2024年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）专题22 锐角三角函数篇（原卷版+解析）

专题22锐角三角形函数1.锐角三角函数的定义：①正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.②余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA.③正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA.2.特殊角的锐角三角函数值特殊角11.(2023·天津)tan45°的值等于()2.(2023·滨州)下列计算结果，正确的是()3.(2023·荆门)计算：4.(2023·绥化)定义一种运算：例如：当α=45°,β=30°时，则sin15°的值5.(2023·广东)sin30°=6.(2023·荆州)如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OP//AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是B7.(2023·扬州)在△ABC中，∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b²=ac,则sinA的8.(2023·滨州)在Rt△ABC中，若∠C=90°,AC=5,BC=12,则sinA的值为9.(2023·通辽)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,CBAB都在格点上，以AB为直径的圆10.(2023·贵港)如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1,顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是()1.直角三角形有关的性质：①直角三角形的两锐角互余。②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。⑤直角三角形的勾股定理。2.坡角，坡度(坡比):①坡角：斜坡与水平面形成的夹角叫做坡角。②坡度(坡比):坡面的铅垂高度与水平宽度的比值叫做坡度或坡比。简单理解即为坡角的正切值。3.仰角与俯角：①仰角：向上看的视线与水平线构成的夹角叫做仰角。②俯角：向下看的视线与水平线构成的夹角叫做俯角。由方向+角度构成。微专题微专题11.(2023·广西)如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α,则高BC12.(2023·广元)如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长第12题B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为()AB第13题第14题A.3√2B.3A.2√5B.315.(2023·泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10,4),四边形ABEF则直线1的解析式为()第15题第18题—·18.(2023·连云港)如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形顶端记为点A,变幅索的底端记为点B,AD=α,下列关系式正确的是()第19题垂直地面，垂足为点D,BC⊥AD,垂足为点C.设∠ABC第20题20.(2023·沈阳)如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直),测量得P,则河宽PT的长为()则河宽PT的长为()21.(2023·福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC第21题第22题A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm22.(2023·金华)一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为()A.(4+3sina)mB.(4+3tana)m23.(2023·枣庄)北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念.如图所示，它的第23题第24题24.(2023·绵阳)如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上.航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD=海里(计算结果不取近似值).25.(2023·荆门)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方 小时26.(2023·黑龙江)小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5:12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°,山高为()米第26题第27题A.600-250√5B.600√3-250AB的长度为()A.10mB.10√3mC.5m28.(2023·十堰)如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB,当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m,则大树AB的高为()29题29.(2023·柳州)如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α,30.(2023·济南)数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°,再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°,点C,D,B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为()A.28m31.(2023·贵港)如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在第31题测得树顶C的仰角为45°,在点B处测得树顶C的仰角为60°,且A,B,D三点在同一直线上，若AB=16m,则这棵树CD的高度是()A.8(3-√3)mB.8(3+√3)mc.6(3-√3)m32.(2023·随州)如图，已知点B,D,C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β,若CD=a,则建筑物AB的高度为()第32题第33题33.(2023·黄石)某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m,当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°,继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°,34.(2023·黔东南州)如图，校园内有一株枯死的大树AB,距树12米处有一栋教学楼CD,为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°,点A的俯角为30°.小青计算后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害.其中正确的第34题第35题35.(2023·湖北)如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°,C点的俯角β为58°,BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6m,则甲建筑物的高度AB为111.,,(sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,结果保留整数).36.(2023·巴中)一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方,,第36题第37题37.(2023·黔西南州)如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶.测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向.A,B之间的距离为80nmile,则C岛到航线AB的最短距离约是nmile.(参考数据：√2≈1.4,√3≈1.7,保留整数结果)38.(2023·岳阳)喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛.如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB=200米，则点P到赛道AB的距离约为米(结果保留整数，专题22锐角三角形函数考点一：锐角函数在Rt△ABC中，∠C=90°.①正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.②余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA.③正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA.即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=发。特殊角14.特的锐角函1.(2023·天津)tan45°的值等于()【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答.2.(2023·滨州)下列计算结果，正确的是()A.(a²)3=q⁵B.√8=3√2c.?8=2【分析】根据幂的乘方的运算法则对A选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据立方根对C选项进行判断：根据特殊角的三角函数值对D选项进行判【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答.4.(2023·绥化)定义一种运算：sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sin【分析】把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论.=sin45°cos30°-cos45°故答案为：5.(2023·广东)sin30°=【分析】熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案.【解答】解：6.(2023·荆州)如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2,连接AC,过点【分析】根据OP//AB,证明出△OCP∽△BCA,得到CP:AC=OC:BC=1:成比例定理得到OQ:AO=CP:AC=1:2,根据P(1,1),AO=2,根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值.【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q,有有∴CO//PQ,7.(2023·扬州)在△ABC中，∠C=90°,a、b、c【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可.【解答】解：在△ABC中，∠C=90°,等式两边同时除以ac得：则(舍去),;(舍去),是原分式方程的解，【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案.【解答】解：如图所示：∵∠C=90°,AC=5,BC=12,9.(2023·通辽)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C,D,则cos∠ADC的值为()【分析】由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案.【解答】解：∵AB为直径，又∵点A,B,C都在格点上，10.(2023·贵港)如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1,顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是()考点二：解直角三角形③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。6.坡角，坡度(坡比):②坡度(坡比):坡面的铅垂高度与水平宽度的比值叫做坡度或坡比。简单理解即为坡角的正切值。7.仰角与俯角：①仰角：向上看的视线与水平线构成的夹角叫做仰角。②俯角：向下看的视线与水平线构成的夹角叫做俯角。8.方向角：由方向+角度构成。微专题微专题11.(2023·广西)如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α,则高BC是()米米【分析】直接根据∠A的正弦可得结论.∴BC=12sina(米).12.(2023·广元)如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都B【分析】把AB向上平移一个单位到DE,连接CE,则DE//AB,由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以sin∠APC=sin∠EDC即可得答案.【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE,连接CE,如图.则边AB的长为()A.3√2B.3√5C.6√2【分析】根据BD=2CD=6,可得CD=3,由可得AD=6,可得△ABD是等腰三角形，进而可以解决问题.BD.若则CD的长为(),【分析】过D点作DE⊥AB于E,由锐角三角函数的定义可得5DE=AB,再解直角三角形可求得AC的长，利用勾股定理可求解AB的长，进而求解AD的长.【解答】解：过D点作DE⊥AB于E,,15.(2023·泸州)如图，在平面直四边形ABEF是菱形，且若直线1把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线1的解析式为()【分析】分别求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的直线即可得出结论.【解答】解：连接OB,AC,它们交于点M,连接AE,BF,它们交于点N,则直线MN为符合条件的直线1,如图，∵B的坐标为(10,4),BE=AB=10.∵B的坐标为(10,4),AB//x轴，∵点N为AE的中点，设直线1的解析式为y=ax+b,16.(2023·西宁)在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=1,BC=√2,则cosA=.【分析】根据勾股定理求出AB,再根据锐角三角函数的定义求出cosA即可.所以【分析】利用分类讨论的思想方法，画出图形，过点A作AD⊥BC于点D,利用勾股定理解答即可.【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，②当△ABC为钝角三角形时，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D,如图，18.(2023·连云港)如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，【分析】先构造直角三角形，然后即可求出sinA的值.【解答】解：设每个小正方形的边长为a,作CD⊥AB于点D,19.(2023·长春)如图是长春市人起重机的变幅索顶端记为点A,变幅索的底端记为点B,AD垂直地面，垂足为点D,BC⊥AD,垂足为点C.设∠ABC=a,下列关系式正确的是()【分析】根据直角三角形的边角关系进行判断即可.【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=α,直),测量得P,Q两点间距离为m米，∠PQT=α,则河宽PT的长为()【分析】根据垂直定义可得PT⊥PQ,然后在Rt△PQT中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.【解答】解：由题意得：PT⊥PQ,在Rt△APQ中，PQ=m米，∠PQT=a,∴河宽PT的长度是mtana米，21.(2023·福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABCA.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm【分析】根据等腰三角形性质求出BD,根据角度的正切值可求出AD.【解答】解：∵AB=AC,BC=44cm,22.(2023·金华)一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为()【分析】过点A作AD⊥BC于点D,利用直角三角形的边角关系定理求得AD,.用AD+BE即可表示出房顶A离地面EF的高度.【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D,如图，∵它是一个轴对称图形，在Rt△ADB中，∴房顶A离地面EF的高度=AD+BE=(4+3tana)m,23.(2023·枣庄)北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念.如图所示，它的主体形状呈正六边形.若点A,F,B,D,C,E是正六边形的六个顶点，【分析】由正六边形的性质得AB=BC=AC,BE垂直平分AC,再由等边三角形的性质得∠ABC=60°,!,即可得出结论.【解答】解：如图，连接AB、BC、AC、BE,∵点A,F,B,D,C,E是正六边形的六个顶点，∴AB=BC=AC,BE垂直平分AC,24.(2023·绵阳)如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东若CD与AB平行，则CD=海里(计算结果不取近似值).【分析】过点D作DE⊥AB,垂足为E,根据题意可得：AB=10海里，∠FAD=15°,∠EAC=45°,∠EAB=90°,∠CBA=45°,从而可得进而利用三角形内角和定理求出∠ACB=90°,然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，设DE=x海里，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC,DC=5√2海里，列出关于x的方程，进行计算即可解答.【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB,垂足为E,(海里),∠FAD=15°,∠FAC=45°,∠FAB在Rt△ACB中，(海里),在Rt△ADE中，(海里),26.(2023·荆门)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50√2海里/小时的速度航行1小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t=_ 【分析】根据题意可得：∠PAC=45°,∠PBA=30°,AP=100海里，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出AC,PC的长，再在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间=路程÷速度，进行计算即可解【解答】解：如图：(海里),∴AB=AC+BC=(50~/2+50VG)海里，小时，故答案为：(1+√3).26.(2023·黑龙江)小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5:12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°,山高为()米A.600-250√5B.600√3-250C.350+350√3D.500√3【分析】设EF=5x米，根据坡度的概念用x表示出BF,根据勾股定理求出x,根据正切的定义列出方程，解方程得到答案.【解答】解：设EF=5x米，∵斜坡BE的坡度为5:12,由勾股定理得：(5x)²+(12x)2=(1300)2,由题意可知，四边形DCFE为矩形，27.(2023·毕节市)如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5m,坡面AB的坡度A.10mB.10√3mC.5m【分析】由坡面AB的坡度为√3,可得AC=5√3m,再根据勾股定理可【解答】解：∵坡面AB的坡度为28.(2023·十堰)如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB,当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m,则大树AB的高为()A.m(cosα-sinα)B.m(sinα-cosα)【分析】过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D,根据正弦的定义求出BD,根据余弦的定义求出CD,根据等腰直角三角形的性质求出AD,计算即可.【解答】解：过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D,则∠BCD=α₁则BD=BC·sin∠BCD=msina,CD=BC·cos∠BCD=mcosa,29.(2023·柳州)如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为堤坝高BC=30m, 则迎水坡面AB的长度为m. 【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案.【解答】解：堤坝高BC=30m,故答案为：50.30.(2023·济南)数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°,再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°,点C,D,B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为()(精确到1m.参考数据：sin22°≈0.37,tan22°≈0.40,sin58A.28mB.34mC.37m【分析】根据题意得到AB⊥BC,然后根据三角函数的定义即可得到结论.在Rt△ADB中，∠B=90°,∠ADB=58°,在Rt△ACB中，∠B=90°,∠C=22°,答：该建筑物AB的高度约为37m.31.(2023·贵港)如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°,在点B处测得树顶C的仰角为60°,且A,B,D三点在同一直线上，若AB=16m,则这棵树CD的高度是()A.8(3-√3)mB.8(3+√3)mC.6(3-√3)m【分析】设AD=x米，则BD=(16-x)米，在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后在Rt△CDB中，利用锐角三角函数列出关于x的方程，进行计算即【解答】解：设AD=x米，在Rt△ADC中，∠A=45°,∴CD=AD·tan45°=x(米),在Rt△CDB中，∠B=60°,32.(2023·随州)如图，已知点B,D,C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β,若CD=α,则建筑物AB的高度为()【分析】设AB=x,在Rt△ABD中，,可得则BC=BD+CD求解x即可.【解答】解：设AB=x,33.(2023·黄石)某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m,当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°,继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°,则旗杆的高度约为m.【分析】设旗杆底部为点C,顶部为点D,过点D作DE⊥AB,交直线AB于点E.设DE=xm,在Rt△BDE中，根据CD=CE-DE可得出答案.【解答】解：设旗杆底部为点C,顶部为点D,过点D作DE⊥AB,交直线AB