《角平分线的判定》教案、导学案、同步练习

《12.3第2课时角平分线的判定》教学设计年级八年级课题角的平分线的性质课型新授教学目标知识技能掌握角平分线的判定定理的内容.会用角平分线的性质和判定证明.会作一点到三角形三边距离相等.过程方法能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算.了解角的平分线的判定在生活、生产中的应用.情感态度通过折纸、画图、文字符号的翻译活动，培养学生的猜想、验证、归纳能力，激发学生学习数学的兴趣.教学重点角的平分线的判定的证明及运用.教学难点灵活应用角平分线的性质和判定解决问题.教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入1.角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？2.角平分线性质定理的作用是证明什么？3.填空如图：∵OC平分∠AOB，∴AC=BC（角平分线性质定理）二、探究新知探究角的平分线的判定：思考：把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？它正确？如何证明？证明上面的猜想。归纳角平分线的判定定理：到一角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。角平分线的判定定理的应用：多媒体展示：（1）现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？已知：， CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC求证：OC平分∠AOB证法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB∴∠A=∠B在△AOC和△BOC中∴△AOC≌△BOC（HL）∴∠AOC=∠BOC∴OC平分∠AOB证法2：∵ CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理）（2）已知：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点求证：O在∠C的平分线上三、课堂训练多媒体展示：、1.如图，已知DB⊥AN于B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB=OC，若∠OAB=25°，求∠ADB的度数.2.如图，已知AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF.求证：BD=DC四、小结归纳1.角平分线判定定理及期作用；2.在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。3.三角形三个内角平分线交于一点，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点。五、作业设计1.教材习题11.3第3、4题；2.补充作业：如图，的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F。求证：(1)∠BFC=；(2)点F在∠DAE的平分线上.学生思考回答，复习角的平分线的性质。学生思考并回答。学生依据猜测写出已知、求证，并画图，而后分组讨论，写出证明过程。学生根据上面的猜测及证明，归纳角平分线的判定定理。学生明确在已知一定条件下，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。教师引导学生分析，思考，写出证明过程。教师规范书写格式。学生应用角的平分线判定定理解题。学生总结所学知识，谈谈判定定理的用途。把平分线的性质与判定的结论与题设相对照。由性质到判定强化二者的关系。进一步巩固全等三角形的判定。培养学生的归纳概括能力。使学生明确角平分线判定定理的作用。巩固角的平分线的性质与判定的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。巩固本节所学。及时小结形成知识块。板书设计课题11.3角的平分线的判定一、证明几何命题的步骤：例题分析二、角的平分线的判定定理：三、角的平分线的判定定理的作用：教学反思22《12.3第2课时角平分线的判定》教案一、教学目标（一）知识与技能1.了解角的平分线的判定定理；2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.（二）过程与方法在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；难点：角的平分线的判定.三、教法学法自主探索,合作交流的学习方式.四、教学过程（一）复习、回顾1.角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．（二）合作探究角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【典型例题】例1.已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．例2.

如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．（三）巩固训练（四）小结请你说说本课的收获与困惑.（五）作业第十二章全等三角形12.3角平分线的性质《第2课时角平分线的判定》导学案学习目标：1.进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤.2.进一步理解角平分线的判定及运用.重点：角平分线的判定及运用．难点：角平分线的判定的灵活运用．一、知识链接1.写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.2.写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题.二、新知预习1.分别画出下列三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？2.自主归纳（1）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的上.（2）①三角形的三条角平分线相交于点，它到.②三角形内，到三边距离相等的点是.三、自学自测1.如图,PM=PN,∠BOC=30°,则∠AOB=.图1图22.如图,AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D,C,AD与BC相交于点P,若PA=PB,则∠1与∠2的大小关系是 ()A.∠1=∠2 B.∠1>∠2C.∠1<∠2 D.无法确定四、我的疑惑___________________________________要点探究探究点1：角平分线的判定定理问题1：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？问题2：你能证明这个结论吗？要点归纳：角平分线的判定定理：应用所具备的条件：（1）位置关系：；（2）数量关系：.定理的作用：.应用格式：∵∴点P在∠AOB的平分线上.典例精析例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？方法总结:利用角平分线的判定定理，在铁路和公路形成的夹角的平分线上取合适的点即可.针对训练1.如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC,交AB于点E,则下列结论一定正确的是 ()A.AE=BEB.DB=DEC.AE=BDD.∠BCE=∠ACE2.如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE=AF.求证:点P在∠BAC的平分线上.探究点2：三角形内角平分线的性质及运用活动1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么特点吗？活动2：分别过交点作三角形三边的高，用刻度尺量一量，它们有什么数量关系？要点归纳：①三角形的三条角平分线相交于点，它到.②三角形内，到三边距离相等的点是.典例精析例2：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.方法总结:三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.例3：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为()A．110°B．120°C．130°D．140°方法总结:由已知O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．针对训练已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2.求证：OB＝OC.角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上二、角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上内容内容角平分线的判定定理判断一个点是否在角的平分线上角平分线的判定定理判断一个点是否在角的平分线上作用作用三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等.结论结论1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.2.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．3.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上.拓展提升5.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处?画出它的位置.《12.3第2课时角平分线的判定》导学案学习内容：通过独立思考和小组合作，能够证明几何命题。学习目标：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤2、进一步理解角平分线的判定及运用学习重点：角平分线的判定及运用学习难点：角平分线的判定的灵活运用学习方法：探究、交流、练习学习过程：课前巩固画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等学习新知思考：证明一个几何命题的一般步骤：①；②；③。（二）应用：1、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上2、如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？（1）．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？（2．比例尺为1：20000是什么意思？三、基础练习1.到角的两边距离相等的点在上。2.到三角形三边的距离相等的点是三角形（）A.三条边上的高线的交点；B.三个内角平分线的交点；C.三条边上的中线的交点；D.以上结论都不对。3.在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=8cm,BD=5cm,则D到AB的距离是。4.已知：AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证:∠BAO=∠CAO四、拓展延伸已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.AAAAAAAAADNEBFMCA五、课堂小结六、当堂检测1、图中的直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处B.两处C.三处D.四处2.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，求证：DF＝EFA3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。A求证：AD是△ABC的角平分线。FEFECDBCDB《12.3第2课时角平分线的判定》导学案一、学习目标1、掌握角的平分线的性质；2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题．二、温故知新1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题.三、自主探究合作展示（一）思考：命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是否是真命题？若是真命题，请给出证明过程。已知：如图1，图2图图2图1证明：结论：（二）思考：如图2所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？（三）应用举例图3图3求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．四、双基检测图41.如图4，在中，，平分，，那么点到直线的距离是cm．图4图52.如图5，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于D图5(1)若∠BAC=30°,则AD与BD之间有何数量关系，说明理由;(2)若AP平分∠BAC，交BD于P,求∠BPA的度数.ABABOEDC图6五、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。《第2课时角平分线的判定》同步练习一、选择题1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条中线的交点 B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点2．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（）A．∠1=∠2B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2D．无法确定第2题图第3题图第4题图3.如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=BEB．DB=DEC．AE=BDD．∠BCE=∠ACE4.如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°5．如图，,△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（）①PA=PC②BP平分∠ABC③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC．A．①②B．①④C．②③D．③④第5题图第6题图第7题图6．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A、1处B、2处C、3处D、4处7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M为AD上任意一点，则下列结论错误的是（）（A）DE＝DF．（B）ME＝MF．（C）AE＝AF．（D）BD＝DC．8.如图，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，有下列四个结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第8题图第10题图第11题图二、填空题9.在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的．10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=°．11.如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P=°．12.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA=°．第12题图第13题图13.如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为.14.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，∠EBC=°15.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为第14题图第15题图第16题图16.如图，点M在∠ABC内，ME⊥AB于E点，MF⊥BC于F点，且ME=MF，∠ABC=70°，则∠BME=°．三、解答题17.如图，表示两条相交的公路，现要在的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处点的距离为1000米．（1）若要以的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处点的图上距离；（2）在图中画出物流中心的位置．18．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：（1）PE=PF；（2）点P在∠BAC的角平分线上．19.PB，PC分别是△ABC的外角平分线且相交于P．求证：P在∠A的平分线上（如图）．20．已知：如图，，是的中点，平分．（1）若连接，则是否平分？请你证明你的结论．2134DCMB2134DCMBA21.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．第2课时角的平分线的判定一、选择题1.D2.A3.D4.A5.C6.D7.D8.D二、填空题9.平分线10.3511.9012.5513.414.2715.316.55三、解答题17.解:（1）1000米=100000厘米，100000÷50000=2（厘米）；(2)18.证明：（1）如图，连接AP并延长，∵PE⊥AB，PF⊥AC∴∠AEP=∠AFP=90°又AE=AF，AP=AP，∵在Rt△AFP和Rt△AEP中∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），∴PE=PF．（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP=∠FAP，∴AP是∠BAC的角平分线，故点P在∠BAC的角平分线上．19.证明：过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，AC．∵PB，PC分别是△ABC的外角平分线，∴PE=PH，PH=PG，∴PE=PG．∴P点在∠A的平分线上．20．（1）平分．2134ＤＣＭＢ2134ＤＣＭＢＡＥ，，，（角平分线上的点到角两边的距离相等）．又，．，，平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2），理由如下：，（垂直于同一条直线的两条直线平行）．（两直线平行，同旁内角互补）又，（角平分线定义），，．即．21.解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，∵只有OP=OP，PM=PN不能判断△OPM≌△OPN；∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；方案（Ⅱ）可行．证明：在△OPM和△OPN中，，∴△OPM≌△OPN（SSS），∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）；∴OP就是∠AOB的平分线．（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，∴∠AOB=90°，∵PM=PN，∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），当∠AOB不为直角时，此方案不可行；因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．《第2课时角平分线的判定》同步练习基础巩固一、填空题1．如图1，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。图1图22．如图2所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2cm，则点D到BC的距离为________cm．3．如图3，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。图3图44．如图4，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则两平行线间AB、CD的距离等于。5．已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC=。二、选择题6．如图5，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝，PC＝，AB＝，AC＝，则与的大小关系是（）A、＞B、＜C、＝D、无法确定图5图67．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB边的距离为()A．18B．16C．14D．128．如图6，AE⊥BC于E，CA为∠BAE的角平分线，AD=AE，连结CD，则下列结论不正确的是()A．CD=CEB．∠ACD=∠ACEC．∠CDA=90°D．∠BCD=∠ACD9．在△ABC中，∠B=∠ACB，CD是∠ACB的角平分线，已知∠ADC=105°，则∠A的度数为()A．40°B．36°C．70°D．60°10．在以下结论中，不正确的是()A．平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上B．角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等C．一个角只有一条角平分线D．角的平分线有时是直线，有时是线段三、解答题11．如图7所示，AE是∠BAC的角平分线，EB⊥AB于B，EC⊥AC于C，D是AE上一点，求证：BD=CD。图7图8图912．如图8，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E。求证：点D在∠BAC的角平分线上。13．如图9，∠AOP=∠BOP，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD与BC交于点P。求证：AP=BP。综合提高一、填空题图1114．如图10，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF。如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。图11图1015．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23cm，BC=4cm，则△DEF的边中必有一条边等于______。16．在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分线交BC于D，且BD︰DC=5︰3，则D到AB的距离为_____________。17．∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35，如图11，则∠EAB的度数是。18．△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的角平分线的交点为O，连结AO，若S△AOB=6cm2，则S△AOB=。二、选择题19．如图12所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6cm,则△DEB的周长为()。A.9cm B.5cm C.6cm D.不能确定图1220．下列命题中正确的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等图1321．如图13，∠AOB和一条定长线段A，在∠AOB内找一点P，使P到OA、OB的距离都等于A，做法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=A，H为垂足．（2）过N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P．（4）点P即为所求．图13A．平行线之间的距离处处相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等ADCBADCB图14EF22．如图14，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（）A．DE=DFB．AE=AFC．△ADE≌△ADFD．AD=DE+DF23．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对ABABFCD图1524．如图15，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D,F为垂足,DE⊥AB于E，且AB>AC，求证：BE－AC=AE．25．如图16所示，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C＝90°，求证：AB＝AC＋CD．图16拓展探究一、解答题26．如图17，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB>AC求证：BE－AC=AE．图19图17图18图1927．如图18，已知AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线交于E，过E的直线交AD于D，交BC于C，求证:DE=EC．28．如图19，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由．参考答案基础巩固一、填空题1.15；2.2；3.DE=DF=DG；4.4；5.130°二、选择题6.A7.C8.D9.A10.D三、解答题11．证：先证Rt△ACE≌Rt△ABE，推出AB=AC。再证△ABD≌△ACD(或△DCE≌△DBE)，得出DC=DB。12．证：在△DBE和△DCF中，所以△DBE≌△DCF(AAS)。∴DE=DF。又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的角平分线上。13．证：∵∠AOP=∠BOP