2023-2024学年深圳市北师大南山附属中学九年级下学期开学考数学试题及答案

初中PAGE1试卷北师大南山附属学校中学部2023-2024学年第二学期九年级开学考数学试题一．选择题（每题3分，共30分）1.如图所示的几何体的主视图是A. B. C. D.2.方程的解是()A. B.C.， D.，3.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A.y＝（x﹣1）2+2 B.y＝（x﹣1）2﹣2 C.y＝（x+1）2﹣2 D.y＝（x+1）2+24.已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是（

）A. B. C. D.5.如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为（）A.15 B.12 C.9 D.66.如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交、于点E、F；第三步，连接、．若，，，则的长是（）A.3 B.4 C.5 D.67.下列说法正确的是（）A.对角线垂直的平行四边形是矩形B.方程x2+4x+16＝0有两个相等的实数根C.抛物线y＝﹣x2+2x+3顶点为（1，4）D.函数，y随x的增大而增大8.某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（）A. B.C. D.9.已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y=ax2－2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A.

B. C. D.10.如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（）A.①②③④ B.①②③⑤ C.①③④⑤ D.②④⑤二．填空题（每题3分，共15分）11.已知，则___________．12.若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是________．13.如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，矩形内的一个动点P落在阴影部分的概率是________．14.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是__．15.如图，矩形的顶点，点，在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，则线段的长为___．三．解答题（共55分）16.解方程：（1）；（2）；（3）．17.某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图；（2）“C等级”在扇形图中圆心角度数为______；（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级学生人数；（4）若从体能测试结果为A等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．18.如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是．（、、、、在同一平面内）．（1）求楼的高；（2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米/秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？19.如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF.(1)求证:四边形ABEF是矩形；(2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF长度.20.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（）元．（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出_____________个台灯（用含x的代数式表示）；（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？（3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？21.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．…012345……654217…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：________，_________，__________；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．22.（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．①求证：；②推断：的值为_______；（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．北师大南山附属学校中学部2023-2024学年第二学期九年级开学考数学试题一．选择题（每题3分，共30分）1.如图所示的几何体的主视图是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】从几何体的正面看可得图形:．故选B．【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.2.方程的解是()A. B.C.， D.，【答案】C【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．【详解】，，∴，，故选：．3.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A.y＝（x﹣1）2+2 B.y＝（x﹣1）2﹣2 C.y＝（x+1）2﹣2 D.y＝（x+1）2+2【答案】A【解析】【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是．故选：A．【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．4.已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出k的值，再分别判断即可．【详解】∵是反比例函数上一点，∴；A．，故在上；B．，故不在上；C．，故在上；D．，故在上；故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟记是解题的关键．5.如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为（）A.15 B.12 C.9 D.6【答案】B【解析】【分析】根据为的中点，则位似比为，再根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方便可求解．【详解】∵和是以点为位似中心位似三角形，为的中点，面积是3，∴，∴，∴，解得：．故选B．【点睛】本题考查位似比等于相似比，同时面积比是相似比的平方，掌握知识点是关键．6.如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交、于点E、F；第三步，连接、．若，，，则的长是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，通过，得到，代入求出即可．【详解】解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理，∴四边形是菱形，∴，∵，，∴，，∴，∴，即解得，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，菱形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，能根据定理判四边形是菱形是解此题的关键．7.下列说法正确的是（）A.对角线垂直的平行四边形是矩形B.方程x2+4x+16＝0有两个相等的实数根C.抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为（1，4）D.函数，y随x的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根据矩形的判定方法、一元二次方程的解、二次函数的性质及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；B、方程x2+4x+16＝0没有实数根，故说法错误，不符合题意；C、抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为（1，4），正确，符合题意；D、函数y＝﹣，在每一象限内y随x的增大而增大，错误，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定方法、一元二次方程的解、二次函数的性质及反比例函数的性质，属于基础题，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．8.某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设月平均增长率的百分数为x，根据棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，可列方程求解．【详解】解∶设月平均增长率的百分数是x，则．故选∶D．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，是增长率问题，关键找出等量关系列出方程．9.已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y=ax2－2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A.

B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据抛物线y=ax2-2x过原点排除A，再由反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a的位置关系，进而得解．【详解】解：∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误；∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴ab＞0，即a、b同号，当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；C正确．故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．10.如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（）A.①②③④ B.①②③⑤ C.①③④⑤ D.②④⑤【答案】A【解析】【分析】通过证明≌推出，即可判断①；再证明，即可判断②；利用角平分的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断③；证明∽，∽，求出相关线段长度，可知当E是的中点时，，即可判断④；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断⑤．【详解】解：四边形是正方形，，．∵，≌，，故①正确；由①得，∵，∴，∴，∴，故②正确；四边形是正方形，，即是的角平分线，点G到边与边的距离相等，即中边的高与中边的高相等，又，，故③正确；设正方形边长为，当E是的中点时，，，由勾股定理得：，，，，∽，，．，，∽，，即，，，，，，当E是的中点时，，故④正确；当时，，，，∽，，中边的高与中边的高相等，，，设，则，，，，，，，，，，故⑤错误．故选A．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形．二．填空题（每题3分，共15分）11.已知，则___________．【答案】##0.2【解析】【分析】由比例的基本性质得：，把x的代数式代入即可求得值．【详解】解：由条件得：，则，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的基本性质及求代数式的值，运用比例的基本性质是关键．12.若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是________．【答案】m≤1【解析】【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．【详解】解：∵一元二次方程x2-2x+m=0有实数解，∴b2-4ac=22-4m≥0，解得：m≤1，则m的取值范围是m≤1．故答案为：m≤1．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与b2-4ac有关，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程无解．13.如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，矩形内的一个动点P落在阴影部分的概率是________．【答案】【解析】【分析】根据矩形的性质可得，利用ASA可证明，可得阴影部分的面积，根据等底等高的两个三角形面积相等可得，即可得出，利用概率公式即可得答案．【详解】∵四边形为矩形，∴，AB//CD，∴∠EBO=∠FDO，在与中，，∴，∴阴影部分的面积，∵与等底等高，∴，∵，∴．∴矩形内的一个动点P落在阴影部分的概率是，故答案为：【点睛】本题考查了几何概率、矩形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形当性质并熟练掌握概率公式是解题关键．14.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是__．【答案】【解析】【分析】如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F，证明再利用勾股定理及等面积法求解从而可得答案．【详解】解：如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F．∵BD∥CE．BD＝CE．∴四边形DBEC是平行四边形．∴BE∥DC．∴∠ABE＝∠AOC．∵，．∴．在Rt△BEF中，∵，∴sin∠AOC＝．故答案为：．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解锐角的正弦，掌握构造直角三角形求解锐角的正弦是解题的关键．15.如图，矩形的顶点，点，在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，则线段的长为___．【答案】【解析】【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，根据翻折的性质结合勾股定理求出的长，进而求出的长，设点的坐标是，勾股定理求出的值，进而求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，进一步计算即可．【详解】解：沿折叠，点刚好与边上点重合，，，，，，，设点的坐标是，则，，，，解得，点的坐标是，设反比例函数，，反比例函数解析式为，点纵坐标为8，，解得，即，，故答案为：．三．解答题（共55分）16.解方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1），（2），（3）【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，掌握一元二次方程的解法，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．（1）因式分解法解方程即可；（2）公式法解方程即可；（3）将特殊角的三角函数值代入后，计算即可．【小问1详解】解：，，，或，解得，；【小问2详解】，，，，，，，．【小问3详解】原式．17.某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图；（2）“C等级”在扇形图中的圆心角度数为______；（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生人数；（4）若从体能测试结果为A等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．【答案】（1）50（2）（3）56名（4）【解析】【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；（2）求出C等级的人数，进而求出C等级所占的百分比，进而求出相应的圆心角的度数；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；（4）用列表法表示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．【小问1详解】解：（名），答：本次抽样调查共抽取了50名学生．故答案为：50【小问2详解】解：测试结果为C等级的学生数为：（名），，故答案为：【小问3详解】解：（名）答：该中学九年级学生中体能测试结果为D等级学生人数是56名.【小问4详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，所以抽取的两人恰好都是男生的概率．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．18.如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是．（、、、、在同一平面内）．（1）求楼的高；（2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米/秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？【答案】（1）110m（2）无人机能安全返航【解析】【分析】（1）过点A做，交于点F，则m，然后解直角三角形即可求出的长，进一步即可求出结果；（2）根据图中的角度转换可得到，然后计算出无人机返回时可飞行的路程，比较即可得出结论．【小问1详解】如图所示，过点A做，交于点F，∴m在中，∵，∴m，m，∴m，答：楼高110m；【小问2详解】依题意可知，，∵，∴，在中，，∴，∴m，无人机可飞行距离：m∵∴无人机能安全返航【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键．19.如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF.(1)求证:四边形ABEF是矩形；(2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度.【答案】(1)见解析；(2)OF=.【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥CD.∵DF=CE，∴DF+DE=CE+ED，即:FE=CD.∵点F、E直线CD上∴AB=FE，AB∥FE.∴四边形ABEF是平行四边形又∵BE⊥CD，垂足是E，∴∠BEF=90°.∴四边形ABEF是矩形.(2)解:∵四边形ABEF是矩形O，∴∠AFC=90°，AB=FE.∵AB=6，DE=2，∴FD=4.∵FD=CE，∴CE=4.∴FC=10.在Rt△AFD中，∠AFD=90°.∵∠ADF=45°，∴AF=FD=4.在Rt△AFC中，∠AFC=90°.∴.∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，∴O为AC中点在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点.∴OF=AC=.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．20.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（）元．（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出_____________个台灯（用含x的代数式表示）；（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？（3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？【答案】（1）（2）这种台灯的售价应定50元，这时应进台灯500个（3）台灯售价定为60元时，每月销售利润最大【解析】【分析】（1）根据“售价每上涨1元，其销售量就将减少10个”，即可解答；（2）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可；（3）设每月销售利润为W，根据总利润=单件利润×数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答．【小问1详解】解：售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯，故答案为：；【小问2详解】解：，整理得：，解得：（舍去），∴这种台灯的售价为（元），销售数量为（个），答：这种台灯售价应定50元，这时应进台灯500个．【小问3详解】解：设每月销售利润为W，，∵，∴当时，W随x的增大而增大，∵，∴当时，售价为（元），W取最大值，此时，答：台灯售价定为60元时，每月销售利润最大．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式，熟练掌握二次函数性质．21.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．…012345……654217…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：________，_________，__________；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．【答案】（1）；3；4；（2）作图见解析；当时，y随x的增大而