解三角形-2022年高考数学训练（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练

专题13解三角形

一、单选题(本大题共10小题，共50分)

1.在AABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若2αcosC=b,则4ABC的形状是

()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

【答案】C解：•・•b=2acosC,

••・由正弦定理得SinB=2sinAcosC,

Vβ=yr—(^4+C),

Sin(A+C)=2sinAcosC1

贝(JsiτL4cosC+CosAsinC=2sinAcosC9

SinAcosC—CosAsinC=0,

即SinG4-C)=0,

VA.C∈(0,Tr),

.∙.A-Ce(-πfπ)f则/一C=O,

∙∙A=C9

・•.△ABC是等腰三角形.

故选：C.

2.如图，在△4BC中，点。在边AB上，CDIBC,AC=5√3,CD=5,BD=2AD,则

Ao的长为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】解：设AD=3可得BD=23BC=√4t2-25,

在直角三角形88中，可得‘°SB=亨

_4t2-25+9t2-75

在三角形48C中，可得CoSB

2∙3t∙√4t2-25

即为V4/-25_4d-25+9d-75

2t—2∙3t∙√4t2-25

即2(4g一25)=为2—75,解得t=5,

可得AZ）=5,

故选：B.

3.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望。岛和3岛成60。的视角，从5岛望C

岛和A岛成75。的视角，则以C间的距离是（）

A.10√T海里B.吧匹海里C.5√Σ海里D.5倔每里

3

【答案】D

【解析】解：由题意可得，A=60o,B=75°,NC=I80。-60。-75。=45。

根据正弦定理可得，ɪ=ɪFC=蜷=5几故选D.

sιn60osιn45o√2

2

4.在AABC中，内角A、B、C所对的边分别为人b、c,若角A、C、8成等差数列，角C

的角平分线交AB于点。，且CD=遮，a=3b,则C的值为（）

A.3B.∖C.亭D.2√3

【答案】C

【解析】解：由题意，得｛：：ʃ_→ɛ

由SAABC=SAACD+SABw

得!”bsinɪaCD>∙iιι∙ɪðCD∖sɪɪɪ,

232626

所以Q匕=Q+b,

所以助2=钻，解得b=g（b=O舍去），

故Q=3b=4

故C=√α2+62-2ab∙cost'=—,

3

故选C.

5.如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是不在。点测得塔顶A的

仰角是士水平面上的一伙力-；.CDloɪn,则电视塔A5的高度为（）m

6

A.20B.30C.40D.50

【答案】A

【解析】解：由题题意，设4B=x,则BD=百》，BC=X

在ADBC中，∆BCD=60o,CD=40,

根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC-CD-CoS4DCB

即：（8丫产=（40）2+x2-2×40∙x∙cos60o

整理得/+20%-800=0,解之得X=-40（舍去）或X=20

即所求电视塔的高度为20米.

故选A.

6.为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所

示，则小区的面积为（)

A.

B.Zkm2

4

ɪi-√r3.2

cC.A∙rrι

4

D.Ukm2

4

【答案】D

【解析】解：如图连接AC,

根据余弦定理可得

AC2=AB2+BC2_2abXBCCOSB=3,

即AC=√3,

由于叱+"C?=AB2,

所以Z½C8=90°,∆BAC=30°,

所以W4C=45°-30o=15o,∆DCA=105°-90°=15°,

所以ZJMC=∆DCA

所以AADC为等腰三角形，

设4。=CC=x,40=150。，

由余弦定理/+X2+√3x2=3=⅛X2=3(2-√3),

故所求面积为：X1X遥+：X3(2-√ξ)X(=平.

故选D

C

D

.∙∙∙∙105°∖jkm

________A,

2km_____,

7.已知直三棱柱ABC-力IBlCl的底面是正三角形，AB=25。是侧面BCGBI的中心，

球。与该三棱柱的所有面均相切，则直线AO被球。截得的弦长为（）

A√∏BgQ3旧D3√IU

*105105

【答案】D

【解析】解：因为球。与直三棱柱ABC—AB】G的所有面均相切，且直三棱柱4BC—

的底面是正三角形，

所以球心。为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点,

如图所示，设球。的球心为O,底面三角形A8C的重心为0',连接。0

则。。'1底面ABC.

设BC的中点为E,连接AE,易知点。'在AE上,

连接。。、DE,因为。是侧面BBIClC的中心，所以四边形。0'ED为正方形,

设球0的半径为r,则山AB=2√3,

可得r=2√^x当Xl=1，易得/W=Ir2+(2√3×y)2=√10-

连接OA,可得OA=Jr2+(2√3XX∣)2=√5.

。。2+心-4。2_3或

・・・cos∆ADO=

2D。AD-10

故所求弦长为2r∙cos∆ADO=嘤.

故选。.

8.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,若直线bx+ycos4+cosB=O与

αx+ycosB+cos4=0平行，则AABC一定是()

A.锐角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰或者直角三角形

【答案】C

【解析】解：T直线b%+ycosA+cosB=0与αx+ycosB+cosA=0平行，

/.—b=-co-s-A,

acosB

解得bcosB=acosA,

••・利用余弦定理可得：bXM龙=αχMW,

2ac2bc

整理可得：c2(b2—α2)=(h2+a2)(∂2—a2),

解得：c2=a2+炉或b=a,

而当a=b时，两直线重合，不满足题意；

则AABC是直角三角形.

故选C.

9.海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师.在他的著作行则地术》中最

早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S=

ʌ/p(p—a)(p—b')(jp—c)>这里P=ɪ(a+b+c),a,b,C分别为团ABC的三个角A,B,

C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知因ABC中，p=12,c=9,

CoSA=|,则该三角形内切圆半径()

A.√2B.√3C.√10D.√5

【答案】D

【解析】解：因为P=Xa+b+c),所以a+b+c=2p,

因为P=12,c=9,所以a+b=15,

三角形的内切圆半径r=-⅛∙,

a+∂+c

由余弦定理得

CoSA—"+2。bc一。=-3>

所以(6-。)(8+。)+81=124即b-5a=-27,

所以Q=7,b=8,

所以S=JP(P—a)(p—6)(P—C)=√12×(12-7)(12-8)(12-9)=12√5)

所以r=\/5>

故选。

10.在ZABC中，若；⅛+熹=2(黑+熹)，则()

A.C的最大值为?B.C的最大值为半

C.C的最小值为WD.C的最小值为?O

【答案】A

【解析】解：因为高+磊=2（康+磊）,

匕匚1“11C/COSA,CoS8、

所以而7+I忑G=2(=+研),

sin∕l+sinBC(sinBCoSA+cosBSin4)

所以—~J-=2-------：~—------

sinASinBsinASinB

_2Sin(4+B)_2SinC

sinASinBsinASinB

所以SinA+sinB=2sinCf

由正弦定理得到：a+b=2c,

2222

所以c°sc=a式α+∂-(^^)⅛+⅛-∣αft-2ab-ab1

2ab2ab"2ab

2

当且仅当Q=b时"="成立,

所以U「.

⅜*

则C的最大值为?

故选A.

二、单空题（本大题共4小题，共20分）

11.如图，在离地面高200山的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15。、山脚A处的俯角

为45。，已知ZBAC=60。，则山的高度BC为m.

【答案】300

【解析】解：根据题意，可得RtAAMC中，NMAZ）=45。，MD=200,

MD

.∙.AM==200√2.

sin4S"

•••△MAC中，∆AMC=45°+15o=60o,NMAC=I80°—45°—60°=75°,

.∙.∆MCA=180o-∆AMC-∆MAC=45°,

由正弦定理，得4。=3潸='詈=20。/，

sιn∆MCAXi

2

在Rt∆ABC中，BC=ACsinNB/lC=200√3×-=300m∙

2

故答案为300.

12.在四边形ABCO中，AB=6,BC=CD=4,DA=2,则四边形4BC。的面积的最大

值是______

【答案】8√3

【解析】解：如图所示，

AB=6,BC=CD=4,DA=2,

设BD=X,在AABD中，

由余弦定理可得/=22+62-2×2×6cosA=40-

24cosAι

在aBCD中，由余弦定理可得产=32—32CoSC,

联立可得3cos4—4cosC=1,(T)

又四边形ABCD面积S=∣×4×4sinC+∣×2×6sinA,

即4sinC+3sinA=∣S,(2)

①2+②2可得9+16+24(SinASinC-cosAcosC)=1+ɪs2,

化简可得一24COSG4+Q=⅛2-24,

由于一1<CoS(A+C)≤1,ʌ-24≤-S2-24≤24,

.∙.0≤S2≤192,解得S≤8√I,

当CoS(A+C)=-1即4+C=兀时取等号，

∙∙∙S的最大值为8次.

故答案为：8√3.

13.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,

我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径4B两点间的距离，现

在珊瑚群岛上取两点C,D,测得Cn=45m,ZJWB=1350,∆BDC=/.DCA=15。,

∆ACB=120则AB两点的距离为'I.

【答案】45√5

【解析】解：易知在△4C。中，Z-DAC=180o-/.ADB-乙BDC-/-ACD=15°,

.∙∙Δ4CD为等腰三角形，则AD=CD=45,

⅛ΔBCO中，∆CBD=180°-乙BDC-∆ACD-∆ACB=30°,4BCD=120°+15°=135°,

CDBD

所以由正弦定理得即凝=盛，得BD=45√∑,

sinZCBDtinZ.BCD

在A48。中，由余弦定理得4川—心+BD2-2ADxBD×tχ>l：,

=452+(45√2)2-2×45×45√2X(-y)=45zX5.

所以48=45有，即A,8两点的距离为45近，

故答案为454.

14.如图，A,B两点在河的同侧，且A,B两点均不可到达，_____A

/----~

要测出A,B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C,

D,若测得CD=4km,∆ADB=乙CDB=30o,∆ACD=

60o,∆ACB=45°,则A,8两点间的距离是km.DC

【答案】2√2

【解析】由于CD=4km,ΛADB=Z.CDB=30o,∆ACD=60o,Z.ACB=45",

所以ZDAC=180°-30°-30°-60°=60°,

∆DBC=180°-30°-60°-45°=45°,

在三角形AQe中，由正弦定理得一士;=丁号，所以a。=处"=4，

s∖n∆DACs∖n∆ACDsin60

在三角形BC。中，由正弦定理得一■=一人，

SinzFCDSinzDBC

所以=422in(吗"：)=2√3+2,

sin45

在三角形ABo中由余弦定理得到AB2=42+(2√3+2)2-2×4×(2√3+2)cos30°=8,

所以AB=2√2.

故答案为2√Σ

三、解答题(本大题共4小题，共30分)

15.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为α,b,C且CCOSB+bcosC=3αcosB.

(I)求CoSB的值;

(2)若∣G5-0I=2，AABC的面积为2√∑,求边从

【答案】解：(1)由正弦定理号=号

sinC,

即CCoSB+bcosC=SacosBy

得SiTlCCoSB+SinBcosC=3sinAcosBf

贝IJ有3siτh4cosB=Sin(B+C)=Sin(Tr—A)=sinA.

又4∈(0,7Γ),则Sih4>0,

则CYjHO.

•I

(2)因为B∈(O,τr),则siτιB>0,

j--------------/2⅜∕5

.'：∖IIt'I•-)———•

\3

因为∣Z7—而I=∖BA∖=c=2^

所以S=-acsinB=XaX2x-2企，得α=3.

223

由余弦定理”-α2r2tl(uw9>B!)I2X3×2×”,

.5

则b=3.

16.在①2gcosC+c=2b,(g)cos2-cosBcosC=(3)(sinB+sinC)2=sin2Λ+

3s讥Bsi?IC这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,g且_______.

(1)求角A的大小；

(2)若α=2,求AABC面积的最大值.

【答案】解：

(1)选①，由正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB,

所以2sinAcosC÷sinC=2sin(A+C)=2(sin∕lcosC+cosAsinC),

即SinC(2cosA-I)=0,又C∈(0,兀)，所以SinC>0,所以CoS24=|,

又A∈(O,ττ),从而得

选②，因为CoS2-cosBcosC=1+0°；2—C)—cosBcosC

=_I-COSBCoSC+sinBSinC_­l-cos(F+C)=_一3,

224

所以COS(B+C)=-

cosyl=-COS(B÷C)=ɪ,又因为A∈(0,7r),所以4=p

22

选③因为(SinB+sinC)=sini4+SsinBsinC9

所以siM3+sin2C+2sinBsinC=SinZyl+SsinBsinC,

BPsin2B+sin2C-sin2Λ=SinBSinC,

22

所以由正弦定理得匕2-i-c-a=be,

由余弦定理知CoSA="F=1,

2bc2

因为Ae(O,兀),所以A=O

(2)由⑴得4=或又α=2,

由余弦定理得ɑ2=∕j2+c2-2hccosA=b2+C2-be2bc—be=be,

所以be44,当且仅当b=c=2时取得等号，

.S,ΛH..Ij心in.4•:Xi-V3<所以△力BC面积的最大值为ʌ/ɪ.

17.设4",C分别为△ABC的内角A,B,C的对边，m=(COSm,sing),元=(cos∣--sin∣),

记与书的夹角为最

(I)求角C的大小；

(2)已知c=(△4BC的面积S=速，求α+b的值.

f

【答案】解：(1)由已知，得而-m/,s∏rχ

又∙.∙I沆I=同=1,

.—t.TT]

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