四川省成都市郫都区2024届高三上学期阶段检测（三）理科数学试卷

成都市郫都区高2021级阶段性检测（三）数学（理科）说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟．2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，那么（

）A．B．C．D． 2．已知为虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C．0 D．13．命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，4．已知为等比数列的前项和，，则（）A．12 B．24 C．48D．965．如图，将程序框图输出的y看成输入的x的函数，得到函数y＝f(x)，则y＝f(x)的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于直线x＝－1对称C．关于y轴对称D．关于点(0，0)对称6．若是抛物线上一点，是的焦点，为的准线，于，若，则的周长为（

）A． B． C．10 D．127．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nào）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的最长棱长为（）A．B．C．D．8．已知，则的值为（

）A．1 B． C．D．将函数个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（）A．B．C．D．11．若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（

）A．B．C．D．无法比较大12．已知，若存在实数（），当（）时，满足，则的取值范围为（

）A．B．C．D．第II卷（非选择题共90分）注意事项：必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．若实数满足约束条件，则的最大值为________．14．的展开式的常数项为________．15．在区间上随机取两个实数，则的概率是．16．将四个半径为的小球放入一个大球中，则这个大球表面积的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．17．（本小题满分12分）数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，某线下家电商场为提升人气和提高营业额也开通了在线直播，下表统计了该商场开通在线直播的第x天的线下顾客人数y（单位：百人）的数据：x12345y1012151820根据第1至第5天的数据分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求出该线性回归方程并估计该商场开通在线直播的第10天的线下顾客人数；为进一步提升该商场的人气，提高营业额，该商场进行了摸球中奖回馈客户活动，商场在出口处准备了三个编号分别为1,2,3的不透明箱子，每个箱子中装有除颜色外大小和形状均相同的24个小球（其中1号箱子中有18个红球，6个白球；2号箱子中有16个红球，8个黄球；3号箱子中有12个红球，12个蓝球）且含有自动搅拌均匀装置．规则如下：在该商场购物的顾客凭购物小票均有一次参加此活动的机会，从三个箱子里各摸出一个小球（摸完后再依次放回），若摸出的3个小球颜色相同便中奖．若小明和他的3个朋友购物后均参加了该活动，且每人是否中奖相互独立，记这4人中中奖的人数为X，求X的分布列与期望．（参考公式：回归方程，其中，）18．（本小题满分12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．（1）求；（2）若，，求．19．（本小题满分12分）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图（2）所示．（1）求证：；（2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分12分）设双曲线的左､右焦点分别为，且焦距为8，一条渐近线方程为．（1）求双曲线的方程；（2）已知是直线上一点，直线交双曲线于两点，其中在第一象限，为坐标原点，过点作直线的平行线，与直线交于点，与轴交于点，证明：点为线段的中点．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）若恒成立，求实数的值；（2）证明：．请考生在22、23题中任选一题作答，共10分，如果多作，则按所作的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑．22．（本小题满分10分）瑞士数学家雅各布·伯努利在1694年类比椭圆的定义，发现了双纽线．双纽线的图形如图所示，它的形状像个横着的“8”，也像是无穷符号“∞”．定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求双纽线的极坐标方程；（2）双纽线与极轴交于点P，点M为C上一点，求面积的最大值（用表示）．23．（本小题满分10分）已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，正数满足，证明：．郫都区高2021级第三次阶段性考试数学（理科）参考答案选择题CDBCDDCAADAD填空题414.15.16.解答题17.解：（1），，…………4分故预估该商场开通在线直播的第10天的线下顾客人数为33.2百人。…………5分（2），………………6分………………7分………………8分………………9分………………10分∴X的分布列为X01234P∴E(X)=1…………12分18.（1）由题意可知，,由，得，………………3分由正弦定理可知，，……………………4分由，得，即…………6分（或………………2分由正弦定理可知：，……………………4分因为，所以.)………………6分（2）由，可知角为锐角，所以，得，，………8分所以，………………9分由，又，得,…………………10分由正弦定理得，所以，……………11分由余弦定理，得……………………12分19.（1）证明：因为，且，可得，，又因为，可得，所以，则，…………………………2分因为平面平面，平面平面，且平面，…………4分所以平面，又因为平面，所以.………………5分（2）解：因为平面，且平面，所以，以点为原点，所在的直线分别为轴，过点作垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，…………7分所以，．设平面的法向量为，则，令，可得，所以．…………9分假设存在点，使得与平面所成角为，设，（其中），则，，所以，整理得，解得或（舍去），……………………11分综上所述，在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时．……………12分（1）因为焦距为8，所以.……………1分因为一条渐近线方程为，所以.…………2分因为，所以，…………3分所以双曲线的方程为.…………4分（2）由（1）知，的横坐标为，设直线的方程为，则.联立方程组，得.…………5分设，则.……………6分因为，所以直线的方程为.直线的方程为，联立方程组，得，…………………8分由两式相除，得，则，所以.…………10分因为，所以，故为线段的中点.………12分21.（1）因为，所以…………1分当时，因为，所以恒成立，则在上单调递增，且，所以恒大于等于零不成立；……………………2分当时，由得，，易知当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.则，若恒成立，则……………………3分令，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以所以当时，.…………………………4分综上，若恒成立，则.……………………5分（2）由（1）得,当时，恒成立，即，当且仅当时等号成立，…………6分令，则，，，所以，，，…………8分令，则恒成立，所以函数在上单调递增，故当时，，即．所以，，，…………10分所以.……………………12分22.解：（1）以坐标原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，如图，在双纽线C上任取一点，在中，，………………2分在中，，……………………3分依题意，，则，……………4分即，整理得：，所以双纽线的极坐标方程为．………………5分（2）令，得，则点到极轴所在直线的距离为，………7分则……………8分，………………9分当且仅当时取等号，…………………10分所以面积的最大值为．（1）当时，由得，此时，；………………………1分当时，由得，此时，；…………………2分当时，由，解得，此时