高中人教A版数学单元素养检测第九章统计

单元素养检测(四)(第九章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.一个容量为80的样本中,数据的最大值为152,最小值为60,组距为10,应将样本数据分为()A.10组B.9组C.8组D.7组【解析】选A.由题意可知,QUOTE=9.2,故应将数据分为10组.【补偿训练】一个容量为32的样本,已知某组样本的频率为0.125,则该组样本的频数为()A.2B.4C.6D.8【解析】选B.频率=QUOTE,则频数=频率×样本容量=0.125×32=4.2.在样本频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的QUOTE,且样本容量为140,则中间一组的频数为()A.28 B.40 C.56 D.60【解析】选B.设中间一组的频数为x,则其他8组的频数和为QUOTEx,所以x+QUOTEx=140,解得x=40.3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200,20 B.100,20C.200,10 D.100,10【解析】选A.该地区中小学生总人数为3500+2000+4500=10000,则样本容量为10000×2%=200,其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%=20.4.某市刑警队对警员进行技能测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级,测试结果如下表:(单位:人)优秀良好合格男4010525女a155若按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取40人,成绩为良好的有24人,则a等于()A.10 B.15 C.20 D.30【解析】选A.设该市刑警队共n人,由题意得QUOTE=QUOTE,解得,n=200;则a=200(40+105+15+25+5)=10.5.为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况,以及重要商品库存变化的动向,中国物流与采购联合会和中储发展股份通过联合调查,制定了中国仓储指数.由2017年1月至2018年7月的调查数据得出的中国仓储指数,绘制出如图所示的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是()A.2017年各月的仓储指数最大值是在3月份B.2018年1月至7月的仓储指数的中位数为55C.2018年1月与4月的仓储指数的平均数为52D.2017年1月至4月的仓储指数相对于2018年1月至4月,波动性更大【解析】选D.2017年各月的仓储指数最大值是在11月份,所以A是错误的;由图可知,2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为53,所以B是错误的;2018年1月与4月的仓储指数的平均数为QUOTE=53,所以C是错误的;由图可知,2017年1月至4月的仓储指数比2018年1月至4月的仓储指数波动更大.6.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制成如图所示的频率分布直方图,样本数据分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80,100]范围内的数据16个,则其中分数在[90,100]范围内的样本数据有()A.5个 B.6个C.8个 D.10个【解析】选B.分数段在[80,100]范围内占所有分数段的百分比为(0.025+0.015)×10=0.4,其中分数在[90,100]范围内的人数占所有分数段的百分比为0.015×10=0.15,因此分数在[90,100]范围内占分数在[80,100]范围内的百分比为QUOTE=QUOTE,因此分数在[90,100]范围内的样本数据有16×QUOTE=6.7.某工厂生产A,B,C,D四种不同型号的产品,产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号有16件,那么此样本的容量n为()A.88 B.44 C.22 D.11【解析】选A.在分层抽样中,每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的.所以,样本容量n=QUOTE×16=88.8.某种球的总数量为M,其中带有标记的有N个,现用简单随机抽样的方法从中抽出一个容量为m的样本,则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为()A.N·QUOTE B.m·QUOTEC.N·QUOTE D.N【解析】选A.根据样本中带标记所占比例与总体中带标记的比例近似相等.设m个个体中带标记的为x个,则有QUOTE=QUOTE⇒x=QUOTE.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.2020年寒假疫情期间,某校要求学生利用网络对空气质量进行一次分析调查.如图是某同学结合环保部门2020年1月21日—27日空气质量指数(AQI)制作的柱状图,已知空气质量指数为0～50表示空气质量为优,51～100表示空气质量为良好,大于100表示不同程度的污染.在这一周内,下列结论正确的是()A.空气质量优良的天数为3天B.空气质量不是良好的天数为6C.这周的平均空气质量为良好D.前三天AQI的方差大于后四天AQI的方差【解析】选AB.由题图可知空气质量优良的天数应为3天,故选项A正确;选项C中,这周的平均空气质量为污染;选项D中,前三天AQI的方差小于后四天AQI的方差;选项B正确.10.三个同学的数学测试成绩及班级平均分关系如图,则下列说法正确的是()A.王伟同学的数学学习成绩高于班级平均水平,且较稳定B.张诚同学的数学学习成绩波动较大C.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平D.在6次测验中,每一次成绩都是王伟第1,张诚第2,赵磊第3【解析】选ABC.从图中看出王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平,学习情况比较稳定而且成绩优秀.张诚同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均水平上下波动,而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平,但他的成绩曲线呈上升趋势,表明他的数学成绩在稳步提高,第6次考试张诚没有赵磊的成绩好.故D错误.11.在某次测量中得到的A样本数据如下:52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是()A.方差 B.平均数C.中位数 D.标准差【解析】选AD.A样本的平均数为54.8,B样本的平均数为60.8,B选项错误;A样本的中位数为55,B样本的中位数为61,C选项错误;事实上,在A样本的每个数据上加上6后形成B样本,样本的稳定性不变,因此两个样本的方差相同,标准差相等.12.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述正确的是()A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个【解析】选ABC.由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上,A正确;七月的平均温差约为10℃,而一月的平均温差约为5℃,故B正确;三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右,基本相同,C正确;平均最高气温高于20℃时月份只有3个,D错误.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.某中学高一年级有400人,高二年级有320人,高三年级有280人,若每人被抽到的可能性为20%,用随机数法在该中学抽取容量为n的样本,则n等于________.

【解析】由QUOTE=20%,解得n=200.答案:200【补偿训练】某社区对居民进行某车展知晓情况的分层随机抽样调查.已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人.若在老年人中的抽样人数是70,则在中年人中的抽样人数应该是________.

【解析】依题意,应有QUOTE=QUOTE,解得x=80,即在中年人中应抽取80人.答案:8014.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下:组别[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数1213241516137则样本数据在[10,40)上的频率为________.

【解析】频率为QUOTE=0.52.答案:0.5215.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分,对这些产品的一项质量指标进行了检测,整理检测结果得到如下频率分布表:质量指标分组[10,30)[30,50)[50,70]频率0.10.60.3据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为________.

【解析】由题意得这批产品的此项质量指标的平均数为20×0.1+40×0.6+60×0.3=44,故方差为(2044)2×0.1+(4044)2×0.6+(6044)2×0.3=144.答案:14416.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a=________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.

【解析】由10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,得a=0.03,从而这三组的频数之比为0.03∶0.02∶0.01=3∶2∶1,故从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为18×QUOTE=3.答案:0.033【补偿训练】为了解某校学生的视力情况,随机抽查了该校的100名学生,得到如图所示的频率分布直方图.由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数和为40,后6组的频数和为87.设最大频率为a,视力在4.5到5.2之间的学生数为b,则a,b的值分别为()A.0.27,96B.0.27,83C.2.7,78 D.2.7,83【解析】选A.由频率分布直方图知组距为0.1,前3组频数和为13,则4.6到4.7之间的频数最大为27,故最大频率a=0.27,视力在4.5到5.2之间的频率为0.96,故视力在4.5到5.2之间的学生数b=96.四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注.某市有关部门对全市4万名初中生的视力状况进行一次抽样调查,所得到的有关数据绘制成频率分布直方图如图所示.从左至右五个小组的频率之比依次是2∶4∶9∶7∶3,第五小组的频数是30.(1)本次调查共抽取了多少名学生?(2)如果视力在[4.85,5.45)属正常,那么全市初中生视力正常的约有多少人?【解析】(1)频率之比等于频数之比.设第一小组的频数为2k,则其余各组的频数依次为4k,9k,7k,3k,于是3k=30,解得k=10.则2k=20,4k=40,9k=90,7k=70,故本次调查的抽样总人数为20+40+90+70+30=250.(2)因为视力在[4.85,5.45)范围内的有100人,所以频率为QUOTE=0.4.所以全市初中生视力正常的约有40000×0.4=16000(人).18.(12分)某城市有210家百货商店,其中大型商店20家,中型商店40家,小型商店150家.为了掌握各商店的营业情况,计划抽取一个容量为21的样本,按照分层随机抽样方法抽取时,各种百货商店分别要抽取多少家?写出抽样过程.【解析】(1)样本容量与总体的个体数的比为QUOTE=QUOTE.(2)确定各种商店要抽取的数目:大型:20×QUOTE=2(家),中型:40×QUOTE=4(家),小型:150×QUOTE=15(家).(3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型:2家;中型:4家;小型:15家.这样便得到了所要抽取的样本.19.(12分)某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%,登山组的职工占参加活动总人数的QUOTE,且该组中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度,现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本.试求:(1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例.(2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.【解析】(1)设登山组人数为x,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为a,b,c,则有QUOTE=47.5%,QUOTE=10%.解得b=50%,c=10%.故a=150%10%=40%.即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中,抽取的青年人人数为200×QUOTE×40%=60;抽取的中年人人数为200×QUOTE×50%=75;抽取的老年人人数为200×QUOTE×10%=15.20.(12分)两台机床同时生产一种零件,在10天中,两台机床每天的次品数如下:甲:1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.乙:1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.(1)哪台机床次品数的平均数较小?(2)哪台机床的生产状况比较稳定?【解析】(1)QUOTE=(1+0+2+0+2+3+0+4+1+2)×QUOTE=1.5,QUOTE=(1+3+2+1+0+2+1+1+0+1)×QUOTE=1.2.因为QUOTE>QUOTE,所以乙机床次品数的平均数较小.(2)QUOTE=QUOTE×[(11.5)2+(01.5)2+(21.5)2+(01.5)2+(21.5)2+(31.5)2+(01.5)2+(41.5)2+(11.5)2+(21.5)2]=1.65,同理QUOTE=0.76,因为QUOTE>QUOTE,所以乙机床的生产状况比较稳定.【补偿训练】已知样本数据由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且样本的中位数为10.5,若使该样本的方差最小,则a,b的值分别为()A.10,11 B.10.5,9.5C.10.4,10.6 D.10.5,10.5【解析】选D.由于样本共有10个值,且中间两个数为a,b依题意,得QUOTE=10.5,即b=21a.因为平均数为(2+3+3+7+a+b+12+13.7+18.3+20)÷10=10,所以要使该样本的方差最小,只需(a10)2+(b10)2最小.又(a10)2+(b10)2=(a10)2+(21a10)2=2a242a+221,所以当a=QUOTE=10.5时,(a10)2+(b10)2最小,此时b=10.5.21.(12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值;(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;(3)估计居民月均用水量的中位数.【解析】(1)由频率分布直方图,可知,月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,解得a=0.30.(2)由(1)可知,100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000.(3)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,所以2≤x<2.5.由0.50×(x2)=0.50.48,解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.22.(12分)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:组号分组频数1[0,2)62[2,4)83[4,6)174[6,8)225[8,10)256[10,12)127[12,14)68[14,16)29[16,18)2合计100(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率;(2)求频率分布直方图中的a,b的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写