菱形，点E,尸分别在BC,£>C边上，添加以下条件不能判定,.ABEgAQP

的是（)

A.BE=DFB.ZBAE=ZDAFC.AE=ADD.ZAEB=ZAFD

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形全等判定定理SAS可判定A,三角形全等判定定理ASA可判定8,三角形全等判定定

理可判定C,三角形全等判定定理AAS可判定D即可.

【详解】解：：四边形ABC。是菱形,

AB=AD,ZB=ZD,

A.添加BE=。F可以,

在AABE和AAQF中,

AB=AD

<ZB=ZD,

BE=DF

AiABEADF(SAS),

故选项4可以；

B.添加Nfi4E=NZMF可以,

在AABE和AAO尸中

NBAE=NDAF

<AB=AD,

ZB=ZD

A.ABE^ADF(ASA)；

故选项B可以；

C添加AE=AZ)不可以，条件是边边角故不能判定;

故选项C不可以；

D.添加NAe3=/4FD可以，

在AABE和Z∖AOE中

NBEA=ZDFA

<NB=ND,

AB=AD

：.^ABEADF(SAS).

故选项O可以；

故选择C.

【点睛】本题考查添加条件判定三角形全等，菱形性质，掌握三角形全等判定定理，菱形性质是解题关

键.

10.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=±α>0,x>0)的图像与菱形QtBC的边。C,AB分别

X

交于点M、M且OM=2MC,0A=6,NCQ4=60。，则N的横坐标为()

A.7B.6+√3C.3√BD.3+√B

【答案】D

【解析】

【分析】分别过点M、N作X轴的垂线，垂足分别为H、G,根据题意求得OM=4,在RjoM”中，

OM=A,NAOC=60°,则OH=2,切/=2√3.故点M的坐标为(2,26)，利用待定系数法求得

4=4√L在Rt-NAG中，设ATV=2α,ZNAG=60。，则AG=α,NG=，则点N的坐标为(6+a市山,

代入反比例函数的解析式，即可得到关于。的方程，解方程求得”的值，进而求得点N的横坐标.

【详解】解：分别过点“、N作X轴的垂线，垂足分别为“、G,

.*.OC=OA=6，

∖9OM=2MC,

：.OM=ZX6=4,

3

在RfOMH中,OM=4,NaM=60°,则。”=2,,㈤=2应,

点M的坐标为(2,2百)，

k

・・・点M在反比例函数>=一(左>0,x>0)的图像上，

X

.∙.Z:=2×2√3=4√3.

.∙.反比例函数的表达式为y=逑(x>0),

X

设ATV=2α,

∙.∙OC//AB,

：.ZAOC=ZAMG=60°,

RJM4G中，设ATV=2α,ZMAG=60。，则AG=α,NG=瓜，

点N的坐标为((6+α,√3α).

：点N在反比例函数y=述(χ>0)上，

X

(6+tz)∙∖∣3a=4χ∕3，

解得α=-3+jm(负值已舍去)，

•*-6+α=3+y/13，

，%的横坐标为3+9，

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数的性质，菱形的性质，解直角三角形等,

求得点M的坐标，表示出点N的坐标是解题的关键.

二、填空题(每小题3分，共18分)

IL使式子■有意义的X的取值范围是.

［答案】X≥—

2

【解析】

【分析】根据二次根式成立的条件进行解答即可

【详解】解：由题意可得：2x+l>0

解得：X>—

2

故答案为：X≥——

2

【点睛】本题考查二次函数成立的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是本题的解题关键.

12.若/4=39。，则NA的余角是度.

【答案】51

【解析】

【分析】利用余角的定义进行求解即可.

【详解】解：∙.∙NA=39°,

.∙.NA的余角为:90o-39o=51o.

故答案为：51.

【点睛】本题主要考查余角，解答的关键是明确互为余角的两角之和为90。.

13.在正比例函数y=质中，y的值随着X值的增大而增大，则点P(2,Z)在第象限.

【答案】一

【解析】

【分析】因为在正比例函数y=依中，y的值随着X值的增大而增大，所以ZX),所以点P(2,Z)在第

一象限.

【详解】解：；在正比例函数y=依中，y的值随着X值的增大而增大，

.∙.kX),

.∙.点P(2,4)在第一象限.

故答案为：一.

【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.

14.如图，。是二ABC的边AB上一点，CF//AB,OR交AC于E点，DE=EF.若AB=5,CF=4,

则8。=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用角角边定理判定aADE咨ACEE(AAS)即可；利用全等三角形对应边相等可得AO的长，用

AB-A。即可得出结论.

【详解】证明：:C产〃AB，

：.ZADF=NF，ZA=NECF.

在VADE和，CFE中，

ZA=ZECF

<ZADE=NF

DE=FE

：.AADE且*FE(AAS).

.,.AD=CF=4.

.*.BD=AB-AD=5-4=l.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质.选择合适的判定方法是解题的关键.

15.如图，将等边三角形ABC沿AC边上的高线BD平移到二瓦G,阴影部分面积记为S,若黑=g，

SVABC=16,则S=.

E

A

/F∖G

BC

【答案】9

【解析】

【分析】根据平行的性质可知SABC=S∕，Ac'〃EG进而可证得EWNSEEGSABC,根据相似

三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论.

【详解】解：；等边三角形ABC沿AC边上的高线Bo平移到-EFG，

∙*∙SABC=SEFG，AC//EG9

∙*∙LFMNS乙EFGS-A£C,

..Sm/叫

S-ABCIBDJ

.FB1

,FD~3,

.FD3

••=—,

BD4

；,FMN的面积记为S,SVABC=16,

解得S=9.

故答案为：9.

【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的性质，解题的关键是根据平移的性质证得阴影三角形与原

来的三角形相似.

16.如图，平行四边形ABCQ中，AC,BD交于点O,BD=2AB,以A为圆心，A。长为半径作弧,

交OB于点G,分别以0,G为圆心，大于LoC的长为半径作弧，两弧交于点M,作射线AM交5。于

2

点E,交BC于点F,EO=2,BG=T,则AC=.

不AD

M∖

【答案】4√5

【解析】

【分析】利用基本作图可判断得AM垂直平分。G，所以EG=OG=2,NAEB=A=90°,则

BO=5,BE=3,再根据平行四边形的性质得到OB=Or>,OC=OA,由BD=2AB，所以

AB=BO=5,然后利用勾股定理可先计算出AE，再计算出Q4,从而得到AC的长.

【详解】解：由作法得AM垂直平分0G,

：.EG=OG=2,ZAEB=AEO=90°,

,/BG=I,

∙*.BO=5,BE=3,

•・•四边形ABeo为平行四边形，

.*.OB=ODyOC=OA,

•；BD=2AB,

∙*∙AB=BO=5，

在RtZXABE中，AE=√52-32=4-

在RtzλA0E中，OA=√22+42=2√5，

.∙∙AC=2OA=4√5∙

故答案为：4√5.

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了平行四边形的性

质，勾股定理等知识，解题的关键是得到AM垂直平分OG.

三、解答题（17小题10分，18小题10分，共20分）

17.先化简，再求值：(一!一一χ+l)+tW,其中χ=d)T-tan45°+

x-1x-12

【解析】

【分析】先利用异分母分式的加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把X的值代入化简后的式子进行计

算即可解答.

1Y2—4

【详解】解：(二一一x+l)÷---

x—\%—1

1Y—1

=K--------(ɪ-l)]——:-----------

x—l(x+2)(x-2)

1—x?+2X—1X—1

=--------------------------

X—1(X+2)(Λ?—2)

—x(x—2)x-l

x-l(x÷2)(x—2)

X

x+2

当X=(—)7-tan45。+卜3|=2—1+3=4时,

2

原式=一

3

【点睛】本题考查了分式的化简求值，负整数指数幕，特殊角的三角函数值，熟练掌握因式分解是解题的关

键.

18.为了解学生作业完成时间，加强作业管理，减轻学生负担，某中学随机抽查部分学生，对他们作业完成

时间进行问卷调查，并根据调查结果绘制如下两种统计图表(不完整)，请结合图中信息解答下列问题：

学生作业完成时间频数分布表

组别时间x/分人数

A40≤x<50m

B50≤x<6016

C60≤x<70n

D70≤x≤802

学生作业完成时间扇形统计图

（1）表中的机值为，〃值为；

（2）求扇形统计图中C部分所在扇形的圆心角度数；

（3）若该校有1500名学生，根据调查结果请估计作业完成时间小于60分钟的人数.

【答案】（I）10,12（2）108°（3）975人

【解析】

【分析】（1）由2组人数及所占百分比即可求出调查的总人数，然后确定”的值；

（2）用C部分所占的百分比乘以360°即可；

（3）1500乘以作业完成时间小于60分钟的人数占调查的总人数的百分比即可.

【小问1详解】

,.-16÷40%=40（人）

.∙.z77=40×25%=10

〃=40-10-16-2=12

故答案为：10,12；

【小问2详解】

360o×-=108°

40

答：扇形统计图中C部分所在扇形的圆心角度数是108°；

【小问3详解】

1500xlT=975（人）

答：该校有1500名学生，根据调查结果请估计作业完成时间小于60分钟的人数是975人.

【点睛】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，关键是应用数形结合解答问题.

四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）

19.为“弘扬雷锋精神，传承红色基因”某校开展了志愿者服务活动，安排了四个展馆引导员的工作岗

位：A.图书馆，B.博物馆，C.天文馆，D.科技馆.小丽和小颖同时报名参加了志愿者服务工作，学

校将报名的志愿者随机分配到四个岗位.

（1）小丽被分配到天文馆的概率是

（2）请用列表法或画树状图的方法求小丽和小颖被分配到同一岗位的概率.

【答案】（1）-

4

（2）列表见解析，-

4

【解析】

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）列表得共有16种等可能的结果，其中小丽和小颖被分配到同一岗位的结果有4种，再由概率公式求

解即可.

【小问1详解】

解：小丽随机分配总共有四种可能，分配到天文馆是其中一种可能，所以概率是1；

【小问2详解】

列表如下：

ABCD

A(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)(D,B)

C(A,C)CBfC)(C,C)CD9C)

D(A,D)(B,D)(C,D)(D,D)

共有16种等可能的结果，其中小丽和小颖被分配到同一岗位的结果有4种,

41

，小丽和小颖被分配到同一岗位的概率为7=一.

164

【点睛】本题考查的是用列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完

成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

20.某单位计划选购甲，乙两种物品，已知甲物品单价比乙物品单价高20元，用240元单独购买甲物品的

数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍.

（1）求甲，乙两种物品单价分别是多少元？

（2）如果该单位计划购买甲，乙两种物品共80件，且总费用不超过4060元，求最多能购买甲物品多少

件？

【答案】（1）甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元

（2）43件

【解析】

【分析】（1）设乙物品的单价是X元，则甲物品的单价是（x+20）元，利用数量=总价÷单价，结合用240

元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍，可得出关于X的分式方程，解之经检验

后，可得出乙物品的单价，再将其代入（X+20）中，可求出甲物品的单价；

（2）设购买机件甲物品，则购买（80-m）件乙物品，利用总价=单价X数量，结合总价不超过4060元，

可得出关于，"的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论.

【小问1详解】

设乙物品的单价是X元，则甲物品的单价是（x+20）元，

wκ+,240C80

根据延思z得c：——=2X—,

x+20X

解得：X=40,

经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，

.*.x+20=40+20=60.

答：甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元.

【小问2详解】

设购买胆件甲物品，则购买（8（）—加）件乙物品，

根据题意得：60∕77+40（80-m）≤4060,

解得：m<43>

又•・•《?为正整数，

.∙.∕∏的最大值为43.

答：最多能购买甲物品43件.

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关

系.

五、解答题（21小题10分，22小题12分，共22分）

21.如图，一渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在4处测得岛礁P在北偏东60°方向上，继续航

行半小时到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向的避风港。在B的北偏

东70.5°方向，为了能在台风到来之前用最短时间到达。处，渔船立刻以80海里/时的速度向避风港。处驶

去，求渔船还需多长时间可到达避风港。处.（精确到01小时）

o

（参考数据：cos70.5≈∣,√2≈1.4.λ^≈1.7）

北

东

【答案】1.0小时

【解析】

【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出PC,再根据锐角三角函数求出

BQ

,再由速度、时间、路程之间的关系进行计算即可.

【详解】解：如图，过点RQ分别作AC的垂线，交AC的延长线于点C、。，由题意可知，NM4P=60°,

/6=gx60=30,ANBP=NNBQ=70.5。，PQAD,

在RtqAPC中，

∙.∙ZR4C=90°-60°=30°,

；•AC=∕PC，

在Rt_BPC中，

VZPBC=90°-30°=60°,

：.BC=BPC，

3

又：AC-BC=AB=30,

•••应PC--PC=30,

3

解得％=15出，

在Rt~被D中，

∙.∙cos/%。="，即1=史区,

BQ3BQ

•••BQ=45√3.

•••所需要时间为：45√3÷80≈1.0（小时），

答：渔船还需约1.0小时可到达避风港。处.

北

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是

解

决问题的关键.

22.如图，AB，CD是:。的直径，CM为。的切线，C为切点，连接BC,过点。作DE_L43于点

E，延长。E交BC于点F,交00于点G,交CM于点、H,连接CG.

【答案】（1）见解析（2）U"

6

【解析】

【分析】（I）CD是Oo的直径，CM为OO的切线，得。C_LCM,所以N"CE+NOCB=90°，而

DEA.AB，ZCFH=ABFE,ZOCB=NOBC,可得/CFH+ZOCB=90°,所以ZHCF=/HFC，

即可得CH=即；

（2）根据C。是；。的直径，得NCGD=90。,根据勾股定理得OG=4#，根据垂径定理得

DE=GE=2娓,证明，OEoSoC”，得型=匹，即工=亚，求出”。=史几，所以

HDCDHD106

HE=HD-DE="娓-2星普瓜.

66

【小问1详解】

证明：CD是。。的直径，CM为OO的切线,

..DCVCM,

:.AHCF+/0CB=90。,

OB=OC,

NoCB=/OBC,

DELAB,

；.NBEF=90°,

.-.ZEFB+ZOBC=90o,

∙,ZCFH=ZBFE,

:.NCF"+NOCB=90°,

：./HCF=/HFC,

：.CH=HF-,

【小问2详解】

解：CD是C。的直径，

:.ZCGD90°,

CD=20C=I0,CG=2,

DG=√CZ）2-CG2=√102-22=4√6，

DGlAB,

•••DE=GE=2瓜

OC=OD,

.∙.QE=TCG=I,

∙,∙ZOED=ZDCH=90o,ZD=ND,

:二DEo^-DCH,

.ODDE

~HD~~CD

即_J_=2瓜,

HD10

HD=-46,

6

.∙.HE=∕∕D-DE=-√6-2√6=-√6.

66

【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理及相似三角形的判定和性质等，掌握圆

的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.

六、解答题（本题满分12分）

23.小雨响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的

种植成本为14元/千克.设销售时间为x（天），通过一个月（30天）的试销，该种水果的售价P（元/千克）

与销售时间X（天）满足如图所示的函数关系（其中1<Λ<30,且X为整数）.已知该种水果第一天销量为36

千克，以后每天比前一天多售出4千克.

（1）直接写出售价P（元/千克）与销售时间X（天）的函数关系式;

（2）求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？

1

——x+34（0≤x≤20）

【答案】（1）P=J2'）

24（20<x≤30）

（2）销售第30天时，利润最大，最大利润为1520元

【解析】

【分析】（1）依据题意易得出销售价P（元/依）与时间X（天）之间的函数关系式；

（2）先根据题意求出每天的销售量与X的关系式，再根据销售利润等于销售量X（售价一进价），列出平均

每天的销售利润W（元）与时间X（天）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润.

【小问1详解】

解：依题意，当0≤x420时，设p=kx+b,

b=34k=—

，解得，2

20k+b=24

8=34

•1

•∙p--5%+34；

当20<x≤30时，P=24,

-L+34(0VX≤20)

.∙.售价P(元/千克)与销售时间X(天)的函数关系式为p=<2'，；

24(20<x≤30)

小问2详解】

解：设该种水果每天的销售量为y千克，利润为W元，

根据题意得：y=36+4(x—1)=4x+32,

①当0≤x≤20时，W=--!-X+34-14∖4Λ+32)=-2X2+64X+640=-2(Λ-16)2+1152,

I2)

V-2<0.

.∙.χ=16时，W最大=1152,

②当2O<xW3O时，

W=(24-14)(4x+32)=40x+320,

V40>0,

.∙.当x=3O时，W最大=1520,

V1520>1152,

销售第30天时，利润最大，最大利润为1520元.

【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解

答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自

变量的取值范围内求最大值(或最小值).

七、解答题(本题满分14分)

24.如图，ABC中，D,E分别为ABAC上的点，DE//BC,将VAr>E绕点A逆时针旋转，连接

且BD,E三点恰好在一条直线上.

(1)如图①，连接CE,求证：^ABDACE

(2)如图②，若JWC为直角三角形，ZBAC=90°,ZABC=30°,延长AE,BC交于点F,若

—=√2,求处的值;

BDEF

(3)如图③，若一ABC为等腰三角形，A6=AC=6,点6为_/3。内一点，连接AGBG,CG,

且NBAG=NGBC,NBGC=90°,BG=2GC,请直接写出AG的长.

【答案】(1)证明见详解

(2)√6

6√15

(3)

5

【解析】

AnAp

【分析】(I)可证得——=—,ZBAD^ZCAE,从而得出结论；

ABAC

(2)连接CE,可证得AEECS.FBA,进一步得出结果；

(3)将一ABC绕点4旋转NB4C的度数至ACG',连接CG',先证明6、G、G'共线，从而

NCGG'=90°,设CG=4,则CG'=3G=2α,可计算得出BC=行。，GG'ɪ√CG'2-CG2ɪ√3α-

根据AGG'sABC得出挺=空，进一步得出结果.

ABBC

【小问1详解】

证明：VDE//BC,

.ADAE

••一,

ABAC

•：NZME=ZBAC,

.∙.ZDAE-ZDAC=ZBAC-ZDAC，

.∙.ZBAD=ZCAE,

∙'∙,ABDsACE；

【小问2详解】

如图1,

连接CE,

由(1)知,

ABDSACE,

∙'∙==tan/ABC=tan30o=>ZACE—ZABD,

BDAB3

.∙,ZBEC=NBAC=90。,

'：ZAEO=60°,

.∙.AFEC=180o-ZAED-ZAEC=30o,

∙.∙ZABC=30°,

：.NFEC=ZABC,

∙∙,NF=NF，

：.aFECs..FBA，