第六章 信号与系统1

对于电系统，建立其微分方程的基本依据是：KCL：

i(t)＝0KVL：

u(t)＝0VCR：uR(t)=Ri(t)系统的微分方程

6.1.1系统的微分方程及其响应第六章信号与系统6.1连续时间系统的时域分析对图1(a)，有

图6.1即

对图1(b)，有

即

一般形式：

对图2的二阶系统，则有

图6.2求齐次解和特解求齐次解写出系统的特征方程，并用roots函数求解p=[1,7,16,12];a=roots(p)用lsim函数求特解如果已知，求两种情况下特解a=[1,2,3];b=[1,1];sys=tf(b,a);t=[0:0.1:10]';e1=t.^2;r1=lsim(sys,e1,t);plot(t,r1)figure(2);e2=exp(t);r2=lsim(sys,e2,t);plot(t,r2)零输入响应（储能响应）：6.1.2零输入响应与零状态响应从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入响应（ZIR）。

零状态响应（受激响应）：当系统的储能状态为零时，由外加激励信号（输入）产生的响应称为零状态响应（ZSR）

。

其中，λ(t)，e，r(t)分别表示状态矢量、激励矢量和输出矢量。一元高阶微分方程，可以化成两个一阶微分方程组，其中一个是状态方程，描述系统状态在激励信号作用下的变化；另一个是输出方程，描述输出信号和系统状态及激励信号的关系。一阶系统的零状态响应对于一阶系统方程

x(t)：强迫函数（与输入信号有关）特征方程的根：则零状态响应：

完全响应：响应的分类方法：按响应的不同起因：分为储能响应和受激响应；自由响应：取决于系统性质，即特征根；强迫响应：取决于输入信号的形式；瞬态响应：当t无限增长，响应最终趋于零；稳态响应：响应恒定或为某个稳态函数。单位阶跃信号6.1.3阶跃响应与冲激响应时延t0发生跃变的阶跃函数表示为

(t–t0)=1(t>t0)0(t<t0)图6.31(t>0)0(t<0)(t)=阶跃响应LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为s(t)。图6.4对于一阶系统方程

则阶跃响应：

阶跃响应的测量图6.5冲激响应储能状态为零的系统，在单位冲激信号作用下产生的零状态响应称为冲激响应，记为h(t)。

对于一阶系统

则冲激响应：

例求图6示系统冲激响应h(t)=uC(t)

解

所以

图6.6阶跃响应与冲激响应的关系由系统的微、积分特性，则MATLAB提供了lsim函数可仿真出冲激响应和阶跃响应，由于其重要性，又专门提供了impulse(sys)和step(sys)两个函数直接产生LTI系统的冲激响应和阶跃响应。例如，求电路的电流i(t)对激励e(t)=δ(t)和e(t)=u(t)的冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)。3-7卷积的概念6.2卷积及其应用冲激分解：

一阶系统中，因特征函数，故例求解设

1=1，

2=3，则性质：交换律：f1(t)

f2(t)=f2(t)

f1(t)结合律：

f1(t)

[f2(t)

f3(t)]=[f1(t)

f2(t)]

f3(t)

分配律：[f1(t)+f2(t)]

f3(t)=f1(t)

f3(t)+

f2(t)

f3(t)微分特性：

若y(t)=f1(t)

f2(t)则y

(t)=f1(t)

f

2(t)=f

1(t)

f2(t)应用：

f(t)

(t)=f(t)积分特性：应用：

f(t)

(t)=f(t)

(1)

(t)若y(t)=f1(t)

f2(t)则即信号f(t)与阶跃信号卷积，就等于信号f(t)的积分。

例利用微、积分特性计算卷积图6.7卷积的延时特性：图6.8例信号与冲激函数的卷积图6.9系统的卷积分析法零状态响应=输入信号冲激响应

y(t)=f(t)

h(t)过程：LTI

(t)h(t)（定义）

(t

)h(t

)（时不变性）

f(t)

(t)f(t)

h(t)

f(t)y(t)f(

)

(t

)f(

)h(t

)（齐次性）

（可加性）图6.10求零状态响应的图示图解机理：图形扫描法图6.11

1.t换为

2.h(

)

换为h(

)3.h(

)平移4.相乘积分图6.120

t2时，t2时，例图6.13t<1时，f(t)=01

t<2时，2

t<3时，图6.143

t<4时，t4时，图6.15定义了conv1实现连续时间卷积function[w,tw]=conv1(u,tu,v,tv)%输入参数%u和v表示两个序列，tu和tv分别表示它们的抽样时间%返回值%w和tw分别表示卷积结果及其抽样时s间T=tu(2)-tu(1);w=T*conv(u,v);tw=tu(1)+tv(1)+T*[0:length(u)+length(v)-2]';已知某系统冲激响应为h(t)=t/2,0<t<2。以-0.5s开始，宽度为1.5s，幅度为1的矩形脉冲e(t)激励该系统，求输出信号r(t)。t=[-1:0.01:4]';e=(t>-1/2&t<1);h=(t>0&t<2).*t/2;[r1,t1]=conv1(e,t,h,t);tr=t1(t1>=-1&t1<=4);r=r1(t1>=-1&t1<=4);ex_3_8_plot();

1：基波角频率a0：直流分量，an：余弦幅度，bn：正弦幅度，An：谐波幅度，周期信号分解为三角级数6.3

傅立叶变换图6.16锯齿波的三角级数合成例如图所示的周期矩形波，试求其傅里叶级数。

解由于这里f(t)是奇函数，故有

所以f(t)的傅里叶级数为

图6.17周期矩形波的分解与合成：

图6.18周期三角波的分解与合成：图6.19例，绘制矩形脉冲的波形和频谱，并恢复时域信号，和原始信号进行比较。4.2绘制周期T1=1，幅度E=1的对称方波的前10项傅立叶级数的系数，并用前5项恢复原始信号。4.3则系统函数定义为系统函数（信号传输的纽带与桥梁）系统的频域分析傅氏变换对：H(

)即系统的频率特性。时、频分析对应关系：↕↕↕h(t)H(

)f(t)y(t)=f(t)

h(t)F(

)Y(

)=F(

)H(

)例设系统函数，输入f(t)=2

(t)时，求输出y(t)。

解由卷积定理，因F(ω)=2

故

所以

不失真传输条件时域条件：频域条件：系统函数：即：图6.20无失真传输系统变换思想：拉普拉斯变换6.4拉斯变换、s域分析图6.21F(s)：为s的函数，称为象函数。s=

+j

，复频率。变换对：f(t)F(s)电压：u(t)U(s)电流：i(t)I(s)信号f(t)的单边拉氏变换定义：

常用信号的拉氏变换指数信号：故

同理

有

图6.22收敛域的示意冲激信号：单位阶跃信号：正弦信号：斜坡信号：余弦信号：线性性质拉氏变换的性质例则延时特性表明：信号延时t0出现时，其拉氏变换是原象函数乘以与t0有关的指数因子。因故图6.23

观察下图例子：注意各函数的区别！例如微分特性

表明：函数f(t)求导后的拉氏变换是原函数的象函数乘以复量s，再减去原函数f(t)在0

时的值。推广：积分特性表明：一个函数积分后的信号拉氏变换等于原函数的象函数除以复量s。如则表明：两信号卷积的象函数等于相应两个象函数的乘积。应用于系统分析：（S域系统函数）卷积定理或者由于故从积分定理得所以阶跃响应为名称时间域复频域拉氏变换的性质：展开定理（部分分式展开法）：拉氏反变换对线性系统而言，象函数（有理真分式）可以分解为许多简单分式之和的形式。式中1.D(s)=0的根均为单实根(i=1，2，

n)则例设，求f(t)。解

其中所以则例：求下列函数的拉氏逆变换5.2例：求下列函数的拉氏逆变换5.32.D(s)=0有共轭复根利用上法，得系数设则例设，求f(t)。解

其中所以3.D(s)=0含有重根其中设则(n=1，2，

m)例设，求f(t)。解

其中则例：求下列函数的拉氏逆变换5.4思想：微分方程的S域求解系统的S域分析图6.24已知传递函数，并且系统的信号源为e(t)=sin(3t)，电感起始电流等于零，求电流i(t)。5.6sys=tf(10,[11]);t=[0:0.01:10]';e=sin(3*t);i=lsim(sys,e,t);plot(t,i)仅在离散时刻有定义的信号。表示气温、压力、流量、高度、电压、电流等在离散时刻的数据。便于计算机处理和控制。常用离散信号如下：6.5离散信号与离散系统离散时间信号图1常用离散信号单位函数（序列）：(n)=1(n=0)0(n0)单位阶跃序列：(n)=1(n0)0(n<0)指数序列：f(n)=an(n)斜升序列：f(n)=n(n)序列的移位：图2f2(n)

(n)图3从模拟信号到数字信号应用图4机器人系统对机械手的控制。信号的变化如下图。离散时间系统差分方程：微分方程的离散化。对一阶RC电路令T=1，即梯形网络的节点电位方程（见图5）对上式取样，得根据KCL，有图5梯形电阻网络整理可得一般形式：LTI系统：线性：a1f1(n)+a2f2(n)

a1y1(n)+a2y2(n)位移不变性（时不变性）：f

(nm

)

y

(nm

)例

菲波那契数列为：{0,1,1,2,3,5,8,13,……}其数学模型为：试求方程的解，并画出曲线。图6为用MATLAB方法求解结果。图6图7基本模拟单元系统的模拟图8例

由上式的关系可画出如图8所示的模拟框图。由于离散信号

f(n)=+f(2)

(n+2)+f(1)

(n+1)+f(0)

(n)+

f(1)

(n

1)+f(2)

(n

2)+

即7.2卷积和及其应用离散信号的分解与卷积和（卷积和，卷和）一般情况，f1(n)

和f2(n)的卷和（因果信号）卷积和的图解机理：图1f1(k)

f2(n1

k)零状态响应单位响应：在零状态条件下，由单位序列

(n)引起的响应称为单位响应，记为h(n)。零状态响应：已知输入f(n)和h(n)时，则系统的零状态响应为LTI

(n)h(n)（定义）

(nk)h(nk)（时不变性）f(k)

(nk)f(k)h(nk)（齐次性）（可加性）

f(n)

(n)f(n)h(n)

f(n)y(n)证明：阶跃响应s(n)与单位响应h(n)：因故卷积和的性质交换律：f1(n)

f2(n)=f2(n)

f1(n)结合律：f1(n)

[f2(n)

f3(n)]=[f1(n)

f2(n)]

f3(n)分配律：f1(n)

[f2(n)+f3(n)]=f1(n)

f2(n)+f1(n)

f3(n)位移不变性：f1(nm

)

f2(nr

)

y(nmr)阅读与思考：阅读书例7-5、例7-6和例7-9。注意卷和的性质应用。连续系统与离散系统的比较：离散系统系统由差分方程描述

响应y(n)=yzi(n)

+yzs(n)卷积和线性和位移不变性以单位函数(n)为基本信号yzs(n)=h(n)

f(n)设有序列6.6Z变换与Z反变换Z变换的概念可有如下级数即上式称为序列f(n)的Z变换（单边Z变换）。变换对：Z[f(n)]=F(z)Z1

[F(z)]=f(n)f(n)F(z)典型序列的Z变换Z反变换幂级数展开法部分分式展开法：

已知F(z)后，应先对展开部分分式。（1）

F(z)仅有n个一阶单极点，则可展开为式中系数(i=0，1，2，

n)系数故反变换例则则可展开为各系数（2）

F(z)仅含重极点(n=1，2，

m)阅读与思考：阅读书例8-1、例8-2和例8-4。注意：除了对展开分式外，方法与拉氏变换一样。8.2Z变换的主要性质线性性质移位性质若f(n)为双边序列，则如若f(n)为因果序列，则尺度变换如卷和定理应用于系统分析：（Z域系统函数）初值定理终值定理思想：差分方程的Z变换解8.3系统的Z域分析图1解因得方程起始状态：y(1)=1，y(2)=1，求y(n)。例设展开得得完全响应离散系统的Z域模拟图模拟单元：除了加法器和系数倍乘器外，时延