第10讲 简单的图案设计八年级数学下册同步讲义（北师大版）

第10讲简单的图案设计

号目标导航

1、探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）

2、①经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、动手操作和画图等过程，掌握画图技能.

②能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.

趣;知识精讲________________________________________________

知识点。利用旋转设计图案

由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案.

利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案.通

过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案.

【知识拓展1］（2021秋•丰台区期末）下列是围绕2022年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称

图形又是轴对称图形的是（）

A.

【即学即练1】（2021秋•海淀区期末）小明将图案―/绕某点连续旋转若干次,每次旋转相同角度

ɑ,设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则ɑ可以为（）

60°C.90°D.120°

【即学即练2］（2021秋•乐亭县期末）如图，（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是（)

【即学即练3]（2020秋•孝昌县期末）下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到

的是（）

【即学即练4]（2021秋•海曙区校级期末）如图，3X3网格中每个小正方形的边长都是1,每个网格中有3

个小正方形已经涂上阴影，请在余下的空白小方格中，按下列要求涂上阴影.

（1）在①中选取1个小正方形涂上阴影，使4个小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；

（2）在②中选取1个小正方形涂上阴影，使4个小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形.

图1图2

知识点02几何变换的类型

（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等.两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且

相等.

（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两

条直线的夹角被对称轴平分.

（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角.

（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺

序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等

于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、

相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心.

【知识拓展2]（2021秋•晋中期末）在我们日常生活中存在很多较小的或眼睛不易辨清的物体，利用放大

镜“放大”，可以使人看得更清楚.如图，利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是（）

A.平移变换B.旋转变换C.轴对称变换D.相似变换

【即学即练1]（2021秋•浦东新区期末）图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是

（）

图1图2

A.平移B.翻折

C.旋转D.以上三种都不对

【即学即练2】（2021秋•介休市期中）如图是世界休闲博览会吉祥物“晶晶右边的“晶晶”是由左边的

“晶晶”经下列哪个变换得到的（）

A.平移变换B.旋转变换C.轴对称变换D.相似变换

【即学即练3】（2021春•三明期末）平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到。ABCO

（如图），下列说法错误的是（）

A.将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到□A8CO

B.将aABC绕边AC的中点。旋转180°可以得到mABCO

C.将AAOB绕点。旋转180°可以得到。A8CZ）

D.将AABC沿AC翻折可以得到。ABCO

【即学即练4］（2020秋•齐河县期末）如图，作aABC关于直线/对称的图形AAEC,接着aABC沿着平

行于直线/的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（）

A.对应点连线相等

B.对应点连线互相平行

C.对应点连线垂直于直线/

D.对应点连线被直线/平分

【即学即练5］（2021•抚顺模拟）如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形

的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放,则该正方形边长的最小整数〃为（）

A.10B.IlC.12D.13

B能力拓展

模块一、简单的图案设计

例题1.（2021•吉林长春市•八年级期末）图①、图②均是4x3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格

点，AHC的顶点均在格点上，请在图①、图②中各画一个三角形，同时满足以下两个条件：

（1）以点A为一个顶点，另外两顶点均在格点上；

（2）所作三角形与“A6C全等（,A6C除外）.

【变式1】（2020.湖南益阳市.八年级期末）阅读与探究

我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾

股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.请结合上述阅读材料，解决下列问题：

图2

（1）在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是（任写一种即可）;

（2）图1、图2均为6x6的正方形网格，点4B、C均在格点上，请在图中标出格点。，连接4λCD,

使得四边形ABC。符合下列要求：图1中的四边形ABCZ）是勾股四边形，并且是轴对称图形；图2中的四

边形ABCD是勾股四边形且对角线相等，但不是轴对称图形.

【变式2】（2020.江西赣州市.八年级期末）在5x7的方格纸上，任意选出5个小方块涂上颜色，使整个图形

（包括着色的“对称”）有：

②2条对称轴;

③4条对称轴.

模块二、几何变换综合题

例题7.（2021♦四川成都市•八年级期末）如图，ZXABC和ACEF中,ZBAC=ZCEF=90o,AB=AC,EC

=EF,点E在AC边上.

（1）如图1,连接BE,若AE=3,BE=√58,求Fe的长度；

(2)如图2,将aCEF绕点C逆时针旋转，旋转角为α(0。<01<180。)，旋转过程中，直线EF分别与直线

AC,BC交于点M,N,当ACMN是等腰三角形时，求旋转角α的度数；

(3)如图3,将aCEF绕点C顺时针旋转，使得点B,E,F在同一条直线上，点P为BF的中点，连接

AE,猜想AE,CF和BP之间的数量关系并说明理由.

【变式1】(2021.山东济南市.八年级期末)如图网格中，，AO6的顶点均在格点上，点A、8的坐标分别

是4(3,2)、8(1,3).

(1)点A关于点。中心对称点的坐标为(,)；

(2)AoB绕点。顺时针旋转90°后得到.4。与，在方格纸中画出.A。片，并写出点耳的坐标(

_______)；

(3)在y轴上找一点尸，使得Q4+PB最小，请在图中标出点尸的位置，并求出这个最小值.

【变式2].(2021.福建三明市.八年级期末)如图，已知直线y=kx+2与直线y=3x交于点A(1,m),与

y轴交于点B.

(1)求k和m的值；

(2)求AAOB的周长；

(3)设直线y=n与直线y=kx+2,y=3x及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，求出n

的值.

M分层提分

题组A基础过关练

选择题（共8小题）

1.（2020秋•河西区期末）下列图案中，可以看作是中心对称图形的是（）

2.（2021春•商河县校级期末）如图，正方形ABCD与正方形EFG”边长相等，下列说法正确的个数有（）

①这个图案可以看成正方形ABCD绕点O旋转45°前后图形共同组成的；

②这个图案可以看成是aABC绕点。分别旋转45°,90°,135°,180°,225°得到的；

③这个图案可以看成是ABOC绕点。分别旋转45°,90°,135°,180°,225°,270°,315°得到

C.3个D.以上都不对

3.（2020秋•遂宁期末）如图，在9X6的方格纸中，小树从位置A经过平移旋转后到达位置8,下列说法

中正确的是（）

A.先向右平移6格，再绕点B顺时针旋转45°

B.先向右平移6格，再绕点8逆时针旋转45°

C.先向右平移6格，再绕点B顺时针旋转90°

D.先向右平移6格，再绕点8逆时针旋转90°

4.（2020春•武侯区期末）如图，在4X4的网格纸中，AABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸

的四个格点M,N,P,Q中找一点作为旋转中心.将aABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三

角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4X4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转

中心有（）

A.点点NB.点点QC.点N,点PD.点尸，点Q

5.（2020•长兴县模拟）下面各图形中，不能通过所给图形旋转得到的是（）

E

¥¥

¥

②

A.①B.②C.③D.@

7.（2021•饶平县校级模拟）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又

是中心对称图形的是（）

C.D.

8.（2020秋•齐河县期末）如图，作AABC关于直线/对称的图形AAHC,接着AAbC沿着平行于直线/

的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（）

A.对应点连线相等

B.对应点连线互相平行

C.对应点连线垂直于直线/

D.对应点连线被直线/平分

二.填空题（共1小题）

9.（2021春•东坡区校级期末）如图，已知点8,E,C,F在一条直线上，并且AABC丝△£>£：〃，那么这两

个全等三角形属于全等变换中的.

10.（2020秋•东城区校级期中）按照要求画图:

图1图2

（1）如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（-1,3）,（-4,1）,（-2,1）将AABC

绕原点。顺时针旋转90°得到N∖4BICI,点A,B,C的对应点为Ai,B∖,0.画出旋转后的4A∣8∣Cι.

（2）下面是3X3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在

余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两

种即可）.

11∙（2021∙钦州模拟）如图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小

等边三角形已经涂上阴影.

（1）请在图1余下的空白小等边三角形中，选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴

对称图形；

（2）请在图2余下的空白小等边三角形中，选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中

心对称图形.

（只需画出符合条件的一种情形）

12.（2021秋♦招远市期中）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3X3正方形方格纸，涂黑其中

三个方格，使剩下的部分成为轴对称图形.规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的

四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为涂黑部分）.

请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中两个方格涂黑（每个3X3的正方形方格画一种，并且

画上对称轴）.

，D∩∩~∣∣~∩~∣∣~p∩∩p∩FFHFfflFFHI

_HC二____

图1图2图3

13.（2021春•任丘市期末）448C与AA'B'C在平面直角坐标系中的位置如图所示.

（1）分别写出各点的坐标：A,B,C.

（2）∆A,B'C是由AABC经过怎样的平移变换得到的？答：.

（3）若点尸（x,y）是AABC内部一点，则△?!'B'C内部的对应点产的坐标为

（4）求4A8C的面积.

14.(2021•宁波模拟)图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形

涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影.

(1)使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形.

(2)使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.

(请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形)

①②

15.(2021•慈溪市模拟)图1,图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，^ABC的三个顶点都在格点上,

请在该4X4的网格中，分别按下列要求画一个与aABC有公共边的三角形：

图1图2

(1)使得所画出的三角形和aABC组成一个轴对称图形.

(2)使得所画出的三角形和AABC组成一个中心对称图形.

(请将两个小题依次作答在图1,图2中，均只需画出符合条件的一种情形)

题组B能力提升练

一.选择题（共2小题）

1.（2020秋•南宁期末）拼图是一种广受欢迎的智力游戏.下列拼图组件是中心对称图形的是（）

ʌ⅛B♦C4^ɔ

2.（2021•邢台模拟）如图是4×4的网格图.将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的

灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（）

二.填空题（共4小题）

3.（2021春•邵阳县期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点三角形ABC

（顶点是网格线的交点）.以点。为旋转中心,将三角形ABC绕点。逆时针旋转90°得到三角形4B∣C∣;

将三角形ABC向左平移5个单位得到三角形A2B2C2.这样，三角形A2B2C2可以看做由三角形AlBICl

先以点O为旋转中心,绕点。顺时针旋转90°,然后向左平移5个单位得到的.除此以外,三角形A2B2C2

还可以由三角形4B∣Cι怎样变换得到呢？请你选择一种方法，写出变换过程是.

C

4.（2021春•铁岭月考）在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称

图形，该小正方形的序号是.

¥

②

5.（2021•成都模拟）在平面内，先将一个多边形以点。为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形

对应的线段的比值为k；再将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度。，这种经过相似和

旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（%，θ）,。为旋转相似中心，忆为相似比，θ为旋转角.如

图，AABC是边长为Icw的等边三角形，将它作旋转相似变化A（√3.90°）得到AAQE,则BD长

6.（2021春•湖北月考）在平面直角坐标系中，点P（x,y）经过某种变换后得到点产（-y+l,x+2）,我

们把点P（-y+l,x+2）叫做点P（x,y）的终结点.已知点Pl的终结点为尸2，点七的终结点为必，

点尸3的终结点为尸4,这样依次得到P,P2,P3,PΛ,-Pn.若点Pl的坐标为（2,0）,则点22021的坐

标为.

三.解答题（共6小题）

7.（2020秋•福山区期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1,请你认真观察图（1）中的三个网

图⑴图（2）

（2）请在图②中设计出一个面积与图①阴影部分面积相同，且具备上述共同特征的图案，要求所画图案

不能与图①中所给出的图案相同.

8.（2021春•杏花岭区校级期中）阅读下面材料，并解决相应的问题:

在数学课上，老师给出如下问题，已知线段A8,求作线段AB的垂直平分线.小明的作法如下:

（1）分别以A,B为圆心，大于LIB长为半径作弧，两弧交于点C；

2

（2）再分别以A,B为圆心，大于2AB长为半径作弧，两弧交于点

2

（3）作直线CQ,直线Cn即为所求的垂直平分线.

同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：

连接AC,BC,AD,BD.

由作图可知：AC=BC,AD=BD.

.∙.点C,点。在线段的垂直平分线上（依据1：）.

直线就是线段的垂直平分线（依据2：）.

（1）请你将小明证明的依据写在横线上；

（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A,B,C,。恰好均在格点上，依次连接A,C,B,

D,A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也

均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形.

C

尸7\

N

~4B~

二

9.(2021春•贺兰县期中)如图1,把aABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△£(7£＞；如图2,以BC

为轴，把aABC沿BC翻折180°,可以得到AQBC;如图3,以点A为中心，把aABC旋转180°,可

以得到AAED像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只

改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换.回答下列问题：

(1)在图4中，可以使AABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到44OF?

(2)图中线段BE与。F相等吗？为什么？

10.(2020秋•西城区期末)如图所示的三种拼块A,B,C,每个拼块都是由一些大小相同、面积为1个单

位的小正方形组成，如编号为A的拼块的面积为3个单位.

现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻

转.

(1)若用1个A种拼块，2个B种拼块，4个C种拼块，则拼出的正方形的面积为个单位.

(2)在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个A种拼块和1个B种拼块，请分别用不同的拼

法将图1和图2中的正方形拼图补充完整.要求：所用的A,B,C三种拼块的个数与(1)不同，用实

线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠.

图2

11.（2020秋•浦东新区期末）如图1,图2,图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴

国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦

图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题.

图2图3

（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是.对称图形（填“轴”或“中心”）.

（2）请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2,3的方格纸中设计另外两个

不同的图案，画图要求:

①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影;

②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形：图3中所设计的图案（不

含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形.

12.(2021•安徽模拟)在平面直角坐标系中，如图所示A(-2,1),B(-4,1),C(-1,4).

(1)∆ABC向上平移一个单位，再向左平移一个单位得到AAIBICI,那么C的对应点Ci的坐标

为；P点到AABC三个顶点的距离相等，点尸的坐标为；

(2)AABC关于第一象限角平分线所在的直线作轴对称变换得到4A2B2C2,那么点B的对应点B2的坐

标为;

(3)4A383C3是AABC绕坐标平面内的Q点顺时针旋转得到的，且A3(1,0),B3(1，2),C3(4,

-1),点Q的坐标为.

题组C培优拔尖练

填空题（共I小题）

1.（2020秋•温州月考）某艺术馆一扇窗户（矩形ABCD）上的窗花设计如图所示，已知AC,BO是矩形

A8CZ）的对角线，EF,GH,U,KL将矩形ABCD分割成8块全等的小矩形，EF与KL相交于点N,M

是KN上一点，MN=2KM,ME与AC相交于点P,这8块小矩形图案均可以由其中的一块经过一次或

两次变换得到.设矩形ABC。的面积为S,则阴影部分的面积之和为.（用含S的代数式表示）

二.解答题（共6小题）

2.（2021春•商水县期末）阅读下面材料：

如图（1）＞把BC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到ADEC的位置；

如图（2）,以BC为轴，把AABC翻折180°,可以变到aQBC的位置；

如图（3）,以点A为中心，把AABC旋转180°,可以变到aAED的位置.

像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的.这种只改变位置，

不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换.

回答下列问题：