第七章点的合成运动

理论力学第七章点的合成运动第七章点的合成运动7.1点的合成运动的概念7.2速度合成定理7.3加速度合成定理前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。7.1点的合成运动的概念7.1点的合成运动的概念7.1点的合成运动的概念为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？任何事物都是相互联系着的。下面我们将研究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先来介绍有关的概念。7.1点的合成运动的概念二．动点：运动着的点（所研究的点）。一．参考系

1.定参考系：把固结于地面上的坐标系称为定参考系,简称定系。

2.动参考系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系,称为动参考系，简称动系。三．三种运动及三种速度与三种加速度。7.1点的合成运动的概念牵连点：在任意瞬时，动参考系中与动点相重合的点，也就是设想将该动点固结在动参考系上，而随着动参考系一起运动,该点叫牵连点。牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度与牵连加速度相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度与相对加速度绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度与绝对加速度点的运动刚体的运动１.绝对运动：动点相对于定系的运动。２.相对运动：动点相对于动系的运动。例如：人在行驶的汽车里走动。３.牵连运动：动系相对于定系的运动。例如：行驶的汽车相对于地面的运动。7.1点的合成运动的概念例：汽车沿直线行驶时，车轮上点的运动。动点：车轮上的点两参考系：Ａ：地面Ｂ：车三种运动：A:地面观察者——地面为参考。小车由左向右的行走——简单直线运动——牵连运动B:随小车一起运动的观察者——小车为参考。车轮上的点在竖制平面内作圆周运动——简单曲线运动——相对运动C:地面观察者——地面为参考。车轮上的点作曲线运动——复杂曲线运动（旋轮线）——绝对运动一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个参考系都有运动的点。动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。动点：动系：定系：四．动点的选择原则：五．动系的选择原则：AB杆上A点固结于凸轮Ｏ'上固结在地面上7.1点的合成运动的概念7.1绝对运动、相对运动和牵连运动点M的绝对运动方程为：点M的相对运动方程为：牵连运动方程为：经坐标变换为：7.1绝对运动、相对运动和牵连运动【例7-1】半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动，已知轮心C的速度为vc

，试求轮缘上点M的绝对运动方程和相对轮心的运动方程牵连运动方程？解：沿轮子滚动的方向建立定系Ｏxy，初始设M点位于Ｍ０点，在图示瞬时，点Ｍ和轮心的连线与CH的夹角为点M的相对运动方程为：7.1绝对运动、相对运动和牵连运动点M的相对运动轨迹方程为：牵连运动方程为：点M的绝对运动方程为：旋轮线动系坐标轴与定系坐标轴x的夹角[注]

要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上。动点：A(在AB杆上)动系：固结在偏心轮上定系：地面绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动

AB杆地面曲线（未知）圆周（红色虚线）平动若动点A在偏心轮上时7.1绝对运动、相对运动和牵连运动研究点的相对速度、牵连速度、绝对速度三者之间的关系定系：Ｏxyz，动系：，动点：Ｍ为牵连点7.2点的速度合成定理导数上加“～”表示相对导数。

动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和－－点的速度合成定理7.2绝对运动、相对运动和牵连运动7.2点的速度合成定理注意：

（1）三种速度共有六个要素、必须已知其中四个、才能求出剩余两个、只要正确画出上面三种速度的平行四边形，即可求出剩余的两个要素（2）动点和动系的选择是关键，一般不能将动系和动点选在同一参考体上（3）动系的运动是任意的运动当动系做平动时，为常矢量，对时间的导数均为零，当动系做定轴转动时，【例7-3】汽车以速度V1沿直线的道路行驶，雨滴以速度V2铅直落下，试求雨滴相对于汽车的速度？7.2点的速度合成定理解：（1）定系建立在地面上、动系建立在汽车上（2）雨滴为动点，其绝对速度为：

汽车的速度为牵连速度，即：所以做平行四边形，即可求得雨滴相对于汽车的速度：

解：7.2速度合成定理【例7-4】如图曲柄滑道机构，已知OA以匀角速绕O转动，OA=r=10cm,试求当曲柄OA与水平线的夹角时，T型杆的速度？选套筒A为动点，T型杆为动系，地面为定系。动点A的绝对运动为以O为圆心的圆周运动，绝对速度的大小为：由于Ｔ型杆受水平约束，则牵连运动为水平方向，7.2速度合成定理将已知条件带入得：7.2速度合成定理解：选小环为动点，曲柄为动系，小环M的绝对运动是在大环上的运动，相对运动是在曲柄上的直线运动，牵连运动为曲柄的定轴转动小环M的牵连速度为：OMvavevr【例7-5】曲柄OＡ以匀角速绕Ｏ转动，其上套有小环，而小环又在固定的大圆环上运动，大环的半径为Ｒ，如图所示：试求曲柄与水平线成角为时，小环Ｍ的绝对速度和相对曲柄OA的相对速度？7.2速度合成定理小环M的绝对速度为：小环M的相对速度为：【例7-6】已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求：在图示位置时，杆AB的速度。7.2速度合成定理1.动点：AB杆上A

动系：凸轮解：

牵连运动：定轴运动（轴O）

相对运动：圆周运动（半径R）

2.绝对运动：直线运动（AB）

3.大小方向√

√

√A的绝对速度为：（）[例2]曲柄摆杆机构已知：OA=r,

,OO1=l

图示瞬时OA

OO1

求：摆杆O1B角速度

1解：取OA杆上A点为动点，动系与摆杆O1B固结

，基座为定系。绝对速度

:va

=r

方向

OA相对速度:vr=?

方向//O1B牵连速度:ve=?

方向O1B由速度合成定理va=vr+

ve

作出速度平行四边形如图示。7.2速度合成定理（4）

根据速度合成定理，作出速度平行四边形。由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：（1）

选取动点，动系和定系。（2）三种运动的分析。（3）

三种速度的分析。（5）根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。7.2速度合成定理动点、动系和定系的选择原则（1）动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动。（2）动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。7.2速度合成定理

设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z'的曲线AB运动,而曲线AB同时又随同动系O‘x’y‘z’相对定系Oxyz平动。一、牵连运动为平动7.3加速度合成定理M为动点，M的相对速度为：动点M的相对加速度为：由于动系平动，故为常矢量，对时间导数为零，将速度合成定理对时间求导：即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。7.3加速度合成定理上式即为牵连运动为平动时点的加速度合成定理又因为：7.3加速度合成定理已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端A的滑块，可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速转动，。例7-7求：BC杆的速度及加速度。ADBECOφω7.3加速度合成定理解：1、动点：滑块A

动系：DE杆绝对运动：圆周运动（O点）相对运动：直线运动（ED）牵连运动：平移1）、动点A的绝对速度：杆BC的速度为：ADBECOφω2）、动点A的绝对加速度：杆BC的加速度为：ADBECOφωaearaa前面我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一例。二、牵连运动为定轴转动7.3加速度合成定理7.3加速度合成定理从而有不是一般性设动系相对于定系定轴转动，绕Z轴转，7.3加速度合成定理动点M的牵连加速度：动点M的相对加速度：由速度合成定理（7-16）把（7-16）式对时间求导：7.3加速度合成定理由于动系坐标原点的加速度：即：7.3加速度合成定理方向：按右手法则确定。7.3加速度合成定理已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。

求:摇杆O1B在如图所示位置时的角加速度。例7-97.3加速度合成定理1.动点：滑块A

动系：O1B杆绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动（沿O1B）牵连运动：定轴转动（绕O1轴）2.速度大小方向√

√

√解：7.3加速度合成定理3.加速度√√√√√大小方向沿

轴投影7.3加速度合成定理【例7-6】已知：如图所示