数学人教A版必修2学案2-3-2平面与平面垂直的判定

2.3.2平面与平面垂直的判定[目标]1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小；2.理解两平面垂直的定义；3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题．[重点]两个平面垂直的判定定理及应用．[难点]二面角、二面角平面角定义的理解；求二面角．知识点一二面角及其平面角[填一填]1．二面角2.二面角的平面角(1)满足条件：如图，二面角α­l­β的平面角为∠AOB，则平面角∠AOB应满足的条件为：①O∈l；②OA⊥l；③OB⊥l.(2)直二面角：若二面角α­l­β的平面角∠AOB＝90°，则该二面角叫做直二面角．(3)表示方法：图中二面角可记为二面角α­l­β或P­l­Q.[答一答]1．二面角是一个角吗？其平面角是否只有一个？提示：不是，二面角是从一条直线出发的两个半平面构成的空间图形．不是，其平面角有无数个．知识点二平面与平面垂直[填一填]1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．如果平面α与平面β垂直，记作α⊥β.2．画法：两个互相垂直的平面，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如下图(1)(2)所示．3．判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号语言：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β.图形语言：如图所示．[答一答]2．面面垂直的判定定理的条件有几个，减少一个条件定理是否还成立？提示：判定定理有两个条件，若去掉一个条件，则定理不一定成立．3．当开启房门时，为什么房门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？提示：因为房门无论转到什么位置，都始终经过与地面垂直的门轴，根据两个平面垂直的判定定理知，门所在平面都与地面垂直．4．过一点有多少个平面与已知平面垂直？为什么？提示：过一点有无数个平面与已知平面垂直，虽然过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，但是经过这条垂线的所有平面都和已知平面垂直．类型一二面角的概念及求法[例1]如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A­PD­C平面角的度数；(2)求二面角B­PA­D平面角的度数；(3)求二面角B­PA­C平面角的度数．[分析](1)证明平面PAD⊥平面PCD；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小．[解](1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A­PD­C平面角的度数为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B­PA­D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，∴二面角B­PA­D平面角的度数为90°.(3)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B­PA­C平面角的度数为45°.清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”.[变式训练1]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是BD的中点，二面角C1­AB­C的平面角是∠C1BC；二面角C1­BD­C的平面角是∠C1OC，其正切值为eq\r(2).类型二平面与平面垂直的判定[例2]如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.[证明]由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.判定两平面垂直的常用方法：1定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角；2判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；3性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.[变式训练2]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a.求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD.证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，∴PC2＝PD2＋DC2，则PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.又AD∩DC＝D，且AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，且PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.类型三线面垂直、面面垂直的综合应用[例3]如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F­AEC[解](1)证明：因为三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.因此AE⊥平面B1BCC1.而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1(2)如图，设AB的中点为D，连接A1D，CD.因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.又三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3).在Rt△AA1D中，AA1＝eq\r(A1D2－AD2)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，所以FC＝eq\f(1,2)AA1＝eq\f(\r(2),2).故三棱锥F­AEC的体积V＝eq\f(1,3)S△AEC×FC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),12).本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直.[变式训练3]如图，在三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．(1)求证：DE∥平面PAC；(2)求证：AB⊥PB；(3)若PC＝BC，求二面角P­AB­C的大小．解：(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC，所以DE∥平面PAC.(2)证明：因为PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，所以PC⊥AB.又因为AB⊥BC，PC∩BC＝C，所以AB⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，所以AB⊥PB.(3)由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC，所以∠PBC即为二面角P­AB­C的平面角，因为PC＝BC，∠PCB＝90°，所以∠PBC＝45°，所以二面角P­AB­C的大小为45°.1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α­l­β的平面角，则必须具有条件(D)A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(C)A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为(C)A．60°B．30°C．45°D．15°解析：易得BC⊥平面PAC，所以∠PCA是二面角P­BC­A的平面角，在Rt△PAC中，PA＝AC，所以∠PCA＝45°.故选C.4．在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图所示，则在三棱锥P­ABC的四个面中，互相垂直的平面有3对．解析：因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC，因为PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，所以平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：平面PAB⊥平面PAC.5．如图，在四面体A­BCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD.证明：如图，取BD的中点E，连接AE，CE.由AB＝AD＝CB＝CD，知AE⊥BD，CE⊥BD，所以∠AEC为二面角A­BD­C的平面角．在△ABE中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，所以AE2＝AB2－BE2＝eq\f(1,2)a2，同理CE2＝eq\f(1,2)a2，所以AE2＋CE2＝a2＝AC2，所以AE⊥CE，即∠AEC＝90°.所以平面ABD⊥平面BCD.——本课须掌握的三大问题1．证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的