6.2.4向量的数量积5题型分类

6.2.4向量的数量积5题型分类一、两向量的夹角与垂直1．夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．2．垂直：如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.二、向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.三、投影向量在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.四、平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.五、平面向量数量积的运算律1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).（一）求两向量的数量积求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.题型1：求两向量的数量积11．（2023下·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是边长为的等边三角形，则．【答案】【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】.故答案为：12．（2023下·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则.【答案】【分析】计算，，计算得到答案.【详解】由题意得，所以.故答案为：13．（2023·高一课时练习）已知，，且向量与的夹角为120°，则.【答案】268【分析】根据平面向量的数量积运算求解即可.【详解】.故答案为：14．（2023上·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.【详解】`由，且与的夹角为，所以.故选：B.15．（2023下·上海·高一期末）已知向量满足，，则的取值范围是．【答案】【分析】由数量积公式结合得出，再由结合二次函数的性质得出所求范围.【详解】可得可变形为由可知，，解得故答案为：【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由得出，从而由二次函数的性质得出范围.16．（2023下·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第三中学校考期中）在中，，，，是边上一点，，设，．（1）试用，表示；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可得结果；（2）将和分别用，表示，再结合向量数量积的运算律即可得结果.【详解】（1）∵是边上一点，，∴，又∵，，，∴．（2）∵，，，∴，.17．（2023上·江苏南京·高三南京师大附中校联考阶段练习）若非零向量与满足：，且，，则的最大值为．【答案】/0.5【分析】由，两边同时平方，利用数据和不等式的性质求解.【详解】由已知有，∴，得，∴，当且仅当时取等号.即的最大值为.故答案为：（二）向量的模和夹角的计算问题1、(1)向量的模：利用a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)来求解.(2)向量的夹角：利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.2、(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝eq\r(a2)，勿忘记开方.(2)求向量的夹角，主要是利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.题型2：向量的模21．（2023上·江苏徐州·高三期末）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量的求模方法求模即可.【详解】；故选：A.22．（2023·高一课时练习）已知向量、满足，，，求.【答案】【分析】根据平面向量数量积运算律计算可得.【详解】因为，，所以，故答案为：23．（2023下·吉林延边·高一延边二中阶段练习）设向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知得，展开求得，结合夹角公式即可求解；（2）由化简即可求解．【详解】（1）设与的夹角为θ由已知得，即，因此，得，于是，故θ=，即与的夹角为；（2）由．24．（2023下·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）已知非零向量满足，且，则．【答案】【分析】先求得，从而求得.【详解】由两边平方得，，.所以.故答案为：25．（2023下·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）设向量、满足，则．【答案】2【分析】由向量的模运算，结合向量的数量积运算律计算即可.【详解】，故.故答案为：2题型3：向量的夹角31．（2023·高二课时练习）已知，满足，，，求与的夹角的余弦值.【答案】.【分析】求出，再代入向量夹角的公式即得解.【详解】由已知，，，得，即，所以.所以，即，故.33．（2023·全国·高一专题练习）已知非零向量满足，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，由可得，利用平面向量数量积的定义求解夹角即可.【详解】解：因为，所以，所以，由得，所以，设向量与的夹角为，则，又，所以．故选：B.33．（2023·高一课时练习）设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角.【答案】【分析】根据题意分别求出以及，进而根据平面向量的夹角公式即可求出结果.【详解】∵且与的夹角是，∴，，设与的夹角为θ，则又，∴，故与的夹角为.34．（2023下·上海浦东新·高一校考期末）已知向量､的夹角为，且，设，.(1)求；(2)试用来表示的值；(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用向量数量积运算求得正确答案.（2）利用向量数量积运算求得正确答案.（3）根据与的夹角为钝角列不等式，由此求得的取值范围.【详解】（1）.（2）.（3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行.其中，而，于是实数的取值范围是.（三）与垂直有关的向量问题解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量).题型4：与垂直有关的向量问题41．（2023·高一课时练习）已知，，若，，则．【答案】【分析】化简即得解.【详解】因为，所以即，所以.故答案为：.42．（2023下·天津和平·高一统考期末）已知，，向量与的夹角为．（1）求；（2）若与垂直，求实数的值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据题意，结合，即可求解；(2)根据题意，可知，结合已知条件计算即可.【详解】(1)由题意得，.(2)由与垂直，得，即，解得.43．（2023·全国·高三专题练习）若，，试求，夹角的余弦值．【答案】【分析】直接利用，，得到，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】∵，∴．①∵，∴，②由①②得：，故，③把③代入①得，从而，即．44．（2023下·北京·高一景山学校校考期中）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】利用平面向量数量积的运算性质结合平面向量垂直的等价条件判断可得出结论.【详解】因为、为非零向量，且，，因此，“”是“”的充要条件.故选：C.（四）投影向量(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．(2)向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).(3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cosθeq\f(a,|a|).题型5：向量的投影51．（2023下·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知平面向量满足，则的最大值是.【答案】【分析】计算得到，平方化简得到，，计算得到最值.【详解】由，得，所以，当和共线时等号成立，所以，即，所以，又，当时取等号.所以的最大值是.故答案为：52．（2023·高一课时练习）（1）在中，，，，求，，的值.（2）已知，两个向量，，，，求在方向上的投影与数量投影．【答案】（1），，；（2）.【分析】(1)根据勾股定理的逆定理可得，进而，结合平面向量的数量积计算即可；(2)根据平面向量投影的概念计算即可.【详解】因为，，，所以，即所以.如图所示：所以.，.（2）由题意得，，所以；则在方向上的投影：在方向上的数量投影：．53．（2023下·广东广州·高一广州市天河中学校考期中）已知，若向量在向量上的投影向量为，则.【答案】2【分析】根据向量的数量积以及投影向量的定义即可求解.【详解】设，的夹角为，则，因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以.故答案为：2.54．（2023上·甘肃临夏·高三统考期中）已知，则向量在向量方向上的投影向量的长度为（

）A．－4 B．4C．－2 D．2【答案】B【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】依题意，向量在向量方向上的投影向量的长度为.故选：B55．（2023下·湖南衡阳·高一统考期末）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】利用在的方向上的投影即可求得在的方向上的投影向量的模长【详解】，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为故选：C56．（2023下·河北邯郸·高一统考期末）已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可得.【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量，所以，且，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B一、单选题1．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（

）A．与的夹角是锐角B．与的夹角是锐角C．与的夹角是钝角D．与的夹角是锐角【答案】B【分析】利用向量夹角的定义逐一判断即可.【详解】为锐角三角形，A，与的夹角是钝角，A错误；B，与的夹角是锐角，B正确；C，与的夹角是锐角，C错误；D，与的夹角是钝角，D错误.故选：B2．（2023上·贵州黔南·高二校考开学考试）若,|,的夹角为,则等于(

).A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为，的夹角为，所以.故选:B.3．（2023下·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】利用投影向量的公式即可求解.【详解】，在的方向上的投影向量为：，所以在的方向上的投影向量的模长为，故选：C.4．（2023下·山东·高一阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．向量满足B．若向量满足，则C．若向量，则D．对任意两向量，则与是相反向量【答案】D【分析】根据向量数量积的定义，运算公式，以及平行向量的定义，即可判断选项.【详解】A.因为当两向量的夹角为时，，而，所以不正确，故A错误；B.若，则，所以或，故B错误；C.，若，则与不一定平行，故C错误；D.根据相反向量的定义可知的相反向量是，故D正确.故选：D5．（2023下·高一课时练习）若，，，的夹角为135°，则（

）A． B． C． D．12【答案】B【分析】利用平面向量数量积的定义求解.【详解】因为，，且，的夹角为135°，所以，故选：B6．（2023下·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期末）已知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件判断出三角形的形状，从而计算出在上的投影向量.【详解】依题意三角形的外接圆圆心为，，即，所以是的中点，即是圆的直径，且，又，，所以，所以，∴，所以在上的投影向量为.故选：A.7．（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据，求出与的夹角，再根据向量在向量上的投影向量的定义即可求解.【详解】由题意可知，，又，，代入可得，，则，其中为与的夹角.解得.则向量在向量上的投影向量为.故选：A8．（2023下·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）已知是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用数量积的定义直接求解.【详解】因为是等边三角形，所以.所以是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，所以.所以.故选：B9．（2023下·山东济宁·高一统考期中）已知向量，且，则向量在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，根据向量投影的定义求投影向量即可.【详解】由题设，，则向量在上的投影向量.故选：D10．（2023下·北京东城·高一统考期末）已知，均为单位向量，，则与的夹角为（

）A．30° B．45° C．135° D．150°【答案】A【分析】根据，求得，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】因为，所以．设与的夹角为θ，则又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°．故选：A.11．（2023下·天津西青·高一天津市第九十五中学益中学校校考阶段练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（

）A．12 B．8 C．8 D．2【答案】A【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.【详解】在方向上投影向量为，，.故选：A12．（2023·浙江杭州·统考一模）已知向量，对任意的，恒有，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据数量积的运算律求得，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】由可得，又，令则上式等价于，对任意的恒成立，故，解得，解得，即；对A：由，故不成立，A错误；对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；对C：，故，C正确；对D：，不确定其结果，故不一定成立，D错误.故选：C.13．（2023下·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）若与都是非零向量，则“”是“”的（

）A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】C【分析】根据向量数量积运算及向量垂直的充要条件，可得答案.【详解】解：因为与都是非零向量，所以，故“”是“”的充要条件.故选：C.14．（2023上·山东烟台·高三统考期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量的数量积的模长公式与夹角公式求解即可【详解】因为，，所以，所以，故选：A15．（2023下·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知向量，满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量，满足，求得且，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】因为向量，满足，由，可得，即，即又由，可得，即，解得，即，又因为，因为，所以，即与的夹角为.故选：B.16．（2023下·高一课时练习）已知,,是与同向的单位向量,则向量在向量上的投影向量是A． B． C． D．【答案】A【解析】根据投影的公式以及单位向量的概念求解即可.【详解】设,向量的夹角为,则因为,又,故,即向量在向量上的投影为.又因为是与同向的单位向量.故选：A【点睛】本题主要考查了投影的公式以及单位向量的理解等.属于基础题型.17．（2023下·河北张家口·高二阶段练习）已知非零向量满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．18．（2023·浙江杭州·高三假期作业）在中，“”是“是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由得，充分性成立，是钝角三角形，钝角不一定是角，必要性不成立，即可得答案.【详解】解：设与的夹角为，因为，即，所以，，又为内角的补角，所以，是钝角三角形；当为钝角三角形时，不一定是钝角．所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，考查向量数量积的概念，是基础题.19．（2023下·山东淄博·高一统考期末）已知，．若，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】由得，又，代入数值计算即可.【详解】因为，所以，所以，又.故选：A.20．（2023·广东·统考一模）已知，，，则（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】由数量积的运算性质计算即可得解.【详解】因为，，，所以，故选：B21．（2023上·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据垂直向量的数量积为0及数量积的运算化简即可得解.【详解】由题意，又向量与的夹角为且为单位向量，∴，解得.故选：D22．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，得恒成立，从而可得，再结合，即可求解【详解】因为，所以，所以恒成立，所以恒成立，所以，所以，所以，所以的最大值为，故选：A23．（2023·湖北·高一校联考期末）已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】对两边平方后，结合进行化简可得：；由基本不等式可得，于是推出，再结合平面向量数量积即可得解．【详解】因为，所以，所以，即，由基本不等式的性质可知，，，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．24．（2023下·浙江绍兴·高一统考期末）已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（

）A． B． C．－ D．－【答案】C【分析】根据题意写出的表达式，结合二次函数知识求得，根据投影向量的定义即可求得答案.【详解】由题意得，,，当时，有最小值，即，则在上的投影向量为，故选：C25．（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）平面上不共线的向量，，，其夹角两两相等，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得向量，，间的夹角均为，不妨设，可得、，根据向量夹角的求法，代入数据，即可得答案.【详解】因为平面上不共线的向量，，，其夹角两两相等，所以向量，，间的夹角均为，不妨设所以，，所以，因为，所以，即与的夹角为.故选：A26．（2023·浙江·高一校联考期中）已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由知，为直角三角形；根据在上的投影向量为计算.【详解】设的中点为，则，所以，所以外心与中点重合，故为直角三角形.设，则，，，设为方向上的单位向量，则在上的投影向量为.故选：C.27．（2023下·广西桂林·高一统考期末）已知单位向量的夹角为，向量，则的夹角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，求出的模及数量积，再利用向量夹角公式计算作答.【详解】由单位向量的夹角为，得，，，，于是得，而，即，所以的夹角等于.故选：C28．（2023·高二课时练习）设，，是三个向量，以下四个选项正确的是（

）A．B．若，，则C．若，且，则D．若，，，则【答案】A【分析】根据向量的数量积的定义、性质分析选项即可求解.【详解】由向量的数量积定义知数量积满足交换律，故A正确；若，，则或，故B不正确；由，不能推出，故C不正确；因为是一个实数，故表示一个与共线的向量；同理，表示一个与共线的向量，故两个向量不一定相等，故D不正确.故选：A29．（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解.【详解】解：因为在方向上的投影向量为，所以，所以，因为与垂直，所以，即，解得.故选：B.30．（2023·广西梧州·统考一模）已知向量，满足，，，则（

）A．3 B． C． D．4【答案】D【分析】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】∵向量满足，，，，，，，故选：D31．（2023下·陕西渭南·高一统考期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量夹角为锐角可知且不同向，由此可构造不等式组求得结果.【详解】的夹角为锐角，且不同向，，解得：且，实数的取值范围为.故选：B.32．（2023下·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据投影向量的定义结合题意可得，即得，再利用数量积的定义即可求得答案.【详解】由题意可知向量在向量上的投影向量为，则，即，而，故，故选：D33．（2023下·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考期中）如图所示，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，则||＝（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知条件把转化为与，然后利用向量模的运算法则，化简求解即可．【详解】∵，∴.故选：C．二、多选题34．（2023下·重庆铜梁·高一统考期末）如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（

）A． B． C．3 D．【答案】BC【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、圆的性质进行求解即可.【详解】由题意：因为正六边形的边长为2，所以圆心到各边的距离为：，所以，所以，故选：BC．35．（2023下·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）中，点M是边的中点，，则一定不是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ABC【分析】根据向量的加法、减法运算及数量积的运算求解即可.【详解】因为点M是边的中点，所以,故由可得,所以,即,故选：ABC36．（2023下·湖北武汉·高一统考期末）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（

）A． B．不与垂直C． D．【答案】ACD【分析】由平面向量数量积的结合律可判断A;由平面向量垂直的条件、数量积的交换律可判断B；由三角形的两边之差小于第三遍可判断C;由平面向量的运算法则将式子展开即可判断D.【详解】对于A，由平面向量数量积的结合律，可知A正确；对于B，，所以与垂直，故B错误；对于C，因为不共线，所以组成三角形的三边，所以，故C正确；对于D，，故D正确.故选:ACD.37．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）设，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是（

）A．B．C．不与垂直D．【答案】BD【分析】由向量数量积的定义以及数乘向量的定义可判断A；由向量的运算法则以及模的性质可判断B；利用向量垂直的充要条件可判断C；由向量数量积的运算可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：由于，，是不共线的向量，因此与共线，与共线，与不一定相等，故选项A错误；对于B：由于，不共线，故，，构成三角形，由三角形两边之差小于第三边可知，故选项B正确；对于C：由于，所以与垂直，故选项C不正确；对于D：根据向量数量积的运算可以得，故选项D正确，故选：BD.38．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知非零向量，，下列说法中正确的是（

）A．若，则与共线且反向B．若，则C．若，则与的夹角为D．若，则的最大值为【答案】ABD【分析】由等号成立的条件，可判断A；将两边平方可得，可判断B；如图构造以线段，为邻边的菱形，分析菱形的结构可判断C；将两边平方可得，可判断D【详解】对于：对非零向量，，由，当且仅当与共线且反向时取等号，可知正确；对于：∵，∴，化简得，故正确；对于：如图所示，，，且，以线段，为邻边作菱形，则，，又因为，即，所以，，所以与的夹角为，故C错误；对于：∵，∴，解得或（舍），所以，当时，取得最大值，故正确故选：ABD三、填空题39．（2023上·广西·高三校联考阶段练习）已知，，，则与的夹角是.【答案】【分析】根据平面向量的模和数量积计算，即可直接得出结果.【详解】，因为，所以，与的夹角是.故答案为：.40．（2023下·江苏·高一专题练习）已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为．【答案】【分析】根据则在方向上的投影向量的定义可得【详解】在方向上的投影向量为，故答案为：.41．（2023下·高一课时练习）若向量在向量方向上的数量投影为，且，则.【答案】【分析】根据平面向量数量积的几何意义计算可得；【详解】解：因为向量在向量方向上的数量投影为，设向量与向量的夹角为，则，又，所以故答案为：42．（2023上·新疆喀什·高一莎车县第一中学校考阶段练习）若，且和的夹角为，则【答案】【分析】根据题意和平面向量数量积的定义计算即可求解.【详解】因为，的夹角为，所以.故答案为：.43．（2023下·甘肃兰州·高一校考期中）已知向量和向量的夹角为30°，，，则．【答案】3【分析】条件中给出两个向量的模和向量的夹角，直接代入公式进行计算即可．【详解】解：量和向量的夹角为，，，又，.故答案为：3．44．（2023下·高一课时练习）在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为．【答案】【分析】根据向量的夹角的定义求解．【详解】如图，中，，所以，而，，，所以，是的中点，则，，所以与的夹角等于．故答案为：．45．（2023下·安徽黄山·高一统考期末）已知向量，，满足，，，，，则.【答案】6【分析】由，得，两边平方化简可得答案【详解】由，得，两边平方，得，因为，所以，得.故答案为：.46．（2023下·山西·高一统考阶段练习）已知平面向量，，满足，，则的最大值是.【答案】20【分析】根据数量积的定义式，结合两向量与的夹角、模的变化求解．【详解】解：设，，让保持不动，易知：当都与反向时，，都最大，且最大值分别为5，4，且，此时也最大为1，所以（当且仅当都与反向时取等号）．故答案为：20．47．（2023下·黑龙江绥化·高一校考期末）已知满足，则的形状一定是．【答案】直角三角形.【分析】利用向量加法、减法和数量积的运算化简已知条件，得到，由此判断三角形是直角三角形.【详解】由，得，所以，所以，所以，，即，是直角三角形，故答案为：直角三角形.48．（2023下·甘肃兰州·高一兰州五十一中校考期末）已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则.【答案】11【分析】根据数量积公式，可得的值，由题意得，展开计算，即可得答案.【详解】因为平面向量，的夹角为，且，所以，因为，所以，所以，解得，故答案为：11.49．（2023上·江苏苏州·高三校联考阶段练习）在菱形中，，，，则.【答案】【分析】利用向量加减法的几何意义可得、，再应用向量数量积的运算律及已知条件求即可.【详解】由题意，.故答案为：50．（2023下·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）在边长为2的等边三角形中，，，则．【答案】/【分析】把均用基底表示，再利用数量积运算求解【详解】因为，所以为的中点即，∵，∴，∴.故答案为：51．（2023上·北京昌平·高一统考期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则.【答案】【分析】由图