第三章 平衡方程及应用

TheoreticalMechanics主讲教师黄璟第一篇静力学第四章平面任意力系返回总目录§3-1平面任意力系的简化§3-2平面任意力系的平衡§3-3物体系统的平衡§3-4平面静定桁架第三章平面任意力系目录M+M力的平移定理3.1平面任意力系的简化M=r×F=MO(F)3.1平面任意力系的简化3.1.1力的平移定理力的平移定理：作用于刚体上的力可以从其作用点平行移至刚体内任一指定点，欲不改变该力对刚体的作用，则必须在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶（称为附加力偶），其力偶矩等于原力对指定点的矩。逆过程：

用力的平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。设刚体上作用一平面任意力系F1、F2、…、Fn。任选一点O称为力系的简化中心。依据力的平移定理，将力系中诸力向O点平移，得到作用于O点的一平面汇交力系F

1、F

2、…、F

n和一平面力偶系M1、M2、…、Mn

。3.1.2力系简化结果3.1平面任意力系的简化将平面汇交力系与平面力偶系合成，得到作用于简化中心O的力矢F'R与力偶矩MO

称为该力系的主矢MO称为该力系对简化中心O的主矩。

3.1.2力系简化结果3.1平面任意力系的简化结论平面任意力系向一点简化的结果为作用于该点的一个力和一个力偶。这个力是力系的主矢，等于力系中各力的矢量和，这个力偶是力系的主矩，等于各力对该点之矩的代数和。

主矢的大小、方向与简化中心无关。主矩的大小、方向与简化中心有关。

4.1.2力系简化结果3.1平面任意力系的简化1、主矢和主矩都等于零此时平面力系平衡。2、主矢等于零，主矩不等于零3、主矢不等于零，主矩等于零

此时平面力系简化为一力偶。其力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩，即且此时主矩与简化中心的位置无关。

此时平面力系简化为一合力，作用在简化中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即且此时主矩与简化中心的位置无关。3.1.3简化结果分析3.1平面任意力系的简化4、主矢和主矩均不等于零于是由主矩的定义知：所以：结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。即为平面任意力系的合力矩定理。4.1.3简化结果分析3.1平面任意力系的简化平面任意力系平衡充要条件：结论：平面力系各力在任意两正交轴上投影的代数和等于零，对任一点之矩的代数和等于零。力系的主矢和对任意点的主矩MO均等于零3.2.1平面任意力系平衡方程3.2平面任意力系的平衡即为平面任意力系平衡方程，亦称为一矩式平衡方程。二矩式的平衡方程条件：连线AB不垂直投影轴x

3.2.1平面任意力系平衡方程3.2平面任意力系的平衡三矩式的平衡方程条件：A、B、C是平面内不共线的任意三点3.2.1平面任意力系平衡方程3.2平面任意力系的平衡平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以，平面汇交力系平衡的充要条件

平面汇交力系平衡方程：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和等于零。

解析条件是：力系中各力矢构成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零。几何条件：FR=0或

F=0

4.2.2平面特殊力系平衡方程3.2平面任意力系的平衡平面平行力系平衡方程：充要条件是：力系中所有各力的代数和等于零，以及各力对于平面内任一点之矩的代数和等于零。二矩式成立的条件：A、B两点连线不与各力的作用线平行。3.2.2平面特殊力系平衡方程3.2平面任意力系的平衡平面力偶系平衡方程：平衡的充要条件：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。

m=0例4-1

试求图示两外伸梁的约束力FRA、FRB，其中FP=10kN，FP1=20kN，q=20kN/m，d=0.8m。解：1.选择研究对象以解除约束后的ABC梁为研究对象2.根据约束性质分析约束力

A处为固定铰链，约束力为铅垂方向与水平方向的分力FAy和FAx

；B处为辊轴支座，为铅垂方向的约束力，指向是未知的，可以假设为向上的FB

。3.应用平衡方程确定未知力FAyFBFAx例题3.2平面力系的平衡FB=21kN（↑）FA

y=15kN（↑）计算结果的校核FAyFBFAx例题3.2平面力系的平衡例4-2外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10kN/m，集中力F=20kN，力偶矩m=10kN

m，求A、B支座的约束力。解：以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程例题3.2平面力系的平衡例4-2外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10kN/m，集中力F=20kN，力偶矩m=10kN

m，求A、B支座的约束力。例题4.2平面力系的平衡解：以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程例4-3

起重机的自重（平衡重除外）G=400kN，平衡重W=250kN。当起重机由于超载即将向右翻倒时，左轮的反力等与零。因此，为了保证安全工作，必须使一侧轮（A或B）的向上反力不得小于50kN。求最大起吊量P为多少？解：画支座反力FNA与FNB。令FNA=50kN。列平衡方程：

P=200kN

如为空载，仍应处于平衡状态，故

例题3.2平面力系的平衡要注意的问题：根据题意选择研究对象。分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图。研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束的性质表示约束反力；正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位；例题3.2平面力系的平衡两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律。

用几何法求解时，按比例尺作出闭合的力多边形，未知力的大小可按同一比例尺在图上量出；用解析法求解时，应适当地选取坐标轴。为避免解联立方程，可选坐标轴与未知力垂直。根据计算结果的正负判定假设未知力的指向是否正确。例题4.2平面力系的平衡物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连接而成的系统。静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好等于它的独立的平衡方程的数目。超静定或静不定：未知量的数目多于独立的平衡方程的数目.

3.3物体系统的平衡独立的平衡方程数：

3未知力数：3独立的平衡方程数=未知力数独立的平衡方程数：

3未知力数：4未知力数>独立的平衡方程数静定问题超静定问题4.3物体系统的平衡独立的平衡方程数：

6未知力数：6独立的平衡方程数=未知力数独立的平衡方程数：

6未知力数：7未知力数>独立的平衡方程数静定问题超静定问题3.3物体系统的平衡求解过程中应注意以下几点

首先判断物体系统是否属于静定问题

恰当地选择研究对象在一般情况下，首先以系统的整体为研究对象，这样则不出现未知的内力，易于解出未知量。当不能求出未知量时应立即选取单个物体或部分物体的组合为研究对象，一般应先选受力简单而作用有已知力的物体为研究对象，求出部分未知量后，再研究其它物体。3.3物体系统的平衡受力分析①首先从二力构件入手，可使受力图比较简单，有利于解题。②解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约束力，切忌凭主观想象画力。对于一个销钉连接三个或三个以上物体时，要明确所选对象中是否包括该销钉？解除了哪些约束？然后正确画出相应的约束反力。③画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除二力构件外，通常用二分力表示铰链反力。④不画研究对象的内力。⑤两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律。3.3物体系统的平衡列平衡方程，求未知量①列出恰当的平衡方程，尽量避免在方程中出现不需要求的未知量。为此可恰当地运用力矩方程，适当选择两个未知力的交点为矩心，所选的坐标轴应与较多的未知力垂直。②判断清楚每个研究对象所受的力系及其独立方程的个数及物体系独立平衡方程的总数，避免列出不独立的平衡方程。③解题时应从未知力最少的方程入手，避免联立解。④校核。求出全部所需的未知量后，可再列一个不重复的平衡方程，将计算结果代入，若满足方程，则计算无误。3.3物体系统的平衡例题例4-4图中AD＝DB＝2m，CD＝DE＝1.5m，Q＝120kN，不计杆和滑轮的重量。试求支座A和B的约束力和BC杆的内力。解：解除约束，画整体受力图列平衡方程3.3物体系统的平衡可用，验算FAy如下：例题3.3物体系统的平衡为求BC杆内力F，取CDE杆连滑轮为研究对象，画受力图。列方程：F=–150kN，说明BC杆受压力。例题3.3物体系统的平衡求BC杆的内力，也可以取ADB杆为研究对象，画受力图。例题4.3物体系统的平衡例4-5

某厂房用三铰刚架，由于地形限制，铰A及B位于不同高度，。刚架上的载荷已简化为两个集中力F1及F2。试求C处的约束力。分别取AC及BC两部分为研究对象，画受力图。解：本题是静定问题，但如以整个刚架作为考察对象，不论怎样选取投影轴和矩心，每一平衡方程中至少包含两个未数，而且不可能联立求解。例题3.3物体系统的平衡取AC为研究对象，画受力图。取BC为研究对象，画受力图。联立求解以上两式，可得例题3.3物体系统的平衡例4-6

结构上作用载荷分布如图，q1＝3kN/m，q2＝0.5kN/m，力偶矩M＝2kN

m，试求固定端A与支座B的约束反力和铰链C的内力。解：先研究BC部分，画受力图。简化成合力Fq＝q2×2。列方程如下：例题3.3物体系统的平衡再取AC部分画受力图，列方程：例题3.3物体系统的平衡例4-7

三无重杆AC、BD、CD如图铰接，B处为光滑接触，ABCD为正方形，在CD杆距C三分之一处作用一垂直力，求铰链E处的反力。解：先以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解得：例题3.3物体系统的平衡下面用不同的方法求解。解1：先以DC为研究对象，受力如图。再以BDC为研究对象，受力如图，建立如图坐标。

类似地，亦可以DC和ACD为研究对象，进行求解。例题3.3物体系统的平衡解2：分别以ACD和AC为研究对象，受力如图。联立求解以上两方程即得同样结果。

类似地，亦可以BDC和BD为研究对象，进行求解。例题3.3物体系统的平衡解3：分别以BD和AC为研究对象，受力如图。用、表示的约束反力和用、表示的约束反力本质上是同一个力。例题3.3物体系统的平衡思考：图示结构，在水平杆AB上作用一铅垂向下的力，试证明AC杆所受的力与的作用位置无关。例题3.3物体系统的平衡例4-8：三根等长同重均质杆（重W）如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形。已知：E、F是AB、BC中点，AB水平，求绳EF的张力。解1：先以AB为研究对象，受力如图。设杆长为。再以整体为研究对象，受力如图。——